ข้อสอบแข่งขันไปนอกของ ก.พ. ปี 2551

[banker]

$\dfrac{m+8+8+n+4+4+3}{7} =6$

$m+n = 15 = 8+7$

จะได้ 8+8+8+7+4+4+3

ฐานนิยม = 8 มัธยฐาน = 7 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 6

ดังนั้น n =7



หรือ
$m+n = 15 = 11+4$

จะได้ 11+8+8+4+4+4+3

ฐานนิยม = 4 มัธยฐาน = 4 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 6

ซึ่งไม่เข้ากับเงื่อนไขมัธยฐานน้อยกว่าฐานนิยม



ตอบ n = 7

[กิตติ]

ข้อ3.2 คิดอีกแบบคือแยกตัวประกอบได้เป็น$330= 3\times 11\times 2\times 5$
จำนวนเต็มทั้งหมดที่หาร330ลงตัวเกิดจากการหยิบตัวเลขที่เป็นตัวประกอบมาสร้างเป็นจำนวน ตามสูตรที่เราท่องกันที่ว่า
$M=a^pb^qc^r$..........เมื่อ $a,b,c$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p,q,r$ เป็นจำนวนเต็ม
จำนวนที่หาร$M$ลงตัวมีทั้งหมด $(p+1)(q+1)(r+1)$ จำนวน
จำนวนเต็มทั้งหมดที่หาร330ลงตัว เท่ากับ$2\times 2\times 2\times 2 = 2^4 =16$
โจทย์ถามจำนวนเต็มซึ่งมีทั้งบวกและลบ เอา2คูณ จึงตอบ 32 จำนวน

[กิตติ]

2.2
$3(x-1)-9x-2 \geqslant -4(x+2)$
$-6x-5 \geqslant -4x-8$
$2x \leqslant 3 \rightarrow x\leqslant \frac{3}{2} $
$a$ เป็นค่าที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับ$x\leqslant \frac{3}{2} $ ดังนั้น $a= \frac{3}{2}$

$\frac{2}{3}(2x+1)-\frac{2}{5}(x-\frac{1}{2}) \geqslant 0 $
$10x+5-3x+\frac{3}{2} \geqslant 0 $
$7x \geqslant -\frac{13}{2} $
$x \geqslant -\frac{13}{14}$
$b$ เป็นค่าที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับ$x \geqslant -\frac{13}{14}$ ดังนั้น $b= -\frac{13}{14}$

$\frac{4}{3} a=2 ,\ \frac{7}{2}b= -\frac{13}{4}$
$\frac{4}{3} a+\frac{7}{2}b = -\frac{5}{6}$
$(\frac{4}{3} a+\frac{7}{2}b)^2 = \frac{25}{36}$

[กิตติ]

2.3 มีจุดตัดแกนให้สองจุด หาสมการได้สบายเลย
เส้นแรกมีจุดตัดแกนคือ$(0,3),(\frac{3}{2} ,0)$
สมการเส้นตรงคือ$y=mx+c$ แทนค่าลงในสมการได้
$c=3,m=-2 \rightarrow y=-2x+3$
เส้นที่สองมีจุดตัดคือ$(0,-1),(-2 ,0)$ นำไปแทนในสมการเส้นตรงแก้ได้ค่า
$c= -1, m= -\frac{1}{2} \rightarrow y= -\frac{1}{2}x-1 $

[กิตติ]

ข้อ 1.1
ยิ่งจำนวนลูกสีไหนมีมากกว่า โอกาสถูกหยิบก็จะมากขึ้น
หยิบลูกปิงปองแล้วได้สีต่างกันเกิดได้ แดง-ดำ ดำ-ขาว แดง-ขาว
ดังนั้น โอกาสหยิบได้แดง-ดำเท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{2}{5} =\frac{2}{15} $
โอกาสหยิบได้ดำ-แดงเท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{2}{5} =\frac{2}{15} $
โอกาสหยิบได้ดำ-ขาวเท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{2}{5} =\frac{2}{15}$
โอกาสหยิบได้ขาว-ดำเท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{2}{5} =\frac{2}{15}$
โอกาสหยิบได้แดง-ขาว เท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{2}{5} =\frac{2}{15}$
โอกาสหยิบได้ขาว-แดง เท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{2}{5} =\frac{2}{15}$
รวมแล้วโอกาสหยิบได้ลูกปิงปองสีต่างกันเท่ากับ$6\times \frac{2}{15}=\frac{4}{5} $

