|
|
#31
08 พฤษภาคม 2010, 22:56
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ประเด็นของข้อนี้ คือ พิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า DF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วที่เหลือจะตามมาอย่างง่ายดายครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 
|
|
#32
09 พฤษภาคม 2010, 08:26
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด  เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ 
|
|
#33
09 พฤษภาคม 2010, 11:29
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 จะพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าสามเหลี่ยม AMC คล้ายกับสามเหลี่ยม BNC จะได้มุม AMO = มุม BNC ดังนั้นสี่เหลี่ยม AMON เป็นสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ ต่อจากนั้นก็หา MN โดยใช้กฎของ COS จะได้ $MN = \sqrt{3}a$ ต่อจากนั้นก็ใช้กฎของ Sine จะได้ว่า $\frac{ \sqrt{3}a}{Sin 60^o} = 2R =2a$ หลังจากนี้ก็ไม่ยากแล้วครับ
|
|
#34
09 พฤษภาคม 2010, 17:12
|
||||
|
||||
|
ขอบคุณมากครับ พี่หยินหยาง ผมทำได้ละ แต่คนละวิธีกับพี่อ่าคับ ผมทำโดย พอเราได้สี่เหลี่ยมAMON เป็นสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบ
แล้วผมก็มอง สามเหลี่ยมAMN มันจะได้ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยจะได้ AMN = AON = 30 ดังนั้น AOB = 150 นะคับ
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ
|
|
#36
13 พฤษภาคม 2010, 02:02
|
||||
|
||||
|
เห็นเฉลยข้อยากๆ กันไปเยอะแล้ว ข้อที่ค้างอยู่ส่วนหนึ่งคงเป็นเพราะง่ายมาก
ก็เลยยังไม่มีใครเฉลยวิธีทำไว้ ... ผมขอแจมบางข้อละกัน :-) ข้อ 1 ของวันแรก สมมติว่าให้กล่องเรียงจากใบเล็กสุดไปใหญ่สุดเป็นกล่องหมายเลข 1 ถึง 5 ตามลำดับ ตามโจทย์กล่องทุกใบต้องมีอย่างน้อย 1 ลูก ดังนั้น 5 ลูกแรกให้ใส่กล่องละลูกก่อน จึงเหลืออีก 6 ลูก ตามโจทย์จำนวนลูกของกล่องที่ 1 กับ 5 รวมกัน ต้องไม่น้อยกว่าอีก 3 กล่องที่เหลือรวมกัน ดังนั้นกล่องที่ 1 กับ 5 ต้องรวมกันได้ 6, 7, หรือ 8 ลูก โดยที่ 3 กล่องที่เหลือรวมกันได้ 5, 4, หรือ 3 ลูกตามลำดับ เงื่อนไขที่ 1: กล่องที่ 1 กับ 5 รวมกันได้ 6 ลูก กล่องที่ 1 กับ 5 รวมกันได้ 6 ลูก คือ (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) หรือ 5 กรณี อีก 3 กล่องรวมกันได้ 5 ลูก คือ (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1) หรือ 6 กรณี จำนวนกรณีทั้งหมดตามเงื่อนไขนี้ คือ 5 x 6 = 30 กรณี เงื่อนไขที่ 2: กล่องที่ 1 กับ 5 รวมกันได้ 7 ลูก กล่องที่ 1 กับ 5 รวมกันได้ 7 ลูก คือ (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) หรือ 6 กรณี อีก 3 กล่องรวมกันได้ 4 ลูก คือ (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1) หรือ 3 กรณี จำนวนกรณีทั้งหมดตามเงื่อนไขนี้ คือ 6 x 3 = 18 กรณี เงื่อนไขที่ 3: กล่องที่ 1 กับ 5 รวมกันได้ 8 ลูก กล่องที่ 1 กับ 5 รวมกันได้ 8 ลูก คือ (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1) หรือ 7 กรณี อีก 3 กล่องรวมกันได้ 3 ลูก คือ (1, 1, 1) หรือ 1 กรณี จำนวนกรณีทั้งหมดตามเงื่อนไขนี้ คือ 7 x 1 = 7 กรณี เพราะฉะนั้น จำนวนกรณีทั้งหมดตามเงื่อนไขทั้ง 3 ข้างต้น คือ 30 + 18 + 7 = 55 กรณี
