ช่วยด้วยค่ะ

[pen]

1. ถ้า $x=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ให้หาค่าของ $x^{15}-\frac{610}{x}$
2. ถ้า $x=\sqrt{y^2-\frac{1}{49}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{49}}$
$y=\sqrt{z^2-\frac{1}{81}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{81}}$
$z=\sqrt{x^2-\frac{1}{121}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{121}}$
และ $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$ โดย m,n เป็นจำนวนเต็มบวก ให้หาค่าน้อยสุดของ m+n
3. ถ้า $a+b+c>0$ และสอดคล้องกับ $a^2bc+ab^2c+abc^2+8=a+b+c$ ,
$a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+3abc=-4$ , $a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2=2+ab+bc+ac$ ให้หาค่าของ $a^5+b^5+c^5$

[Anonymous314]

นี่มันโจทย์ สพฐ. ม.ต้น รอบ 2 ที่สอบมาไม่ใช่เหรอครับ ยากมากเลยยังทำไม่ได้เลยครับ

[pen]

น้องเอามาถาม แล้วคิดไม่ออกคะ

[Puriwatt]

ผมขอเฉลยข้อ 1. ก่อนนะครับ --> จากโจทย์ x = $\sqrt{1-\frac{1}{x}}$+$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ---- (1)
มีเงื่อนไขที่เป็นจริงเมื่อเลขในรูทมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และผลบวกตามสมการ(1) มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
สรุปได้ว่า $x \geqslant 1$ และยังพบว่า $\sqrt{x-\frac{1}{x}} \geqslant \sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ด้วย ดังนั้นเราจึงนำ$\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ไปคูณสมการ(1)
จะได้ $x \cdot (\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}})$ = $(x-\frac{1}{x})-(1-\frac{1}{x})$ = x - 1
จัดรูปใหม่จะได้ 1 - $\frac {1}{x}$ = $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ---- (2)
เอาสมการที่ (1) บวกกับ สมการที่ (2) จะได้ x + 1 - $\frac {1}{x} = 2 \cdot \sqrt{x-\frac{1}{x}}$
จัดรูปใหม่ได้เป็น $(x-\frac {1}{x}) - 2 \cdot \sqrt{x-\frac{1}{x}}$ + 1 = 0 หรือ $(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-1)^2$ = 0
ได้ $\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ = 1 --> $(x-\frac{1}{x})$ = 1 --> $x^2$ - x - 1 = 0 แก้สมการได้ค่า x = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
และได้ $x^2$ = $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ --> $x^4$ = $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ --> $x^8$ = $\frac{47+21\sqrt{5}}{2}$ --> $x^{16}$ = $\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}$
โจทย์ต้องการหาค่าของ $x^{15}-\frac{610}{x} หรือ \frac {(x^{16}-610)}{x}$ = $\frac {(\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}-610)}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{(987+987\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})}$ = 987 ขอตอบเลยครับ

[nongtum]

ข้อ 3
ให้ $x=1-abc,\ y=a+b+c,\ z=ab+bc+ca$ จะได้สามสมการในโจทย์เป็น $xy=8,\ yz=-4,\ zx=-2$
โดยเงื่อนไข $y>0$ จะได้ $x=2\ \Rightarrow\ abc=-1,\ y=4,\ z=-1$
$\sum a^2=y^2-2z=18$
$\sum a^3=y\sum a^2+3abc+4=73$
$\sum a^5=(\sum a^2)(\sum a^3)-[(\sum a^2b^2)y-abcz]=(\sum a^2)(\sum a^3)-[(z^2-2abcy)y-abcz]=1279$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pen

1. ถ้า $x=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ให้หาค่าของ $x^{15}-\frac{610}{x}$

ผมให้อีกแนวคิดครับ
$x=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ถ้าคนเคยผ่านโจทย์ลักษณะนี้จะรู้ทันทีว่ามีรากของคำตอบเหมือนกับ
สมการ $x^2-x-1 = 0$ และ สิ่งที่โจทย์ต้องการ $x^{15}-\frac{610}{x} = \frac{x^{16}-610}{x} $
และใช้ความสัมพันธ์ที่ได้จาก $x^2-x-1 = 0$ มาหา $ x^{16}$ ซึ่งจะได้ว่า $ x^{16} = 987x+610$ ต่อจากนั้นก็นำไปแทนค่าก็จะได้คำตอบคือ 987

2.
$z=\sqrt{x^2-\frac{1}{121}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{121}}$
และ $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$ โดย m,n เป็นจำนวนเต็มบวก ให้หาค่าน้อยสุดของ m+n

ตรง $z^2$ น่าจะเป็น $y^2$ ครับ

[nongtum]

ขอบคุณคุณ puriwatt ที่ท้วงครับ คิดอะไรแบบนี้ทดเลขผิดได้ง่ายๆเลยนะครับ

[pen]

ใช่แล้วค่ะ ข้อ 2. สมการสุดท้าย ตรง $Z^2$ เป็น $y^2$
รบกวนพี่ๆเพิ่มหน่อยค่ะ ข้อ 1 ที่ว่าคำตอบเหมือนกับ สมการ $x^2-x-1=0$ หมายถึงสามารถจัดรูปให้เหมือนกันได้หรือเปล่าค่ะ หรือเหมือนกันในแง่ไหนค่ะ

[RoSe-JoKer]