คิดง่ายๆว่าโอกาสหยิบได้สีแดง-ไม่ใช่สีแดงเท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{4}{5} =\frac{4}{15}$
โอกาสหยิบได้สีดำ-ไม่ใช่สีดำเท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{4}{5} =\frac{4}{15}$
โอกาสหยิบได้สีขาว-ไม่ใช่สีขาวเท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{4}{5} =\frac{4}{15}$
รวมแล้วได้เท่ากับ$\frac{4}{5} $

ถามต่อว่าถ้าความน่าจะเป็นที่หยิบได้สีเดียวกันเท่ากับเท่าไหร่
เท่ากับ$\frac{2}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{6}\times \frac{1}{5}= \frac{1}{5}$
สังเกตว่าเราอาจหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้สีเดียวกันก่อนแล้วเอาไปลบจาก 1 ก็จะเป็นความน่าจะเป็นที่หยิบได้สีต่างกัน
เพราะการหยิบลูกปิงปองสองลูกนั้นเกิดผลลัพธ์สองแบบคือ สีเหมือนกันกับสีต่างกัน

ถามต่ออีกว่าถ้าจำนวนลูกไม่เท่ากันล่ะ สมมุติให้มีลูกปิงปอง 9 ลูก มีสีแดง 2ลูก สีขาว 3 ลูก และสีดำ 4 ลูก โอกาสที่หยิบลูกปิงปอง2ลูกแล้วได้สีเหมือนกันเป็นเท่าไหร่ ไม่เท่ากับตามข้างต้นเพราะจำนวนลูกเปลี่ยนไป..ถามเล่นๆเอาสนุกครับอย่าซีเรียส

[banker]

ข้อที่ 1 เลือกได้ 4 วิธี โอกาสตอบถูก $\frac{1}{4}$
ข้อที่ 2 เลือกได้ 4 วิธี โอกาสตอบถูก $\frac{1}{4}$
.
.
.
ข้อที่ 10 เลือกได้ 4 วิธี โอกาสตอบถูก $\frac{1}{4}$

10 ข้อแรก โอกาสตอบถูก $(\frac{1}{4})^{10}$

ข้อ 11 เลือกได้ 2 วิธี โอกาสตอบถูก $\frac{1}{2}$
ข้อ 12 เลือกได้ 2 วิธี โอกาสตอบถูก $\frac{1}{2}$
.
.
ข้อ 15 เลือกได้ 2 วิธีโอกาสตอบถูก $\frac{1}{2}$

5 ข้อหลัง โอกาสตอบถูก $(\frac{1}{2})^{5}$

รวม 2 ชุดได้ $(\frac{1}{4})^{10} \cdot (\frac{1}{2})^{5} = (\frac{1}{2})^{25}$ วิธี

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เขาจะได้คะแนนเต็ม เท่ากับ $ (\frac{1}{2})^{25}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ถามต่ออีกว่าถ้าจำนวนลูกไม่เท่ากันล่ะ สมมุติให้มีลูกปิงปอง 9 ลูก มีสีแดง 2ลูก สีขาว 3 ลูก และสีดำ 4 ลูก โอกาศที่หยิบลูกปิงปอง2ลูกแล้วได้สีเหมือนกันเป็นเท่าไหร่ ไม่เท่ากับตามข้างต้นเพราะจำนวนลูกเปลี่ยนไป..ถามเล่นๆเอาสนุกครับอย่าซีเรียส

มาลองทำดู ถามเล่นๆ แต่จะทำจริงๆ

ตามแนวทางที่คุณกิตติกรุยไว้ให้ข้างต้น

แดง-แดง = $\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8}$

ขาว-ขาว = $\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8}$

ดำ-ดำ = $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$

โอกาสได้สีเดียวกันสองลูก = $\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} + \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{5}{18}$

ขอให้ถูก ... เพี้ยง!