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#37
13 พฤษภาคม 2010, 02:05
|
||||
|
||||
|
ข้อ 3 ของวันแรก
เมื่อ n = 2 จะได้ตัวเลขเป็น 2553 ซึ่งเป็นตัวเลขต่ำสุดที่หารด้วย 2553 ลงตัว สังเกตว่า 2555 หารด้วย 2553 เหลือเศษ 2 นั่นคือ เมื่อเราเติม 555 ต่อท้ายเลข 2 ของตัวเลข 2553 เดิม กลายเป็น 2555553 จะทำให้ผลหารส่วนแรกเหลือเศษ 2 รวมกับส่วนท้ายเป็น 2553 ซึ่งหารด้วย 2553 ลงตัว นั่นคือ เมื่อเพิ่มเลข 5 เข้าไปทีละ 3 ตัว จะได้ตัวเลขใหม่ที่สามารถหารด้วย 2553 ลงตัวเสมอ เพราะฉะนั้น n = 2, 5, 8, … หรือ n = 3k – 1 เมื่อ k เป็นจำนวนนับ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#38
13 พฤษภาคม 2010, 02:13
|
||||
|
||||
|
ข้อ 5 ของวันแรก
นักกีฬาแต่ละคนต้องแข่งทั้งหมด $2009$ ครั้ง ดังนั้น $\;b_i \; = \;2009 - a_i $ เนื่องจากทุกคู่ที่แข่งต้องเกิดการแพ้หรือชนะเสมอ ดังนั้น $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } $ จากสมการ $\;b_i \; = \;2009 - a_i $ จะได้ว่า $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {2009} - \sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } \;$ หรือ $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } + \sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i } \; = \;2009 \times 2010$ เมื่อแทนค่า $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } $ จะได้ว่า $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } \; = \;\displaystyle{{{2009 \times 2010} \over 2}}$ จากสมการ $\;b_i \; = \;2009 - a_i $ เมื่อยกกำลังสองจะได้ $\;b_i^2 \; = \;2009^2 - 2 \times 2009 \times a_i + a_i^2 $ หรือ $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i^2 } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {2009^2 } - 2 \times 2009\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } + \sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i^2 } \quad$ แต่เนื่องจาก $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } \; = \;\displaystyle{{{2009 \times 2010} \over 2}}$ เมื่อแทนค่าจะได้ $\;\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i^2 } \; = \;2009^2 \times 2010 - 2 \times 2009 \times \displaystyle{{{2009 \times 2010} \over 2}} + \sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i^2 } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i^2 } $ เพราะฉะนั้นแสดงว่า $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i^2 } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i^2 } \;$ ตามที่โจทย์ต้องการ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 13 พฤษภาคม 2010 08:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#39
