ทฤษฎีจำนวนครับ

[nowhere]

กำหนดให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p\equiv 3 (mod 4)$
จงแสดงว่า ถ้า $p|(a^{2}+b^{2})$ แล้ว $p|a$ และ $p|b$

[RER]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nowhere

กำหนดให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p\equiv 3 (mod 4)$
จงแสดงว่า ถ้า $p|(a^{2}+b^{2})$ แล้ว $p|a$ และ $p|b$

สมมติให้ $p\nmid a $จะได้ว่า$p\nmid b $ ด้วย
ให้ $p=4k+3$ จาก $p|(a^{2}+b^{2})$ ทำให้ได้ว่า $p|(a^4-b^4)$
หรือ $a^4\equiv b^4(mod p)$ ยกกำลัง k แล้วคูณ $a^2b^2$
$a^{4k+2}b^2\equiv b^{4k+2}a^2(modp)$
โดย Fermat ทำให้ได้ว่า $a^{4k+2}\equiv b^{4k+2}\equiv 1(modp)$
ดังนั้น $p|a^2-b^2$ รวมกับ $p|(a^{2}+b^{2})$
จะได้ว่า $p|2a^2$ เนื่องจาก $p\nmid2$ จึงได้ว่า $p|a$ เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้น $p|a$ และ $p|b$