Oh My God : คณิตศาสตร์หรือจะมั่ว

[ลูกชิ้น]

จากรูปข้างบน ถ้าไม่มองเส้น ST ผมนึกถึงรูปหกเหลี่ยมบนรวงผึ้งครับ

แล้วก็สันนิษฐานว่า โครงสร้างเส้นด้านข้างน่าจะเป็นเช่นนี้เสมอคือ มุม ASD และ มุม BTC มีขนาด 2pi/3 ครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

จากรูปข้างบน ถ้าไม่มองเส้น ST ผมนึกถึงรูปหกเหลี่ยมบนรวงผึ้งครับ

แล้วก็สันนิษฐานว่า โครงสร้างเส้นด้านข้างน่าจะเป็นเช่นนี้เสมอคือ มุม ASD และ มุม BTC มีขนาด 2pi/3 ครับ

ถูกต้องครับผม โครงสร้างเหมือนรังผึ้งทำมุมกัน 120 องศา ส่วนเส้นที่มองไม่เห็น เดี๋ยวรอก่อนนะครับจะทำให้เห็นเป็นแบบ General สำหรับเหลี่ยมใด ๆ ต้องรอสักครู่ ... เพราะต้องใช้เวลาครับ ... ขอบคุณครับ

[beginner01]

พอจะพิสูจน์กรณี 3 เหลี่ยม กับ 4 เหลี่ยมนูนให้ดูได้ไหมครับว่าทำไมต้องเป็นจุดนั้นเสมอ? (ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์นะครับ)

[คุณชายน้อย]

สำหรับจุด S และ T ที่หายไป สามารถใช้ Centroid มาช่วยหาได้ แต่ใช้ได้กับสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่านั้นครับ ดังรูป


ส่วนวิธีการพิสูจน์ว่าดีที่สุดนั้น เป็นเพราะฟองสบู่ครับ แต่ยังไม่ชัดเจน 100% แต่บอกแง้ม ๆ ก่อนว่าเกี่ยวข้องกับพื้นผิวของฟองสบู่แน่นอน (Surface Property) และมุมต้องเป็น 120 องศาเท่านั้น ยังไงลองศึกษาเพิ่มเติมที่นี่ก่อน บอกใบ้ตอนนี้ก่อน ให้สังเกตจากแรงสามแรงอะไรเอ๋ยที่มากระทำกับหยดน้ำ แล้วยังไงจะมาต่ออีกนะครับ... ส่วนวิธีการคิดทางคณิตศาสตร์นั้น แอะ ๆ ยังไม่มีใครคิดครับ เพราะ OMG

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณชายน้อย

ถูกต้องครับผม โครงสร้างเหมือนรังผึ้งทำมุมกัน 120 องศา ส่วนเส้นที่มองไม่เห็น เดี๋ยวรอก่อนนะครับจะทำให้เห็นเป็นแบบ General สำหรับเหลี่ยมใด ๆ ต้องรอสักครู่ ... เพราะต้องใช้เวลาครับ ... ขอบคุณครับ

ในทางคณิตศาสตร์ยังไม่มี Algorithm ในการหาจุดที่มองไม่เห็นดังกล่าว ในกรณีที่มากกว่า 4 เหลี่ยม
- สำหรับรูป 3 เหลี่ยมมีจุดที่มองไม่เห็น 1 จุด ก็คือจุด Centroid มีสูตรสำเร็จเรียบร้อยทางคณิตศาสตร์
- สำหรับรูป 4 เหลี่ยมมีจุดที่มองไม่เห็น 2 จุด ก็คือจุด S,T ดังรูปเก่า (ด้านบน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ผมสมมติฐานว่าจุด S,T อยู่บนแนวเส้น MN ซึ่ง M,N เป็น Centroid ดังรูปเก่า (ด้านบน) แล้วลองหาจุด S,T ดูปรากฏว่าสามารถหาได้เสมอที่สอดคล้องเงื่อนไขของการทำมุม 120 องศา (เหมือนรังผึ้ง) ซึ่งเราสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้อีกครั้งทางคณิตศาสตร์สำหรับรูป 4 เหลี่ยมมุมฉากใด ๆ (ใช้ความรู้เรื่องจุด Centroid และกฎของ Cosin น่าจะได้สูตรสำเร็จทางคณิตศาสตร์ <== ต้องให้ไปลองไปหาสูตรสำเร็จกันเองนะครับ คงไม่ยาก...) และสันนิษฐานว่า Alogorithm นี้น่าจะใช้ได้กับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วยครับ ส่วนรูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ ยังไม่มี Algorithm ครับ
- สำหรับรูป 5 เหลี่ยมมีจุดที่มองไม่เห็น 3 จุด ยังไม่มี Algorithm เหมือนกัน ดังรูป


