จัดรูป Determinant (Matrix)

[Oriel]

จงพิสูจน์ว่าสมการต่อไปนี้มีรากหนึ่งเป็นศูนย์ โดยใช้วิธีจัดรูป (ห้ามหา det แบบ cofactor หรือ แบบต่อหลักเพิ่ม)
$$\vmatrix{0 & x-a & x-b \\ x+a & 0 & x-c\\ x+b & x+c & 0} = 0$$

[gon]

วิธีจัดรูปเป็นอย่างไงหรือครับ ภาษาอังกฤษเขียนว่าอย่างไร

[Oriel]

Without Expanding อ่าครับ ไม่แน่ใจว่าหมายภึงห้ามใช้ det แบบ cofactor รึปล่าว

[Oriel]

ออกแล้วครับ
$$\vmatrix{0 & x-a & x-b \\ x+a & 0 & x-c\\ x+b & x+c & 0} = 0$$
$$\frac{1}{x+c} \vmatrix{0 & (x-a)(x+c) & (x-b)(x+c) \\ x+a & 0 & x-c\\ x+b & x+c & 0} = 0$$
$$\frac{1}{(x+c)(x-a)} \vmatrix{0 & (x-a)(x+c) & (x-b)(x+c) \\ x+a & 0 & x-c\\ (x+b)(x-a) & (x+c)(x-a) & 0} = 0$$
$$\frac{(x+c)(x-a)}{(x+c)(x-a)} \vmatrix{0 & 1 & (x-b)(x+c) \\ x+a & 0 & x-c\\ (x+b)(x-a) & 1 & 0} = 0$$
$$\frac{1}{(x-c)(x+a)} \vmatrix{0 & 1 & (x-b)(x+c)(x+a) \\ (x+a)(x-c) & 0 & (x-c)(x+a)\\ (x+b)(x-a) (x-c)& 1 & 0} = 0$$
$$\vmatrix{0 & 1 & (x-b)(x+c)(x+a) \\ 1 & 0 & 1\\ (x+b)(x-a)(x-c) & 1 & 0} = 0$$
$$\frac{1}{(x+b)(x-a)(x-c)}\vmatrix{0 & (x+b)(x-a)(x-c) & (x-b)(x+c)(x+a) \\ 1 & 0 & 1\\ (x+b)(x-a)(x-c) & (x+b)(x-a)(x-c) & 0} = 0$$
$$\frac{1}{(x+b)(x-a)(x-c)}\vmatrix{-(x+b)(x-a)(x-c) & (x+b)(x-a)(x-c) & (x-b)(x+c)(x+a) \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & (x+b)(x-a)(x-c) & 0} = 0$$
$$\vmatrix{-(x+b)(x-a)(x-c) & 1 & (x-b)(x+c)(x+a) \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0} = 0$$
$$(-1)\vmatrix{-(x+b)(x-a)(x-c) & (x-b)(x+c)(x+a) \\ 1 & 0 & 1} = 0$$
$$(-1)(-(x-b)(x+c)(x+a)-(x+b)(x-a)(x-c))=0$$
$$x(2x^2-2bc+2ac-2ab)=0$$
จะได้ว่ามีรากหนึ่งเป็นศูนย์ครับ

[gon]

ผมว่าน่าจะแปลว่า ห้ามกระจายออกมา

ผมหา det แบบสามคูณสามปกติโดยใช้สูตรได้

$(x-a)(x-c)(x+b)(x+b) + (x+a)(x-b)(x+c) = 0$

จากนั้นผมแทน $x = 0$ ลงไป จะได้ $abc - abc = 0$

ซึ่งก็แสดงว่า $x = 0$ เป็นรากหนึ่ง