SHORTLIST TMO (7th) เฉพาะคำถาม

[passer-by]

ใครที่รอคอย shortlist TMO ครั้งล่าสุด มา download file คำถามไปได้เลย

Shortlist seventh

[~ArT_Ty~]

เย้ๆๆ

ขอบคุณครับ

ข้อ 3 คอมบินาทอริกเป็นข้อสอบเข้าค่าย 1 ม.นเรศวรอ่ะครับ

[~ArT_Ty~]

ขอเฉลยนะครับ ข้อ 2 เรขาคณิต

จะได้ว่า $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$\therefore \left|\,AD\right| ^2=\left|\,AB\right| ^2+\left|\,BD\right|^2-2\left|\,AB\right| \left|\,BD\right| \cos B $

$=c^2+\frac{a^2}{9}-\frac{2a(a^2+c^2-b^2)}{6ac}$

$=\frac{6c^2-2a^2+3b^2}{9}$

$=\frac{1}{3}(2c^2+b^2-\frac{2}{3}a^2)$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 algebra

จะได้ว่าสมการที่มี $\alpha -1,\beta -1,\gamma -1$ เป็นรากคือ

$$x^3+2553x+1$$

$\frac{(\alpha -1)^5+(\beta -1)^5+(\gamma -1)^5}{(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)}$

$=\frac{(-5106)(3)}{-1}$

$=15318$

[iMsOJ2i2y]

Algebra ข้อ 3 นะครับ

จะได้ว่าผลบวกของรากทั้งหมดคือ $19$

และจะได้ว่าผลคูณของรากทั้งหมดคือ $35$

พิจารณาผลคูณของราก

เพราะว่ารากของสมการนี้เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดทำให้รากของสมการนี้เป็นได้แค่ $1 , 5 , 7 , -1 , -5 , -7$

จากนี้ผมมั่วเอาครับ ได้รากของสมการคือ

7 , 5 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , -1

ซึ่งคูณกันได้ 35 พอดี และบวกกัน 19 พอดีครับ

[iMsOJ2i2y]

Combinatorics ข้อ 8 นะครับ

ช่วยดูให้หน่อยนะครับว่าถูกรึเปล่า

a b c d
47 48 50 53 นี่คือคู่อันดับ (a,b,c,d) ที่มีค่ามากที่สุดที่ตรงตามเงื่อนไข
1 2 4 7 นี่คือคู่อันดับ (a,b,c,d) ที่มี่ค่าต่ำที่สุดที่ตรงตามเงื่อนไข

ดังนั้นค่า a ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 1 - 47 หรือ 47 ตัว
ค่า b ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 2 - 48 หรือ 47 ตัว
ค่า c ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 4 - 50 หรือ 47 ตัว
ค่า d ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 7 - 53 หรือ 47 ตัว

ดังนั้นจำนวนสมาชิกของ S ทั้งหมด คือ $47 \times 47 \times 47 \times 47 = 47^4$ ตัว

[{([Son'car])}]

ทฤษฏีจำนวนข้อ1
$\sum_{n = 1}^{2001} r_n^{p_n^2-1}=1^{2^2-1}+4^{3^2-1}+1^{5^2-1}+0+1^{11^2-1}+4^{13^2-1}+1^{17^2-1}+0+...$

จะเห็นว่า$17$หารทุกๆ$4$ชุดเหลือเศษ$3\;\;\;\;$มีทั้งหมด$502$ชุดและอีก$2$ตัวดังนั้นเศษที่เกิดจากการหาร$\sum_{n = 1}^{2001} r_n^{p_n^2-1}$ด้วย$17\;\;\;=$เศษที่เกิดจากการหาร$3(502)+2$ด้วย$17$จะได้เศษเป็น$12$ครับ

[iMsOJ2i2y]

คอมบิข้อ 7 นะครับ

ถ้า $x_3 = 6$ จะได้ $x_1x_2$ ทั้งหมด 7 แบบ

ถ้า $x_3 = 5$ จะได้ $x_1x_2$ ทั้งหมด 7 แบบ

ถ้า $x_3 = 4$ จะได้ $x_1x_2$ ทั้งหมด 7 แบบ

ถ้า $x_3 = 3$ จะได้ $x_1x_2$ ทั้งหมด 7 แบบ

ถ้า $x_3 = 2$ จะได้ $x_1x_2$ ทั้งหมด 7 แบบ

ถ้า $x_3 = 1$ จะได้ $x_1x_2$ ทั้งหมด 7 แบบ

ถ้า $x_3 = 0$ จะได้ $x_1x_2$ ทั้งหมด 7 แบบ

ดังนั้นรูปแบบรหัส ISBN จำลองทั้งหมดคือ 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 49 แบบ

[iMsOJ2i2y]

ทฤษฎีจำนวนข้อที่ 3 นะครับ

เพราะว่า $\sum_{i=1}^{n} = 1 + 2^1 + 3^2 + 4^2 + 5^4 + .... n^{\Phi(n)}$

สมมติว่า $n \mid \sum_{i=1}^{n}$ จะได้ว่า $n \mid 1$

แต่เพราะว่า $n > 1$ ทำให้ $n \nmid 1$

เมื่อ $n \nmid 1$ ดังนั้น $n \nmid \sum_{i=1}^{n}$

ปล . ผิดถูกยังไงชี้แนะด้วยนะครับ

[กิตติ]

