สอวน วิชาทฤษฎีจำนวน 20 ตุลา 49

[goodnews]

1. จงหาจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 999999n = 111...11

2. ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า $n(n+1)| 2(1^k+2^k+...+n^k)$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวกคี่ k

3. ให้ $n \in N$ จงแสดงว่า $2^{2^{2n+1}} +3$ เป็นจำนวนประกอบเสมอ

4. ให้ $d = ( 5^{2468}-1, 5^{248}-1) $
จงหา d พร้อมทั้งหาจำนวนเต็ม x , y ที่ทำให้ $d = 5^{2468}x+5^{248}y$

5. ให้ $p \nmid n$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่ง $p\leq \sqrt[3]{n}$ จงแสดงว่าจำนวนเต็มบวก $n > 1$ จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวน

6. ให้ a , b เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a,b)= 1
จงพิสูจน์ว่า $( a+b , a^2-ab+b^2)=1$ หรือ 3


ขอโทษด้วยนะครับ ผมพิมพ์สัญลักษณ์ไม่เก่งครับ รบกวนด้วยครับ

[nooonuii]

ขอลองทำดูซักข้อนะครับ กำลังหัดทำโจทย์ทฤษฎีจำนวน

6. ให้ $d=(a+b,a^2-ab+b^2)$ จะได้ว่า $d|(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)\Rightarrow d|3ab$
ดังนั้น $d|3a(a+b)-3ab\Rightarrow d|3a^2$ และ $d|3b(a+b)-3ab \Rightarrow d|3b^2$
เราจึงได้ว่า $d|(3a^2,3b^2)\Rightarrow d|3(a,b)^2\Rightarrow d|3$
ถ้า $a=1,b=2$ จะได้ $d=3$
ถ้า $a=2,b=3$ จะได้ $d=1$
ดังนั้น $d=1,3$

[tatari/nightmare]

1.ให้ k เป็นค่าที่น้อยที่สุดซึ่ง $999999n=1111....1111(k ตัว)$ จะได้ $n=\frac{111...111( k ตัว)}{999999}$ จากที่ $999999=9\bullet 111111$
ถ้า $9\mid 111...111(k times)$ จะได้ว่า $1+1+1+...+1(k ตัว)$ ก็จะต้องหารด้วย 9 ลงตัว นั่นคือ $9\mid k$
ถ้า $111111\mid 111...111(k time)$ ก็จากที่ $111111\mid 111....111(m ตัว)$ ก็ต่อเมื่อ $6\mid m
\therefore 6\mid k$ ฉะนั้นค่า k ที่น้อยที่สุดซึ่ง $9\mid k,6\mid k$ คือ $k=18$
ดังนั้น ค่า ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องเงื่อนไขคือ $n=\frac{111...111(18 ตัว)}{999999}=\frac{10^{18}-1}{9(10^7-1)} $
2.ข้อนี้ใช้แค่ความจริงที่ว่า" สำหรับจำนวนคี่ k,$a^k+b^k$ จะหารด้วย $a+b$ ลงตัว ทุก $a,b\in\mathbb{N}$"
แยกเป็น 2 กรณี(ขอกำหนดให้ $s_k=1^k+2^k+3^k+...+n^k$)
(1) n เป็นจำนวนคู่ : $s_k=(1^k+n^k)+(2^k+(n-1)^k)+...+((\frac{n}{2})^k+(\frac{n}{2}+1)^k)=(n+1)(....)$ ฉะนั้น $n+1\mid s_k$
และ $s_k=(1^k+(n-1)^k)+(2^k+(n-2)^k)+...+((\frac{n}{2}-1)^k+(\frac{n}{2}+1)^k)+(\frac{n}{2})^k+n^k=n(.....)$ ฉะนั้น $n\mid s_k$ แต่จากที่ n เป็นจำนวนคู่จึงได้ว่า $\frac{n}{2}$ เป็นจำนวนเต็ม $\therefore \frac{n}{2}\mid s_k$ จึงได้ว่า $\frac{n(n+1)}{2}\mid s_k\rightarrow n(n+1)\mid 2(1^k+2^k+3^k+...+n^k)$
ส่วนกรณี n เป็นจำนวนคี่ก็ทำในทำนองเดียวกัน(จับคู่บวกเหมือนกัน)#
3.ต่อไปจะแสดงว่า $7\mid 2^{2^{2n+1}}+3,ทุก n\in\mathbb{N}$
จัดรูป: $(2^{2^{2n+1}}-4)+7
=4(2^{2^{2n+1}-2}-1)+7...(1)$ พิจารณา $2^{2n+1}-2$ จะไดว่า $2^{2n+1}-2=2(2^{2n}-1)=2(4^n-1)$ จากที่ $3\mid 4^n-1 \therefore 3\mid 2^{2n+1}-2$ นั่นคือจะมี $k\in\mathbb{N}$ ซึ่ง
$2^{2n+1}-2=3k$ นำกลับไปแทนใน (1) จะได้
$(2^{2^{2n+1}}-4)+7=4(2^{3k}-1)+7=4(8^k-1)+7$ และจากที่ $7\mid 8^k-1$และ $7\mid 7
,\therefore 7\mid 2^{2^{2n+1}}+3$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