ข้อสองนิมันแนวเดียวกับโจทย์ AIME เลยนิครับ คนไทยลอกเก่งจริงๆ

[pen]

เข้าใจแล้วค่ะ
กำลังลองพยายามคิดข้อ 2. ด้วยวิธีคล้ายๆข้อ 1. (คอนจูเกต) ยัง งงๆ ตอนจัดรูปนี่แหละค่ะ ถ้ามาผิดทางแนะนำด้วยนะค่ะ มีคำถามเพิ่มเติมอีกข้อค่ะ เห็นบอกว่าเป็นข้อสอบชุดเดียวกัน
ให้แก้สมการ $ \frac{(\sqrt{2x^2-2x+12}-\sqrt{x^2-5})^3}{(5x^2-2x-3)\sqrt{2x^2-2x+12}}=\frac{2}{9}$

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pen

ให้แก้สมการ $ \frac{(\sqrt{2x^2-2x+12}-\sqrt{x^2-5})^3}{(5x^2-2x-3)\sqrt{2x^2-2x+12}}=\frac{2}{9}$

hint

สังเกตว่า $5x^2-2x-3=(2x^2-2x+12)+3(x^2-5)$
และเอกลักษณ์ $(A\pm B)^3 = A^3 \pm 3A^2B + 3AB^2 \pm B^3$

ลองคิดดูก่อนนะครับ

ลองคิดดูแล้ว ใช่ไหมครับ?

ลองดูวิธีนี้นะครับ
สมมติให้ $A=\sqrt{2x^2-2x+12}$ และ $B=\sqrt{x^2-5}$ จะได้ว่า
\[\begin{array}{rcl}
\frac{2}{9}&=&\frac{(A-B)^3}{(A^2+3B^2)A}.....(i)\\
&=&\frac{A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}{A^3+3AB^2}\\
&=&1-\frac{3AB^2+B^3}{A^3+3AB^2}\\
\therefore \frac{3AB^2+B^3}{A^3+3AB^2}&=&\frac{7}{9}\\
1+\frac{3AB^2+B^3}{A^3+3AB^2}&=&1+\frac{7}{9}\\
\frac{A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}{A^3+3AB^2}&=&\frac{16}{9}\\
\frac{(A+B)^3}{A^3+3AB^2}&=&\frac{16}{9}.....(ii)\\
(i)\div (ii);\frac{(A-B)^3}{(A+B)^3}&=&\frac{1}{8}\\
\frac{A-B}{A+B}&=&\frac{1}{2}\\
2(A-B)&=&A+B&\\
A&=&3B
\end{array}\]
จากนั้น ก็แทนค่า $A,B$ ที่กำหนดไว้ตอนแรก แล้วแก้อีกนิดหน่อยก็จะได้คำตอบครับ

คำตอบคือ...

x=19/7 และ -3 (ถ้าทดเลขไม่ผิดนะครับ )

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pen

ใช่แล้วค่ะ ข้อ 2. สมการสุดท้าย ตรง $Z^2$ เป็น $y^2$
รบกวนพี่ๆเพิ่มหน่อยค่ะ ข้อ 1 ที่ว่าคำตอบเหมือนกับ สมการ $x^2-x-1=0$ หมายถึงสามารถจัดรูปให้เหมือนกันได้หรือเปล่าค่ะ หรือเหมือนกันในแง่ไหนค่ะ

ที่ผมบอกว่า คนเคยผ่านโจทย์ลักษณะนี้จะรู้ทันทีว่ามีรากของคำตอบเหมือนกับ สมการ $x^2-x-1=0$ เพราะโจทย์ลักษณะนี้เคยเป็นข้อสอบใน สอวน.
และ ข้อสอบของเพชรยอดมงกุฎ วิธีการของผมคือ ย้ายข้างแล้วยกกำลังสอง จัดรูปใหม่จะได้ $(x-\frac{1}{x}) = 1$ ซึ่งก็จะมีรากของคำตอบเหมือนกับ
สมการ $x^2-x-1=0$ ต่อจากนั้นก็ใช้หลักการเปลี่ยนรูปโดยยังเป็นรากของคำตอบตัวเดียวกันคือ
$x^2 = x+1$ ยกกำลังสองจะได้ $x^4 = x^2+2x+1 = 3x+2$ (แทน $x^2 = x+1$)
$x^8 = 9x^2+12x+4 = 21x + 13$
$x^{16} = 441x^2+546x+168 = 987x + 610$ ต่อจากนั้นก็ไม่มีอะไรแล้วครับ

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pen

เข้าใจแล้วค่ะ
กำลังลองพยายามคิดข้อ 2. ด้วยวิธีคล้ายๆข้อ 1. (คอนจูเกต) ยัง งงๆ ตอนจัดรูปนี่แหละค่ะ ถ้ามาผิดทางแนะนำด้วยนะค่ะ มีคำถามเพิ่มเติมอีกข้อค่ะ เห็นบอกว่าเป็นข้อสอบชุดเดียวกัน
ให้แก้สมการ $ \frac{(\sqrt{2x^2-2x+12}-\sqrt{x^2-5})^3}{(5x^2-2x-3)\sqrt{2x^2-2x+12}}=\frac{2}{9}$

จำโจทย์ได้เยอะจังเลยครับ ทั้งสมการยาว ๆ ด้วย เก่งจัง