[Onasdi]

คิดว่าถูกครับ

มาเพิ่มให้ว่าโจทย์แบบนี้เราสามารถทำได้ 2 แบบ

• วิธีที่คุณกิตติกับคุณ banker ทำเป็นแบบเดียวกันคือแบบสนใจลำดับการหยิบ
• อีกแบบนึงคือแบบหยิบของขึ้นมาพร้อมกันครับ

============================

ผมจะลองทำแบบที่สองให้ดูนะครับ
ลูกปิงปอง 9 ลูก หยิบมาสองลูก ได้ $\dbinom{9}{2}$ วิธี
จำนวนวิธีที่ได้ แดง-แดง $=\dbinom{2}{2}$
จำนวนวิธีที่ได้ ขาว-ขาว $=\dbinom{3}{2}$
จำนวนวิธีที่ได้ ดำ-ดำ $=\dbinom{4}{2}$

ดังนั้นโอกาสที่จะได้สีเดียวกัน $=\dfrac{\dbinom{2}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{4}{2}}{\dbinom{9}{2}}=\dfrac{5}{18}$

============================

สังสัยไหมครับว่าทำไมทั้งสองแบบให้คำตอบเท่ากัน จริงๆคือเรากำลังทำโจทย์กันคนละข้ออยู่

• แบบที่ 1 คือวิธีทำของโจทย์ที่ว่า
  สมมุติให้มีลูกปิงปอง 9 ลูก มีสีแดง 2ลูก สีขาว 3 ลูก และสีดำ 4 ลูก โอกาสที่หยิบลูกปิงปอง 2 ลูก โดยหยิบขึ้นมาทีละลูก แล้วได้สีเหมือนกันเป็นเท่าไหร่
  $\,$
• แบบที่ 2 คือวิธีทำของโจทย์ที่ว่า
  สมมุติให้มีลูกปิงปอง 9 ลูก มีสีแดง 2ลูก สีขาว 3 ลูก และสีดำ 4 ลูก โอกาสที่หยิบลูกปิงปอง 2 ลูก โดยหยิบขึ้นมาพร้อมกัน แล้วได้สีเหมือนกันเป็นเท่าไหร่

คิดว่าเพราะอะไรลองถกกันดูได้ครับ

[poper]

ดูๆแล้ว ทั้ง event และ sample space ของการหยิบแบบครั้งละลูก 2 ครั้งนั้นจะเป็นสองเท่าของวิธีการหยิบพร้อมกัน 2 ลูกโดยไม่คิดถึงลำดับครับ
เช่น การหยิบลูกบอลสีแดง แบบพร้อมกันได้ $\binom{2}{2}=1$ แต่หยิบแบบมีลำดับจะได้ 2 วิธี
การหยิบลูกบอลสีขาวแบบพร้อมกันได้ $\binom{3}{2}=3$ แต่การหยิบแบบมีลำดับได้ $3x2=6$ ....
ดังนั้นพอนำมาหาความน่าจะเป็นจึงได้เท่ากันเนื่องจากว่าจำนวน 2 เท่าของการหยิบแบบมีลำดับนั้นตัดกันหมดไป
พูดง่ายๆก็คือ
$P(หยิบ 2 ลูกพร้อมกัน)=\frac{n(E)}{n(s)}$
$P(หยิบ 2 ลูกแบบมีลำดับ)=\frac{2n(E)}{2n(s)}=\frac{n(E)}{n(s)}$

[กิตติ]

โทษทีครับ เมื่อวันก่อนแอบมาหยอดคำถามเล่นๆ ไม่ได้คิดว่าจะมีใครสนใจ
วันอาทิตย์ ผมมัวแต่ย้ายห้อง ขนของทั้งวัน ค่ำมาหมดแรงเลยไม่ได้เข้ามาแจม
ขอบคุณทั้งสามท่านที่ช่วยเข้ามาแจม ความเห็นของคุณOnasdi...ช่วยชี้ทางกระจ่างให้ผมมากเลย
ลุงBankerครับ...อย่าเชื่อผมมากนะ ผมสะเพร่าประจำ
ที่ผมเขียนตั้งยืดยาว เพราะผมกำลังงงเองว่าจะคิดแบบหยิบครั้งเดียวดีหรือหยิบสองครั้งดี
และคิดว่าคิดหาSample Spaceก่อนแล้วค่อยหาจำนวนตามที่โจทย์ต้องการ
ผมกลับมาดูเนื้อหาของม.ต้นซึ่งไม่ได้เรียนคอมบิ ถ้าผมเฉลยแบบหาวิธีแล้ว น้องๆม.ต้นเข้ามาคงจะงงและถอยกันหมด
เลยนั่งนึกเนื้อหาที่เคยเรียนจำได้ว่ามีวิธีการคิดแบบที่ผมทำ คือคิดความน่าจะเป็นของการหยิบเอาทีละลูก
ถ้าเราไม่จำกัดวิธีการหาคำตอบ ใช้คอมบิได้ เดี๋ยวผมค่อยๆลองไล่เรียงแนวคิดดู