1.ให้ k เป็นค่าที่น้อยที่สุดซึ่ง $999999n=1111....1111(k ตัว)$ จะได้ $n=\frac{111...111( k ตัว)}{999999}$ จากที่ $999999=9\bullet 111111$
ถ้า $9\mid 111...111(k times)$ จะได้ว่า $1+1+1+...+1(k ตัว)$ ก็จะต้องหารด้วย 9 ลงตัว นั่นคือ $9\mid k$
ถ้า $111111\mid 111...111(k time)$ ก็จากที่ $111111\mid 111....111(m ตัว)$ ก็ต่อเมื่อ $6\mid m
\therefore 6\mid k$ ฉะนั้นค่า k ที่น้อยที่สุดซึ่ง $9\mid k,6\mid k$ คือ $k=18$
ดังนั้น ค่า ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องเงื่อนไขคือ $n=\frac{111...111(18 ตัว)}{999999}=\frac{10^{18}-1}{9(10^7-1)} $

$\frac{111...111(18 ตัว)}{999999}$ จำนวนนี้ไม่ใช่จำนวนเต็มนะครับ เพราะหารไม่ลงตัว


จำนวนที่ผมหาได้ พบว่ามหึมามาก คือ 111111222222333333444444555555666666777777888889 มีใครหาได้น้อยกว่าจำนวนนี้บ้างหรือเปล่าครับ

[tatari/nightmare]

แล้วคุณ gon หายังไงละครับ กรณีที่มี 9 อยู่ 5 ตัว ผมใช้วิธีนี้ก็ได้คำตอบออกมาถูกนี่ครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

แล้วคุณ gon หายังไงละครับ กรณีที่มี 9 อยู่ 5 ตัว ผมใช้วิธีนี้ก็ได้คำตอบออกมาถูกนี่ครับ

วิธีผมถึกมากครับ ไม่ค่อยจะมีความรู้เรื่องนี้มากเท่าไร เน้นพลังเข้าห้ำหั่น

ข้อ 1

MySolution

สมมติว่า n = $...a_{10}a_9a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$

ชัดเจนว่า

$a_0 = 9$ ทด 8
$9(a_1 + 9) + 8 \Rightarrow a_1 =8 $ ทด 16
$9(a_2 + 17) + 16 \Rightarrow a_2 =8 $ ทด 24
$9(a_3 + 25) + 24 \Rightarrow a_3 =8 $ ทด 32
$9(a_4 + 33) + 32 \Rightarrow a_4 =8 $ ทด 40
$9(a_5 + 41) + 40 \Rightarrow a_5 =8 $ ทด 48
$9(a_6 + 40) + 48 \Rightarrow a_6 =7 $ ทด 47
$9(a_7 + 39) + 47 \Rightarrow a_7 =7 $ ทด 46
$9(a_8 + 38) + 46 \Rightarrow a_8 =7 $ ทด 45
$9(a_9 + 37) + 45 \Rightarrow a_9 =7 $ ทด 44
$9(a_{10} + 36) + 44 \rightarrow a_{10} =7 $ ทด 43
$9(a_{11} + 35) + 43 \rightarrow a_{11} =7 $ ทด 42
$9(a_{12} + 35) + 42 \rightarrow a_{12} =6 $ ทด 41
$9(a_{13} + 34) + 41 \rightarrow a_{13} =6 $ ทด 40
.................
$9(a_{47} + 5) + 7 \Rightarrow a_{47} =1 $ ทด 6

ข้อ 3

MySolution

ให้ $a_n = 2^{2^{2n+1}}$ ลองแทน n = 1 จะได้ 259 = (7)(37)
พิจารณา $a_{n+1} - a_n = (2^8)^{2^{2n}} - (2^2)^{2^{2n}} = (252)(........) = 7(36)(......)$
ดังนั้น ถ้า $a_n$ มี 7 เป็นตัวประกอบแล้วจะเห็นได้ชัดว่า $a_{n+1}$ จะต้องมี 7 เป็นตัวประกอบ ซึ่งเราสามารถแสดงได้โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ไม่ยาก

[tatari/nightmare]

ข้อที่ 1 นี่เป็นวิธีเดียวกับของผมตอนอยู่ในห้องสอบเลยนะครับ (วิธีที่ผมนำมาPOSTเป็นวิธีของคนอื่นครับ ) ส่วนข้อที่ 2(หรือข้อ 3 )ของคุณ gon นี่น่าจะเป็น Best solution เลยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

$\frac{111...111(18 ตัว)}{999999}$ จำนวนนี้ไม่ใช่จำนวนเต็มนะครับ เพราะหารไม่ลงตัว