ผมสันนิษฐานว่าสำหรบ n เหลี่ยมใด ๆ เมื่อ n มากกว่าหรือเท่ากับ 3 จะมีจุดที่มองไม่เห็น n-2 จุด ครับ และแขนของมุมที่จุดนั้นทำมุมกัน 120 องศา (เหมือนรังผึ้ง) และหลักการคิดดังกล่าวเป็นวิธีการคิดที่ดีที่สุด แต่ใช้อะไรเป็นข้อสนับสนุนเอ๋ย โปรดติดตาม เพราะเข้าใจว่าน่าจะชัดเจนแล้ว แต่ต้องรอให้อภิปรายกันอีกซักหน่อยครับ... ไม่งั้นเหมือนคุยกับตัวเอง!! ฮิ ๆ เพราะเป็น Math Game Show ต้องมี ผู้ดำเนินรายการ ผู้เล่น ผู้ดู ครับผม

[คุณชายน้อย]

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++ บทสรุปของ Math Game Show ++++++++++++
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ก่อนอื่นต้องขอขอบคุณ Prof.Jin Akiyama แห่งแดนซามูไร ที่ทดลองอะไรหลาย ๆ อย่างให้ผมดู เพื่อให้ผมสงสัย และหาคำตอบได้ด้วยตนเองว่าเกิดอะไรขึ้น และผลลัพธ์ของเกมจะเป็นอย่างไร... เก็บกรุไว้หลายปี... เอามานั่งเรียงความคิดใหม่...คราวนี้ก็ถึงคราวบางอ้อแล้ว ฮิ ๆ

1. จากการทดลองกับน้ำฟองสบู่ทำไมแขนของมุมที่จุดที่มองไม่เห็นต้องมีมุม 120 องศา จึงเกิด Idea การสร้างตัวแบบจำลองฟองสบู่(สีส้ม) ดังรูป


ทดลองต่อไปว่าฟองสบู่ถูกแรงบีบอัดอากาศรอบทิศทาง เกิดอะไรขึ้น? ดังรูป


และแล้วแขนของมุมที่จุดที่จุดที่เรามองไม่เห็นต้องมีมุม 120 องศาจริง ๆ
และแล้วก็เกิดข้อสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นทำไมถึงเป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดล่ะ ค้น ๆ คิด ๆ จนกระทั่งถึงบางอ้อ!! ว่า ฟิล์ม(films) ของสบู่ หรือแถบสบู่ จะต้องทำพื้นที่ของฟิล์มให้สัมผัสกับอากาศรอบตัวของมันเองให้น้อยที่สุดนั่นเอง ... ศึกษาเพิ่มเติมได้ที่นี่

2. แต่เราต้องหาข้อยืนยันด้วยเหตุและผลทางคณิตศาสตร์ว่าทำไมแขนของมุมที่จุดที่เรามองไม่เห็นต้องมีมุม 120 องศา จึงคิด ๆ ค้น ๆ แล้วก็ถึงบางอ้อว่าเกิดจากเจ้านี่เอง ดังรูป


รูปด้านขวาคือฟองสบู่คู่ที่ซ้อนกัน (เพราะแรงกดอากาศภายนอก) และรูปด้านซ้ายเป็นฟองสบู่คู่ที่ซ้อนกัน และมีฟองสบู่อีก 1 ลูกที่ซ้อนคลุมบริเวณที่ซ้อนกันของฟองสบู่คู่