13 พฤษภาคม 2010, 02:20
|
||||
|
||||
|
ข้อ 6 ของวันแรก
แทน $x = y = 0$ จะได้ $f(0) + f(0) = f(0) + f(0) + 16f(0)$ นั่นคือ $f(0) = 0$ แทน $x = m, y = 0$ จะได้ $f(3m) + f(3m) = f(m) + f(m) + 16f(m)$ นั่นคือ $f(3m) = 9f(m)$ แทน $x = y = m$ จะได้ $f(4m) + f(2m) = f(2m) + f(0) + 16f(m)$ นั่นคือ $f(4m) = 16f(m)$ จากข้อมูลข้างต้นคาดว่า $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ น่าจะเป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันตามโจทย์ แทน $y\; = \;{y \over x} \cdot x\;$ จะได้ $\;f\left( {\left\{ {3 + {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + f\left( {\left\{ {3 - {y \over x}} \right\} \cdot x} \right)\; = \;f\left( {\left\{ {1 + {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + f\left( {\left\{ {1 - {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + 16f\left( x \right)$ เมื่อให้ $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ จะได้ $\;\left( {3 + {y \over x}} \right)^2 x + \left( {3 - {y \over x}} \right)^2 x\; = \;\left( {1 + {y \over x}} \right)^2 x + \left( {1 - {y \over x}} \right)^2 x + 16x\;$ ซึ่งสมการเป็นจริงเสมอ แสดงว่า $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันตามโจทย์ เพราะฉะนั้นจึงได้ $\;f( - x)\; = \;( - 1)^2 x\; = \;x\; = \;( + 1)^2 x\; = \;f( + x) \;$ ตามที่ต้องการ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 13 พฤษภาคม 2010 02:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#40
13 พฤษภาคม 2010, 10:13
|
||||
|
||||
|
ข้อ 2 วันที่สองเกี่ยวกับนักเรียน 3 คนตามเงื่อนไขโจทย์ ซึ่งจับคู่ถกปัญหาเดียวกันหมด ข้อนี้ยังไม่เห็นมีใครเฉลยไว้
ไม่รู้ว่าเพราะมันง่ายไปจนไม่น่าสนใจ หรือว่ายากจนไม่มีใครอยากเขียนคำอธิบาย! ข้อ 2 วันที่สอง อาศัยหลักรังนกพิราบทั่วไปที่กล่าวว่า ?ถ้ามีนก $n$ ตัวบินเข้ารัง $m$ รัง โดยที่ $n > m$ แล้ว จะมีรังอย่างน้อย $1$ รัง ที่มีนกอย่างน้อย $\left\lceil {{n \over m}} \right\rceil $ ตัว? เมื่อ $\left\lceil x \right\rceil $ หมายถึงจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ $x$ นักเรียน $2010$ คนมาจาก $5$ ภูมิภาค จะมีอย่างน้อย $1$ ภูมิภาค ที่มีอย่างน้อย $\left\lceil {{{2010} \over 5}} \right\rceil \; = \;402$ คน นักเรียน $402$ คนจากภูมิภาคเดียวกัน จะมีเพศหนึ่งที่มีอย่างน้อย $\left\lceil {{{402} \over 2}} \right\rceil \; = \;201$ คน นักเรียน $201$ คนจากภูมิภาคเดียวกันและเป็นเพศเดียวกัน จะเกิดเดือนเดียวกันอย่างน้อย $\left\lceil {{{201} \over {12}}} \right\rceil \; = \;17$ คน ตอนนี้เหลือเพียงพิสูจน์ว่า $17$ คนนี้ ซึ่งเกิดเดือนเดียวกัน เป็นเพศเดียวกัน และมาจากภูมิภาคเดียวกัน จะมี $3$ คน ที่ทุกๆ คู่ใน $3$ คนนี้ เลือกถกปัญหาร่วมกันในหัวข้อเดียวกันหมด (จากปัญหาที่มีให้เลือก $3$ หัวข้อตามโจทย์) เราแทนประเด็นนี้ได้ด้วยแนวคิดของจุดในอวกาศ $17$ จุด (แทนนักเรียน $17$ คน) ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เมื่อลากเส้นเชื่อมแต่ละจุดโดยเลือกเส้นเชื่อมสีใดสีหนึ่งจาก $3$ สีที่กำหนดให้ ซึ่งสมมติว่าเป็นสีเขียว น้ำเงิน และแดง (แทนปัญหาทั้ง $3$ ข้อที่ให้เลือก) เราต้องพิสูจน์ว่าจะเกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีเดียวกันหมด! พิจารณาจุด $A$ ซึ่งลากเส้น $16$ เส้นไปเชื่อมกับอีก $16$ จุดที่เหลือ จะมีอย่างน้อย $\left\lceil {{{16} \over 3}} \right\rceil \; = \;6$ เส้นที่เป็นสีเดียวกัน สมมติว่าเป็นสีเขียว หากว่า $6$ จุดที่เป็นปลายทางจากจุด $A$ ดังกล่าว มีเส้นเชื่อมจุดทั้ง $6$ ที่เป็นสีเขียวเพียงเส้นเดียว ก็จะเกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีเขียวทันที และการพิสูจน์ก็เป็นอันเสร็จสิ้น กรณีที่เส้นเชื่อมจุดทั้ง $6$ ไม่มีสีเขียวเลย ก็แปลว่าต้องเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดงเท่านั้น โจทย์ตอนนี้เปลี่ยนเป็น จุดในอวกาศ $6$ จุด (แทนนักเรียน $6$ คนนั้น) ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เมื่อลากเส้นเชื่อมแต่ละจุดโดยเลือก เส้นเชื่อมเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง (แทนปัญหา $2$ ข้อที่เหลือให้เลือกได้) เราต้องพิสูจน์ว่าจะเกิดสามเหลี่ยมที่มี ด้านทั้งสามเป็นสีเดียวกันหมด! พิจารณาจุด $B$ ซึ่งลากเส้น $5$ เส้นไปเชื่อมกับอีก $5$ จุดที่เหลือ จะมีอย่างน้อย $\left\lceil {{5 \over 2}} \right\rceil \; = \;3$ เส้นที่เป็นสีเดียวกัน สมมติว่าเป็นสีน้ำเงิน หากว่า $3$ จุดที่เป็นปลายทางจากจุด $B$ ดังกล่าว มีเส้นเชื่อมจุดทั้ง $3$ ที่เป็นสีน้ำเงิน เพียงเส้นเดียว ก็จะเกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีน้ำเงินทันที และการพิสูจน์ก็เป็นอันเสร็จสิ้น กรณีที่เส้นเชื่อมจุดทั้ง $3$ ไม่มีสีน้ำเงินเลย ก็แปลว่าต้องเป็นสีแดงทั้งหมด ซึ่งก็จะทำให้เกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสาม เป็นสีแดงเหมือนกันหมด และการพิสูจน์ก็เป็นอันเสร็จสิ้นเช่นกัน
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 13 พฤษภาคม 2010 11:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#41
13 พฤษภาคม 2010, 20:03
|
|||
|
|||
|
ข้อ 6 วันที่ 2
