|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ตรีโกณมิติหลุดโลก ?
สืบเนื่องจากกระทู้ โจทย์พีชคณิตมั่งดีกว่า มีคน request ปัญหาตรีโกณมิติหลุดโลกนะครับ. ผมก็เลยหยิบมาให้ตามคำขอ แต่ไม่รู้ว่าจะหลุดโลกหรือเปล่า หยิบมาให้ 5 ข้อ ครับ. ใครสนใจลองเล่นข้อไหนเชิญเลย
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 27 กันยายน 2004 16:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#2
|
|||
|
|||
ขอบคุณคร๊าบบบ......ท่านพี่มังกร
|
#3
|
|||
|
|||
หลุดระบบสุริยะไปเลยคราวนี้ คงเป็นที่สะใจโจ๋กันถ้วนหน้า
ไม่ทำแต่ขอออกความเห็นนะครับ ข้อ 1. ข้อนี้น่าจะทำด้วยเทคนิคที่คุณ gon เคยแนะนำมาแล้วตามเดิมมั้ง ซึ่งผมก็ยังไม่ เคยลงมือทำจริงๆเลยสักครั้ง ข้อ 2. ข้อนี้ถ้ายอมให้ผมใช้ความรู้เกี่ยวกับค่าของ S1/n2, S1/n4, S1/n6 ผมคิดว่า ผมน่าจะทำได้นะ ข้อ 3. เดาว่าน่าจะทำด้วยการกระจาย sin หรือ cos ของฟังก์ชันง่ายๆอะไรสักอันนึง ออกเป็นผลคูณอนันต์โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับรากทั้งหมดของมัน แล้วเทียบกับ Taylor's series อีกที ข้อ 4-5 เป็นข้อที่ผมชอบมากที่สุด ข้อ 4. ผมคิดโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับ Euler's infinite product expansion ของ Riemann's zeta function แต่ถ้าไม่ใช้ความรู้อันนี้ผมก็ยังไม่รู้จะทำยังไงเหมือนกัน อ้อ...แต่ผมว่าคำตอบที่ถูกน่าจะเป็น p/ึ15 นะครับ ข้อ 5. นึกอยู่ตั้งนานแน่ะกว่าจะจำได้ว่านี่มันมาจาก Maclaurin's series ของ (sin-1x)2 แต่ผมก็จำไม่ได้อยู่ดีว่าพิสูจน์ยังไง 28 กันยายน 2004 08:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#4
|
|||
|
|||
โอ...ผมว่าหลุดทางช้างเผือกไปแล้วล่ะ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
|||
|
|||
Thanks brother gon for the "outlandish" problems.
__________________
There's some good in this world, and it's worth fighting for. |
#6
|
||||
|
||||
ครับ. คงสะใจโจ๋กันทั่วหน้า
ข้อ 2. ประมาณว่าอยากให้เล่นหา Euler zeta function กรณี s = 2, 4, 6 มาเองก่อนครับ. แล้วก็ลุย ๆ ๆ ๆ ๆ ๆ ๆ อิ อิ ผมมันบ้าคลั่ง ข้อนี้ท่าจะเล่นต้องกระดึ๊บตั้งแต่ 1/n2(n + k)2 , 1/n3(n + k)3 , ... , 1/n2(n + k)6 ถึงกำลัง 6 นี่ผมหมดพลังตายคาที่แล้ว คือหาไว้ล่วงหน้าน่ะครับ.เผื่ออนาคตผม Solve , กรณีที่ n = 3 ออก(ฝันกลางวัน) จะได้เล่นอะไรกันต่อไปอีกทีเดียวเลยไม่ขาดตอน ข้อ 4. ขอบคุณสำหรับคำเตือนของคุณ warut น่ะครับ. เดี๋ยวผมจะลองไปตรวจสอบดูอีกที ข้อ 5. ประมาณว่าอยากเล่นหาค่า p สไตล์รามานุจันบ้าง แค่เศษเสี้ยวก็ยังดี แต่รู้สึกยังห่างไกลอีกล้านปีแสง จะ request อีกก็ได้นะครับ. เดี๋ยวผมจะไปหยิบมาให้อีก
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 28 กันยายน 2004 14:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#7
|
|||
|
|||
ปีใหม่นี้ผมขอมอบเฉลยข้อ 4. ให้เป็นของขวัญกับผู้สนใจทุกท่านครับ
ผมขอเริ่มโดยให้ \(\zeta\left(s\right)\) แทน Riemann's zeta function ในที่นี้ผมขอกล่าวถึงเฉพาะกรณีที่ s เป็นจำนวนจริงเท่านั้นนะครับ เรานิยามให้ \[\zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\] เมื่อ s > 1 ถ้า s = 2m เป็นจำนวนคู่ เราสามารถหาค่าของ \(\zeta\left(s\right)\) ให้ออกมาในรูปอย่างง่ายได้ดังนี้ \[\zeta\left(2m\right)=\frac{\left(-1\right)^{m-1}B_{2m}\left(2\pi\right)^{2m}}{2\left(2m\right)!}\] เมื่อ B2m คือ Bernoulli number ตัวที่ 2m ดังนั้นเราจะได้ว่า \(\zeta\left(2\right)=\frac{\pi^2}{6}, \zeta\left(4\right)=\frac{\pi^4}{90}, \zeta\left(6\right)=\frac{\pi^6}{945}\) เป็นต้น Euler พบว่า \[\frac{1}{\zeta\left(s\right)}=\prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i^s}\right) = \left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\dots\] เมื่อ pi แทนจำนวนเฉพาะตัวที่ i คราวนี้กลับมาที่โจทย์ข้อ 4. ของเรากัน เนื่องจาก \(\tan\theta_i=p_i\) เราจะได้ว่า \[\sin\theta_i=\frac{p_i}{\sqrt{1+p_i^2}}\] ดังนั้น \[\prod_{i=1}^\infty\sin\theta_i=\sqrt{\prod_{i=1}^\infty\frac{p_i^2}{1+p_i^2}}\] \[ =\sqrt{\frac{\prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i^2}\right)}{\prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i^4}\right)}} \] \[=\sqrt{\frac{6/\pi^2}{90/\pi^4}}=\frac{\pi}{\sqrt{15}}\] โจทย์ข้อนี้ใช้ LaTeX มันจริงๆ 01 มกราคม 2005 05:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#8
|
||||
|
||||
เยี่ยมไปเลย คุณ warut แสดงว่าคำตอบคือ p/ึ15 ไม่ใช่ p/ึ30 กำลังเอาใจช่วยให้มาเฉลยข้ออื่นๆต่อนะครับ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 01 มกราคม 2005 14:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
|
|