จึงเริ่มคิด ๆ ค้น ๆ จนกระทั่งถึงบางอ้อ ฮิ ๆ ตัดตอนมาอธิบายให้ดูหน้า 12-13 ดังรูป


เหมือนที่คิดไว้จริง ๆ ว่าทำไมต้องมีแขนของมุมที่จุดที่เรามองไม่เห็นต้องมีมุม 120 องศา และแบบที่คิดไว้คือสำหรับรูปสี่เหลี่ยม n เหลี่ยมเมื่อ n มากกว่าหรือเท่ากับ 3 มีจุดที่มองไม่เห็นอยู่ n-2 จุด และแขนของมุมที่จุดนั้นคือ 120 องศา

ใน Case ของเราเป็น ${\mathbb{R} }^{3}$ เพราะเป็นการจำลองแบบ 3 มิติ (n = 3) จึงต้องมีฟองสบู่ n-1 = 2 ฟองสบู่ที่ซ้อนกัน(ซึ่งก็คือฟองสบู่คู่) และมีฟองสบู่อีก n-2 = 1 ฟอง ที่ซ้อนคลุมบริเวณที่ซ้อนกันกันของฟองสบู่คู่ และแขนของมุมที่จุดนั้นคือ 120 องศา จริง ๆ ส่วนจุดที่มองไม่เห็นจะมีอยู่ n-2 จุดหรือไม่นั้น ยังต้องรอการพิสูจน์ต่อไป

แขนของมุมที่จุดที่มองไม่เห็นคือ 120 องศานั้น เป็นจริงเมื่อ n = 2,3,4 เท่านั้น และเมื่อ n = 2 จึงทำให้ตอบโจทย์ของเราได้หมด เพราะพื้นที่อยู่ใน 2 มิตินั่นเอง ส่วน n ที่นอกเหนือจากนี้ยังไม่มีใครพิสูจน์ครับผม และจะมีจุดที่มองไม่เห็นคือ n-2 จุดหรือเปล่าก็ต้องรอการพิสูจน์ต่อไป .... ศึกษาเพิ่มเติมได้ที่นี่

จบบริบูรณ์ .... ผู้ดำเนินรายการ

[nooonuii]

สำหรับปัญหาเกี่ยวกับ soap bubble
มีอยู่ conjecture หนึ่งที่คนไทยเป็นคนพิสูจน์ได้
ลองดูที่นี่ครับ

วัชรินทร์ วิชิรมาลา

[Juniors]

ผมชอบมากเลยครับ ปัญหา 4 จุด
ว่าแต่มี paper พิสูจน์ไหมครับว่าต้องเล็กที่สุด
ขอ 3 จุดด้วยครับ เพราะถ้ามีจุดภายใน P ใน ABC แล้ว min(PA+PB+PC) เกิดเมื่ออยุ่ที่ fermat point นั่นคือจุดที่มีมุม APB=BPC=CPA=120 องศา
แต่ถ้ามันมี 2 จุดขึ้นมาหละครับ จะพิสูจน์อย่างไร

[TOP]

ไหนๆก็มีคนขุดหัวนี้ขึ้นมาแล้วก็เลยอยากเพิ่มข้อมูลให้สักหน่อย

ในกรณีที่ต้องการหาจุดเชื่อมต่อ $P$ ไปยัง 3 จุด $A, B, C$ โดยให้ $PA + PB + PC$ มีค่าน้อยที่สุดนั้น Jacob Steiner ได้ให้วิธีหาจุด $P$ ดังกล่าว ดังนี้

• หากมีมุมภายใน $\triangle ABC$ มุมหนึ่งมีขนาดตั้งแต่ $120^\circ$ ขึ้นไป สมมติว่ามุมนั้นคือ $C$ จะได้ว่า จุด $P$ จะทับกับจุด $C$
• หากมุมภายในทุกมุมของ $\triangle ABC$ มีขนาดน้อยกว่า $120^\circ$ จะได้ว่าจุด $P$ คือจุดที่ทำให้ $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ$

จุด P ที่เราต้องการหา มีชื่อเรียกหลายชื่อ หนึ่งในนั้นคือ Steiner Point

แนวคิด

สมมติว่า จุด $P$ คือจุดที่เราต้องการหา และมีระยะ $PA, PB, PC$ เป็น $a, b, c$ ตามลำดับ

