ข้อสอบชิงถ้วยพระราชทาน ม.ต้น (สิรินธร) 2556

[Thamma]

ตอน 2 ข้อ 7

ให้ $ 2^x = k $

$ 16k^4-108k^3+202k^2-108k+16=0 $

$ 8k^4-54k^3+101k^2-54k+8=0 $

$ 8(k^4+1)-54(k^3+k)+101k^2=0 $

$ k \not = 0 $, หารตลอดด้วย $ k^2 $

$ 8(k^2 + \frac{1}{k^2}) -54(k + \frac{1}{k})+101=0 $

ให้ $ y = k + \frac{1}{k} $

$ 8y^2-54y+85=0 $

y=2.5 ---> k=2, 1/2 --> x=1, -1

y=4.25 --> k=4, 1/4 --> x=2, -2

Ans x = -2, -1, 1, 2

[yellow]

ตอน 2 ข้อ 2)


$2549 \sum_{n = 1}^{2002}\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$

$\frac{2549}{2} \sum_{n = 1}^{2002}\frac{1}{n(n+3)}- \frac{1}{(n+1)(n+2)} $

$\frac{2549}{2} [ \sum_{n = 1}^{2002}\frac{1}{n(n+3)}- \sum_{n = 1}^{2002}\frac{1}{(n+1)(n+2)} ]$

$\frac{2549}{2} [ (\frac{1}{3} \sum_{n = 1}^{2002}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}) - (\sum_{n = 1}^{2002}\frac{1}{n+1}- \frac{1}{n+2}) ]$

$\frac{2549}{2} [ \frac{1}{3} (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}) - (\frac{1}{2}- \frac{1}{2004}) ]$

$\frac{2549}{2} [ \frac{1}{3} (\frac{1}{3}-\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}) + \frac{1}{2004} ]$

$\frac{2549}{2} [ \frac{1}{3} (\frac{1}{3}+ \frac{2}{2004}-\frac{1}{2003}-\frac{1}{2005}) ]$

$\approx \frac{2549}{2} (\frac{1}{9})$

$141.61$

[Onion]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

ตอน 2 ข้อ 5
a = x-y
b = y-z
c = z-x

a + b + c = 0 ---> $ a^3+b^3+c^3 = 3abc $

$ (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6 $

$ = [(x-y)^2]^3 +[(y-z)^2]^3 + [(z-x)^2]^3 $

$ = 3 (x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 $

$ = 3 [(x-y)(y-z)(z-x)]^2 $

$ = 3[30]^2 $

= 2,700

ทำไม $a^3+b^3+c^3 = 3abc$ อ่ะครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

ตอน 2 ข้อ 5

a = x-y
b = y-z
c = z-x

a + b + c = 0 ---> $ a^3+b^3+c^3 = 3abc $

$ (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6 $

$ = [(x-y)^2]^3 +[(y-z)^2]^3 + [(z-x)^2]^3 $

$ = 3 (x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 $

$ = 3 [(x-y)(y-z)(z-x)]^2 $

$ = 3[30]^2 $

= 2,700

ยังไม่ถูกนะครับ

[Thamma]

ขอบพระคุณมากค่ะ

ตอน 2 ข้อ 5 , Linear recurrence relation

$ a = x - y $
$ b = y - z $
$ c = z - x $

โจทย์ต้องการหา $\; a^6 + b^6 + c^6 $

จาก $\;(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -x^2(a+b+c) +x(ab+bc+ca) - abc $
จะได้ว่า $\;a,b,c \;$ เป็นรากของสมการ $\; x^3 -x^2(a+b+c) +x(ab+bc+ca) - abc = 0 $

$ p = a + b + c $
$ q = ab + bc + ca $
$ r = abc $

$ x^3 -p x^2 +q x - r = 0 $

จากโจทย์ , p = 0, r = 30, เราต้องการหา q


$ x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2 (xy+yz+zx) = (14)^2 - 2(59) = 78 $


$ q = (x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)+(z-x)(x-y) $

$\; = xy+yz+zx - (x^2+y^2+z^2) $

$\; = 59-78 = -19 $


$ x^3 -19 x - 30 = 0 $ ---*

$ x^3 = 19 x + 30 $

$ T_n = 19 T_{n-2} + 30 T_{n-3} $


จาก $\; T_n = a^n +b^n + c^n $ จะได้ว่า $\; T_0 = 3 , \; T_1 = 0 $

$ a^2 + b^2 + c^2 = 0 - 2(-19) = 38 \;$ ดังนั้น $\; T_2 = 38 $


$T_3 = (19\cdot0) + (30\cdot3) = 90 $

$T_4 = (19\cdot38) + (30\cdot0) = 722 $

$T_5 = (19\cdot90) + (30\cdot38) = 2850 $

$T_6 = (19\cdot722) + (30\cdot90) = 16418 $

Ans 16,418

อยากเห็นวิธีของคุณ Amankris ด้วยค่ะ

[Amankris]

ทำเหมือนกันครับ
แต่ถ้าสังเกตว่า $t^3-19t-30=(t+2)(t+3)(t-5)$
จะหาคำตอบได้เร็วกว่าครับ

[Thamma]

จากสมการ *

$ x^3 -19 x - 30 = (x+2)(x+3)(x-5) = 0 $

$ a = -2, \;b = -3, \;c = 5 $

$ a^6 + b^6 + c^6 = 16,418 $

ขอบพระคุณมากค่ะ