รบกวนช่วยพิสูจน์หน่อยครับ เกี่ยวกับ Vector Space

[เรือจ้าง]

ข้อ 1. Let W1 and W2 be subspaces of a vector space V .
Prove That W1 $\cup$ W2 is a subspace of if and only if W1 $\subseteq$ W2 or W2 $\subseteq$ W1


ข้อ 2. $\left|\ S \right|$ = n and S is linear independent $\rightarrow$ S is a basis for V.

ผมคิดไม่ออกเลยอ่ะครับ .... ถ้ายังไงช่วยรบกวนผู้รู้หน่อยนะครับ ๆ ขอบคุณครับ ....

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เรือจ้าง

ข้อ 1. Let W1 and W2 be subspaces of a vector space V .
Prove That W1 $\cup$ W2 is a subspace of if and only if W1 $\subseteq$ W2 or W2 $\subseteq$ W1


ข้อ 2. $\left|\ S \right|$ = n and S is linear independent $\rightarrow$ S is a basis for V.

ผมคิดไม่ออกเลยอ่ะครับ .... ถ้ายังไงช่วยรบกวนผู้รู้หน่อยนะครับ ๆ ขอบคุณครับ ....

ข้อ 1. ขากลับน่าจะเห็นชัดครับ เรามาดูขาไป
ให้ $W_{1} \not \subseteq W_{2}$ และ $W_{2} \not \subseteq W_{1}$ โดยที่ $W_{1} \cup W_{2}$ เป็น subspace ของ $V$
ให้ $\overline{w_{1}} \in W_{1}-W_{2}$ และ $\overline{w_{2}} \in W_{2}-W_{1}$
ดังนั้นเราจะได้ว่า $\overline{w_{1}}+\overline{w_{2}} \in W_{1} \cup W_{2}$
นั่นคือ $\overline{w_{1}}+\overline{w_{2}} \in W_{1}$ หรือ $\overline{w_{1}}+\overline{w_{2}} \in W_{2}$
ถ้า $\overline{w_{1}}+\overline{w_{2}} \in W_{1}$ แต่เรารู้ว่า $\overline{w_{2}} = (\overline{w_{1}}+\overline{w_{2}})-\overline{w_{1}} \in W_{1}$ ซึ่งขัดแย้ง
ถ้า $\overline{w_{1}}+\overline{w_{2}} \in W_{2}$ ทำในลักษณะเดียวกัน

ในส่วนของข้อ 2. โจทย์ให้มาแค่นี้หรอครับ

[เรือจ้าง]

Let V be a finite dimensional, dimV = n and S $\subseteq$ V. Then the following statements holds. ---->> เพิ่มเติมข้อ 2 ครับ ... ^^

[kongp]

ใครจะไปนึกฝันว่าโจทย์ข้อนี้เอาไปใช้ยังไง เรื่องอะไร ดูไปคล้ายศิลปะ คนที่เถียงว่านี่คือวิทยาศาสตร์ต่างหาก คือนักวิทยาศาสตร์ที่พยายามยืนอยู่บนสมมติฐานที่ใกล้จะเป็นจริงมากที่สุด อย่างถ้าจะศึกษาศาสตร์ไพ่ มัวแต่อ่าน หรือ นั่งคิดเดา ไม่สู้ลงมือทำ หรือ หาร้านหนังสือดีๆ ก็แล้วแต่ความพยายามในที่สุด

[Lekkoksung]

ข้อสองครับ

Let $S$ be a linearly independent subset of $V$ such that $|S|=\dim V =n$.
Suppose $S$ is not basis for $V$. Then $S$ can be extended to a basis $T$ for $V$.
That is $S \subseteq T$. Now we get that $\dim V=|S| \leq |T|=\dim V$. Thus $|S|=|T|$,
that is contradiction. Hence $S$ is a basis for $V$.

[เรือจ้าง]

ขอบคุณมากครับ .... สำหรับคำตอบนะครับ แต่ถ้าไม่ว่ากันรบกวนข้อแรก ช่วยพิสูจน์ขาไป ของข้อแรกหน่อยอ่ะครับ พอดีผมมึนไปหมด แล้วอ่ะครับ รบกวนอีกครั้งนะครับ ๆ ....

[Lekkoksung]

โทดทีครับ แก้ไขแล้ว