มีความเป็นไปได้ 2 ประการคือ

1. จุด $P$ ทับกับจุดยอด $A, B, C$
   
   สมมติว่ามุมภายใน $\triangle ABC$ มุม $C$ มีขนาดโตมากที่สุด และจะได้ $AB$ เป็นด้านที่มีความยาวมากที่สุด เห็นได้ชัดว่า จุด $P$ ต้องทับกับจุด $C$ เท่านั้น เพราะ $CA + CB$ มีค่าน้อยที่สุด
   
   
2. จุด $P$ ไม่ทับกับจุดยอด $A, B, C$
   
   วาดวงกลม $K$ รอบจุด $C$ มีรัศมี $c$
   จุด $P$ ต้องอยู่บนวงกลม $K$ โดยที่ทำให้ $PA + PB$ มีค่าน้อยที่สุด
   
   แบ่งได้อีกเป็น 2 กรณีคือ
   • จุด $A$ หรือจุด $B$ อยู่บนหรือภายในวงกลม $K$
     สมมติว่าจุด $A$ อยู่บนหรือภายในวงกลม
     ในกรณีนี้จุด $P$ จะไม่ทับกับจุดยอด $A, B, C$ (จากเงื่อนไข)
     เราจะพบว่า $a + b \geqslant AB$ (อสมการสามเหลี่ยม) และ $c \geqslant AC$ (จากเงื่อนไข)
     ดังนั้น $a + b + c \geqslant AB + AC$
     แสดงว่า จุด $P$ ที่เราต้องการนั้นต้องทับกับจุด $A$ เกิดข้อขัดแย้งกับเงื่อนไข แสดงว่ากรณีนี้เป็นไปไม่ได้
     
     
   • จุด $A$ และจุด $B$ อยู่ภายนอกวงกลม $K$
     
     
     
     จุด $P$ บนวงกลม $K$ ที่ทำให้ค่า $PA + PB + PC$ มีค่าน้อยที่สุดนั้น คือจุด $P$ ที่ทำให้มุมตกกระทบกับเส้นสัมผัสวงกลมมีค่าเท่ากัน ($\angle APD = \angle BPE$) เราจึงได้ว่า $\angle APC = \angle BPC$
     
     พิจารณาในทำนองเดียวกัน โดยวาดวงกลม $L$ รอบจุด $A$ มีรัศมี $a$ และ วาดวงกลม $M$ รอบจุด $B$ มีรัศมี $b$ ผลที่ได้คือ $\angle APC = \angle BPC = \angle APB$
     
     จึงได้ว่า $\angle APC = \angle BPC = \angle APB = 120^\circ$ นั่นเอง

สำหรับวิธีการหาจุด Steiner Point ในกรณีที่จุดนั้นอยู่ภายในสามเหลี่ยม(มุมภายในสามเหลี่ยมทุกมุมมีขนาดน้อยกว่า $120^\circ$) อย่างง่ายโดยวิธีทางเรขาคณิต ทำได้ดังนี้
สมมติให้ด้าน $BC$ มีความยาวมากที่สุด

1. สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าบนด้านที่มีความยาวมากที่สุด ในที่นี้คือ $\triangle BCX$
2. สร้างวงกลมล้อมรอบ $\triangle BCX$
3. ลาก $XA$
4. จุดตัดกันของ $XA$ กับวงกลมคือ จุด S คือ จุด Steiner Point ที่เราต้องการ

ทำไมจุดตัดดังกล่าวเป็นจุด Steiner Point ?

1. $\angle BSC = 120^\circ$ เพราะว่า $\angle BXC = 60^\circ$ (มุมภายในสามเหลี่ยมด้านเท่า) และผลรวมมุมตรงข้ามสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมได้ $180^\circ$
2. $\angle BSA = 120^\circ$ เพราะว่า $\angle BSX = 60^\circ (\angle BSX = \angle BCX)$ และผลรวมมุมประชิดบนเส้นตรงได้ $180^\circ$
3. $\angle CSA = 120^\circ$ เพราะว่า $\angle CSX = 60^\circ (\angle CSX = \angle CBX)$ และผลรวมมุมประชิดบนเส้นตรงได้ $180^\circ$

หมายเหตุ: ที่มา จากหนังสือ "What is Mathematics" และ "Excursions in Modern Mathematics"