จำนวนที่ผมหาได้ พบว่ามหึมามาก คือ 111111222222333333444444555555666666777777888889 มีใครหาได้น้อยกว่าจำนวนนี้บ้างหรือเปล่าครับ

สนับสนุนคำตอบของพี่ Gon ครับ

วิธีคิด $n=\dfrac{10^k-1}{9(10^6-1)}$
เราทราบว่า $10^6-1|10^k-1\Leftrightarrow 6|k$
ดังนั้น $k=6m$ สำหรับบาง $m$
เราจึงได้ว่า $\dfrac{10^{6m}-1}{10^6-1}=1+10^6+\cdots+10^{6(m-1)}$
แต่ $9|1+10^6+\cdots+10^{6(m-1)}\Leftrightarrow 9|m$
ดังนั้น $k$ ที่น้อยที่สุดคือ $k=6\cdot 9=54$ เราจึงได้ว่า
$n=\dfrac{10^{54}-1}{9(10^6-1)}$
$\quad=111111222222333333444444555555666666777777888889$

[Art_ninja]

ลองมาทำข้อ 2 ครับ
จงพิสูจน์ว่า
$n(n+1)\vert 2(1^k+2^k+...+n^k)$ สำหรับ $k$ เป็นจำนวนคี่
วิธีทำ โจทยฺ์ที่ต้องการสมมูลกับ
$2(1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod n$ และ
$2(1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {n+1}$
จาก
$1 \equiv -(n-1) \pmod n \Rightarrow 1^k \equiv -(n-1)^k \pmod n$ เพราะว่า $k$ เป็นจำนวนคี่
ในกรณีที่ $n$ เป็นจำนวนคีู่่ี่ จะเ้ห็นได้ชัีดว่า $2(1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod n$ และ ในกรณีที่ n เป็นจำนวนคู่ีู่่จะได้ว่า
$2(\frac{n}{2})^k\equiv (\frac{n}{2})^k+(\frac{n}{2})^k \pmod n$ และจาก
$(\frac{n}{2})^k \equiv -(\frac{n}{2})^k \pmod n$
ทำให้ได้ว่า
$(\frac{n}{2})^k+(\frac{n}{2})^k\equiv 0 \pmod n$ ดังนั้น
$2(1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {n+1}$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคู่
$$\therefore 2(1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod n \forall n \in \mathbb{N} --(1) $$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า
$$\therefore 2(1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {n+1} \forall n \in \mathbb{N} --(2) $$
ดังนั้น จาก (1) และ (2)
จะได้ว่า
$2(1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {lcm(n,n+1)}$
เนื่องจาก $gcd(n,n+1)=1 \forall n \in \mathbb{N} $
จึงได้ว่า
$2(1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {n(n+1)}$
ดังนั้น
$$n(n+1)\vert 2(1^k+2^k+...+n^k)$$ สำหรับทุก $k$ เป็นจำนวนคี่

[tatari/nightmare]

5.เราเขียน $n=p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{k}$ โดยที่ $p_{k}$ แทนจำนวนเฉพาะตัวที่ $k$
และ $p_{1}<p_{2}<p_{3}<\ldots <p_{k}$
จะไดว่า $n$ เป็นจำนวนประกอบ ดังนั้นจะมีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ $p\vert n$ และ $p\leq\sqrt{n}$
ซึ่งจะเห็นว่าไม่ว่าจะกรณีใดๆ $p_{1}\leq\sqrt{n}$ เสมอ เนื่องจาก $\sqrt[3]{n}<\sqrt{n}$
จึงพิจารณาเป็น 2 กรณี
(i)$p_{1}\leq\sqrt[3]{n}$ โดยเงื่อนไขของโจทย์ก็จะได้ว่า $p_{1}\not\vert n$ ซึ่งจะเห็นว่าจะเกิดข้อขัดแย้ง
(ii)$p>\sqrt[3]{n}$ นั่นคือ $p_{1}^3>n$ จากที่ $p_{2}>p_{1}\therefore p_{2}^3>n$
ในทำนองเดียวกันเราก็จะได้ทันทีว่า $p_{i}^3>n$ สำหรับทุก $i=1,2,3,\ldots,k$ นำอสมการทั้งหมดมาคูณกันจะได้ว่า $$(p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{k})^3>n^k=(p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{k})^k$$
ฉะนั้น $k<3$ แต่ $k\in\mathbb{N}$ ดังนั้นค่าของ $k$ เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 1 และ 2
จึงได้ว่า $n=p_{1}$ หรือ $n=p_{1}p_{2}$ ซึ่งก็คือสิ่งที่โจทย์ต้องการนั่นเอง #

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

5.เราเขียน $n=p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{k}$ โดยที่ $p_{k}$ แทนจำนวนเฉพาะตัวที่ $k$
และ $p_{1}<p_{2}<p_{3}<\ldots <p_{k}$

ทราบได้อย่างไรครับว่า $n$ เป็น square-free