[กิตติ]

มีลูกปิงปอง 9 ลูก มีสีแดง 2ลูก สีขาว 3 ลูก และสีดำ 4 ลูก โอกาสที่หยิบลูกปิงปอง 2 ลูก โดยหยิบขึ้นมาทีละลูก แล้วได้สีเหมือนกันเป็นเท่าไหร่ โอกาสที่หยิบลูกปิงปอง 2 ลูก โดยหยิบขึ้นมาพร้อมกัน แล้วได้สีเหมือนกันเป็นเท่าไหร่

แบบแรกหยิบทีละลูก
sample spaceของจำนวนวิธีการหยิบลูกปิงปองทีละลูกจากทั้งหมด 9 ลูกเท่ากับ$\binom{9}{1}\times \binom{8}{1} $ เท่ากับ $72$ วิธีโดยวิธีนี้เราให้ลูกปิงปองแต่ละลูกนั้นแตกต่างกัน และการหยิบนั้นมีลำดับ
หยิบได้สีเดียวกันเกิดขึ้นได้ 3 แบบคือ แดง-แดง,ขาว-ขาว,ดำ-ดำ
จำนวนวิธีที่หยิบได้แดง-แดง คือ $\binom{2}{1} $ เท่ากับ $2$ วิธี
จำนวนวิธีที่หยิบได้ขาว-ขาว คือ $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} $ เท่ากับ $6$ วิธี
จำนวนวิธีที่หยิบได้ดำ-ดำ คือ $\binom{4}{1}\times \binom{3}{1} $ เท่ากับ $12$ วิธี
โอกาสที่หยิบลูกปิงปอง 2 ลูกโดยหยิบขึ้นมาทีละลูกแล้วได้สีเหมือนกัน เท่ากับ $\frac{20}{72} = \frac{5}{18} $

แบบที่สองหยิบทีละสองลูก
sample spaceของจำนวนวิธีการหยิบลูกปิงปองทีละสองลูกจากทั้งหมด 9 ลูกเท่ากับ$\binom{9}{2}$ เท่ากับ $36$ วิธี เท่ากับครึ่งหนึ่งของแบบที่หยิบทีละลูก เพราะแบบแรกนั้นเราถือว่าการหยิบได้$แดง_๑ , แดง_๒$ กับการหยิบได้ $ แดง_๒ ,แดง_๑ $ นั้นเป็นคนละวิธี แต่วิธีที่หยิบทีละสองลูกนั้นมองว่าเป็นแบบเดียวกัน
จำนวนวิธีที่หยิบได้แดง-แดง คือ $\binom{2}{2} $ เท่ากับ $1$ วิธี
จำนวนวิธีที่หยิบได้ขาว-ขาว คือ $\binom{3}{2} $ เท่ากับ $3$ วิธี
จำนวนวิธีที่หยิบได้ดำ-ดำ คือ $\binom{4}{2}$ เท่ากับ $6$ วิธี
สังเกตเห็นว่ามีจำนวนวิธีเท่ากับครึ่งเดียวของแบบแรก
โอกาสที่หยิบลูกปิงปอง 2 ลูกโดยหยิบขึ้นมาทีละลูกแล้วได้สีเหมือนกัน เท่ากับ $\frac{10}{36} = \frac{5}{18} $

ถามต่อว่า มีลูกปิงปอง 9 ลูก มีสีแดง 2ลูก สีขาว 3 ลูก และสีดำ 4 ลูก หยิบลูกปิงปองสองลูกพร้อมกัน โอกาสที่หยิบได้ลูกปิงปองสีต่างกันเป็นเท่าไหร่ ห้ามคิดแบบเอาโอกาสที่ได้เหมือนกันไปลบจากหนึ่งแล้วตอบ
และถ้าหยิบลูกปิงปองทีเดียวสามลูกเลย โอกาสที่หยิบได้สีต่างกัน2สีเป็นเท่าไหร่ แอบหยอดไปเรื่อยๆ