[TOP]

คำอธิบายเพิ่มเติมของ

จุด $P$ บนวงกลม $K$ ที่ทำให้ค่า $PA + PB + PC$ มีค่าน้อยที่สุดนั้น คือจุด $P$ ที่ทำให้มุมตกกระทบกับเส้นสัมผัสวงกลมมีค่าเท่ากัน ($\angle APD = \angle BPE$)

หากเราพิจารณาโลคัสของจุดซึ่ง มีผลรวมของระยะจากจุดนั้นไปยัง $A, B$ เป็นค่าคงที่ จะได้ออกมาเป็นวงรีนี่เอง (นิยามของวงรีในภาคตัดกรวย)



จากรูปเราจะพบว่า จุดที่อยู่บนวงรีสีชมพู มีผลรวมของระยะจากจุดไปยัง $A, B$ เป็นค่าคงที่เท่ากันหมด และแน่นอนว่าค่าคงที่นี้มีค่าน้อยกว่า จุดที่อยู่บนวงรีสีแดง และจุดที่อยู่บนวงรีสีน้ำเงิน

จุด $P$ ที่มีค่า $PA + PB$ น้อยที่สุดโดยที่อยู่บนวงกลม $K$ ก็คือจุดบนตำแหน่งที่วงรีสัมผัสกับวงกลมนั่นเอง
ณ จุดสัมผัส $P$ เราลากเส้นสัมผัส $DE$ ขึ้นมา

ในการพิจารณาทำนองเดียวกับวงกลม เราจะพบว่า จุดบนเส้นตรง $DE$ ที่ทำให้ระยะจากจุด $A$ ไปยังจุดนั้น รวมกับระยะจากจุดนั้นกลับมาจุด $B$ มีค่าน้อยที่สุด ก็คือ จุด $P$ เช่นกัน

ตรงจุดนี้ หากใครมีความรู้เรื่องการสะท้อน ก็จะเข้าใจได้ว่าจุด $P$ บนเส้นตรงนี้มีสมบัติว่า $\angle APD = \angle BPE$

[The boy god of math]

อะไร666666666666

[beginner01]

http://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_point

[เอกสิทธิ์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณชายน้อย

--- ไม่สงวนสิทธิ์ ทุกระดับชั้นตอบได้ แต่ทางที่ดีควรจะเป็นอุดมศึกษา หรือมากกว่า เพราะเดี๋ยวจะเจอ Oh My God ---

กติกาการเล่น ...
1. จำลองสถานการณ์ว่าตัวเองเป็นนักออกแบบผังเมือง
2. ได้รับ order ให้ทำการสร้างถนนเชื่อมเมือง 4 เมืองคือ เมือง A,B,C,D ดังรูป เพื่อเป็นการประหยัดงบประมาณ นักออกแบบจึงต้องทำการสร้างถนนให้มีความยาวรวมกันน้อยที่สุด



คำถาม :
1. สมมติ เมืองทั้ง 4 เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส ดังรูป นักออกแบบจะต้องสร้างถนนอย่างไร ? ใช้หลักการอะไรคิดดี ?
2. สมมติ เมื่องทั้ง 4 ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส นักออกแบบจะต้องสร้างถนนอย่างไร ? ใช้หลักการเดิมได้มั้ย ?
3. ถ้ามีเมืองเพิ่มขึ้นอีก 1 เมือง , 2 เมือง , 3 เมือง , ... จะทำอย่างไร คิดแบบเดิมได้มั้ย ?
4. แน่ใจหรือว่าที่ออกแบบไว้ จะดีที่สุด ขอเหตุผลสนับสนุน

หมายเหตุ : ให้ตอบเป็นข้อเป็นข้อ ไม่ต้องตอบทั้งหมด เพราะเดี๋ยวจะเจอ Oh My God!!
แนะนำ : ให้ทดสอบการสร้างถนนจาก 3 เมืองก่อน ได้แล้วค่อยมา 4 เมือง
(ปล. ให้จำลองเมืองเป็นจุด A,B,C,D แล้ว Post มาเป็นไฟล์รูปภาพนะครับ)

รูปไม่เห็นขึ้นเลยครับ