Basis for topology on R

[Mathophile]

รบกวนทุกท่านช่วยแนะแนวทางในการทำโจทย์ข้อนี้ด้วยครับ

Prove that the set of all open intervals $\{(a,b):a,b\in R,a<b\}$ is a basis for the usual topology on $R$.
($R$ คือเซตของจำนวนจริงนะครับ)

คือผมรู้สึกว่ามันค่อนข้างชัดเจนว่า open set on $R$ ต้องเป็น open interval หรือไม่ก็ union of open intervals (ใช่หรือเปล่าครับ พอพิมพ์แล้วเริ่มไม่แน่ใจ ) ก็เลยเขียนพิสูจน์ไม่ถูกอะครับ

[Onasdi]

ลองแบบนี้น่าจะชัดขึ้นครับ

ให้ $A\subset \mathbb{R}$ เป็น open set
สำหรับ $a\in A$ จะมี open interval $I_a\subset A$ ซึ่ง $a\in I_a$
ดังนั้น $\displaystyle{A=\bigcup_{a\in A} I_a}$ (เพราะต่างฝ่ายต่างเป็นซับเซตของกันและกัน)

[Mathophile]

ชัดขึ้นเยอะเลยครับ ขอบคุณครับ
แต่ทีนี้ผมสงสัยนิดนึงว่า ทำไมถึงสามารถอ้างได้เลยว่า "สำหรับ $a\in A$ จะมี open interval $I_a \subset A$" อะครับ
(หรือเพราะว่ามันชัดเจนอยู่แล้ว? แต่พอดีมันยังไม่ค่อยชัดเจนสำหรับผมอะครับ - -'')

[Onasdi]

ผมมอง $\mathbb{R}$ ให้เป็น metric space ที่มี $d(x,y)=|x-y|$ ครับ
นี่คือ usual topology ของ $\mathbb{R}$ ครับ (นิยามเดียวกันกับคุณ Mathophile รึเปล่าครับ)

จากนั้นนิยามของ open set $A$ ก็จะเป็น
"สำหรับทุก $a\in A$ จะมี open ball $B$ ที่มีจุดศูนย์กลางที่ $a$ และ $B\subset A$"

ป.ล. โพสที่แล้วผมพิมพ์ตกไปนิดนึง เติมให้แล้วครับ

[nooonuii]

อ้างจากนิยามเซตเปิดใน real analysis ก็ได้ครับ

ทุกสมาชิก $a$ ในเซตเปิด $A$ ของ $\mathbb{R}$

จะมี $\epsilon > 0$ ซึ่งทำให้ $(a-\epsilon,a+\epsilon)\subset A$

[Mathophile]

อ้อ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากๆ เลยครับทั้งคุณ Onasdi และคุณ nooonuii