ผมคิดได้ $-12765$
$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma ) = x^3 -3x^2+2556x-2553=f(x)=0$
$(\alpha-1 )(\beta-1 )(\gamma-1 ) = \quad -\left\{\,(1-\alpha )(1-\beta )(1-\gamma )\right\} \quad \quad = -f(1)\quad \quad = -1\quad $
จากสมการ เราได้ว่า$ \alpha+\beta+\gamma = 3$
$(\alpha-1 )+(\beta-1 )+(\gamma-1 ) = 0$
$[(\alpha-1 )+(\beta-1 )+(\gamma-1 )]^2 =(\alpha-1 )^2+(\beta-1 )^2+(\gamma-1 )^2 +2\left\{\,(\alpha-1 )(\beta-1 )+(\alpha-1 )(\gamma-1 )+(\beta-1 )(\gamma-1 )\right\} $
$ (\alpha+\beta+\gamma)^2 = 9$
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 +2(\alpha\beta+\alpha\beta+\beta\gamma)= 9$
$\alpha\beta+\alpha\beta+\beta\gamma = 2556$
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = -5103$
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2(\alpha+\beta+\gamma)+3 = -5106$
$(\alpha-1 )^2+(\beta-1 )^2+(\gamma-1 )^2 = -5106$
$\left\{\,(\alpha-1 )(\beta-1 )+(\alpha-1 )(\gamma-1 )+(\beta-1 )(\gamma-1 )\right\} = 2553$
จาก $(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2) + 6abc$
$(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) +3abc(a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) -3abc$
ถ้า$a+b+c=0$ สมการจะเหลือเป็น $(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) -3abc$
ดังนั้น $(\alpha-1 )^3+(\beta-1 )^3+(\gamma-1 )^3 = -3$
$(a+b+c)^5 =(a+b+c)^3(a+b+c)^2$
$=\left\{\,(a^3+b^3+c^3)+3\right\} \left\{\,(a^2+b^2+c^2)+2(2553)\right\} $
$=(a^5+b^5+c^5)+[(abc)^2\left\{\,(a+b+c)(\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})-(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \right\} ]+3(-5106)+2(-3)(2553)+2(3)(2553)$
เนื่องจาก $a+b+c=0$
$0= (a^5+b^5+c^5)-[(abc)^2\left\{\,(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \right\} ]+3(-5106)$
$0= (a^5+b^5+c^5)-[(abc)\left\{\,ab +bc+ac\right\} ]+3(-5106)$
$0= (a^5+b^5+c^5)+\left\{\,ab +bc+ac\right\}+3(-5106)$
$(\alpha-1 )^5+(\beta-1 )^5+(\gamma-1 )^5 = 3(5106)-\left\{\,(\alpha-1 )(\beta-1 )+(\alpha-1 )(\gamma-1 )+(\beta-1 )(\gamma-1 )\right\}$
$=2(3)(2553)-2553 =5\times 2553 = 12765$

โจทย์ถาม$\dfrac{(\alpha-1 )^5+(\beta-1 )^5+(\gamma-1 )^5}{(\alpha-1 )(\beta-1 )(\gamma-1 ) } = -12765$
ทำแบบถึกๆ...เพราะหาทางลัดไม่เจอครับ ช่วยตรวจดูว่าผมสะเพร่าตรงไหนอีกไหม
มึนเหมือนกัน ข้อเดียวยังกินแรงผมไปขนาดนี้

[late...]

ข้อ 9 Combinatorics คับ
$$A-B=(1^2-1)\binom{53}{1}+(2^2-2)\binom{53}{2}+...+(53^2-53)\binom{53}{53} $$
$$=(1-1)\frac{53!}{(0)!(52)!}+(2-1)\frac{53!}{(1)!(51)!}+...+(53-1)\frac{53!}{(52)!(0)!} $$
$$=53\left(\,(0)\binom{52}{0}+(1)\binom{52}{1}+...+(52)\binom{52}{52} \right)$$
$$=53(52)(2)^{51}=53(13)(2)^{53} \therefore k=53$$

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ late...

ข้อ 9 Combinatorics คับ
$$A-B=(1^2-1)\binom{53}{1}+(2^2-2)\binom{53}{2}+...+(53^2-53)\binom{53}{53} $$
$$=(1-1)\frac{53!}{(0)!(52)!}+(2-1)\frac{53!}{(1)!(51)!}+...+(53-1)\frac{53!}{(52)!(0)!} $$
$$=53\left(\,(0)\binom{52}{0}+(1)\binom{52}{1}+...+(52)\binom{52}{52} \right)$$
$$=53(52)(2)^{51}$$$$=53(13)(2)^{53} \therefore k=53$$

งงตรงนี้อ่าครับ ทำไมมันกลายเป็น $(52)(2)^{51}$ ได้ครับ ช่วยอธิบายทีครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 Geometry

ตามรูปครับ

ผิดตรงไหนชี้แนะด้วยครับ

ป.ล. บรรทัดที่ต่อจาก $DE^2$ เป็น $BG\cdot EF=...$

และบรรทัดล่างเป็น $DE^2=BG\cdot EF$ ครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2 คอมบินาทอริก

ให้ $(a_i,b_i)$ เป็น lattice point โดยที่ $i=1,2,...,5$

เนื่องจาก ถ้าพิจารณาตามความเป็นคู่คี่แล้ว คู่อันดับ $(a,b)$ จะมี 4 แบบ คือ

1. $a$ เป็นคู่ $b$ เป็นคี่

2. $a$ เป็นคี่ $b$ เป็นคู่

3. $a$ เป็นคี่ $b$ เป็นคี่

4. $a$ เป็นคู่ $b$ เป็นคู่

ซึ่งระหว่าง 2 lattice point ใดๆ ที่มี lattice point เป็นจุดกึ่งกลาง จะต้องมีความเป็นคู่คี่เหมือนกัน

จากโจทย์โดยใช้หลักรังนกพิราบจะได้ว่ามีอย่างน้อย 2 lattice point ที่มีความเป็นคู่คี่เหมือนกัน

[banker]