Lemma $n\nmid r^{n-1}+1$ เมื่อ r เป็นจำนวนเฉพาะ พิสูจน์ lemma สมมุติว่ามี n ซึ่ง$n\mid r^{n-1}+1$ เขียน $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$ เขียน ${p_i}-1=2^{m_i}q_i $ เมื่อ $q_i $เป็นจำนวนคี่ เลือก $p_i$ ที่ทำให้ $m_i=min ({m_1,m_2,...,m_k})$ ดังนั้น $n\equiv 1 (mod 2^{m_i}) (\because m_i คือmin)$ $\therefore n-1=2^{m_i}t$ $r^{2^{m_i}t}\equiv -1 (mod p_i )$ จาก $q_i$ เป็นคี่ ทำให้$ r^{(2^{m_i}q_i)t}\equiv -1 (mod p_i )$ $ r^{(p_i-1)t}\equiv -1 (mod p_i )$ จากแฟรมาจะได้ว่า $1\equiv -1 (mod p_i )$ เกิดข้อขัดแย้งเพราะ $p_i \not= 2$ ดังนั้น $n\nmid r^{n-1}+1$ กลับมาที่โจทย์ จากโจทย์ กำหนดว่า $pq\mid r^{p}+r^{q}$ ดังนั้น $p\mid r^{p}+r^{q}$ $r^q\equiv -r^p (mod p)$ $\therefore r^q\equiv -r (mod p)(\because จากแฟรมา)$ $ r^{pq}\equiv -r^p (mod p) (ยกกำลัง p และจาก p เป็นจำนวนคี่ )$ $ \therefore r^{pq}\equiv -r (mod p)$ ทำให้ $p\mid r^{pq}+r$ แต่ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p>r $\therefore p\mid r^{pq-1}+1$ ทำนองเดียวกันจะได้ $q\mid r^{pq-1}+1$ จาก $(p,q)=1$ $\therefore pq\mid r^{pq-1}+1$ ซึ่งจาก Lemma จะได้ว่าไม่มี p q ที่สอดคล้อง $\therefore ไม่มี p, q, r ที่สอดคล้องกับโจทย์$
|
|
#42
14 พฤษภาคม 2010, 05:55
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
งั้นผมขอ แทรกเพิ่มบางส่วนให้นะครับ หวังว่าคงไม่ว่ากัน อ้างอิง:
ดังนั้น ก็จะเหลือแค่หา $ p | \left\lfloor\ \frac{100}{p} \right\rfloor +7$ ซึ่งลองแบ่งเป็นกรณี $ \frac{100}{p} < p $ กับ $ \frac{100}{p} \geq p $ แล้วใช้ พีชคณิตจุกจิกนิดหน่อยก็จบครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#43
14 พฤษภาคม 2010, 07:14
|
||||
|
||||
|
ขอบคุณคุณ passer-by ความเห็น #42 มากครับ!
ตอนนี้เท่าที่เช็คดู ยังเหลือข้อ 2 (ความเห็น #30 โดย ครูนะ) และข้อ 8 (ความเห็น #24 โดย zzz123) ของวันแรก ซึ่งคุณ passer-by แจ้งจุดผิดพลาดไว้ แต่ยังไม่มีใครโพสต์เฉลยที่ถูกต้อง ... รออ่านอยู่ :-) โดยส่วนตัว ผมคิดว่าเด็กยุคใหม่ต้องเจอข้อสอบที่หินกว่าเมื่อก่อนมากขึ้นเรื่อยๆ อาจเป็นเพราะครูที่ออกข้อสอบกลัวว่า เด็กอ่านหนังสือและทำข้อสอบเก่าแล้ว จะเก่งจนทำได้เต็มหรือยังไงไม่ทราบ ถึงได้เพิ่มความยากขึ้นเรื่อยๆ  ข้อสอบส่วนใหญ่ยังมีเฉลยแนวเดียว หากมีใครคิดเฉลยต่างวิธีออกไป ก็อยากให้โพสต์เป็นวิทยาทานอีก จะได้มีมุมมอง หลากหลายในการตีโจทย์แต่ละข้อ! เท่าที่ผมค้นดู เจอแค่กระทู้ TMO ครั้งที่ 6 & 7 เท่านั้น ไม่รู้ว่าครั้งที่ 1 ถึง 5 มีกระทู้เฉพาะแบบนี้หรือไม่ ? ใครมีข้อมูลช่วยทำ link ไว้ด้วยก็ดีครับ จะได้เป็นประโยชน์กับรุ่นต่อไปมากขึ้น
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#44
14 พฤษภาคม 2010, 15:43
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
แต่มีอีกประเด็นที่น่าสนใจ ซึ่งผมคิดว่าน่าจะ share ให้สมาชิกท่านอื่นได้ฟัง โดยเป็นผลจากการที่ได้สนทนากับอาจารย์ศูนย์สวนกุหลาบท่านหนึ่งที่คุมเด็กไปสอบ TMO สดๆร้อนๆนี่แหละครับ อาจารย์เล่าให้ฟังว่า เหรียญทองปีนี้ ส่วนใหญ่เป็นเด็กที่มาจาก version shortcut คือ พลาดจาก สสวท. ค่ายใหญ่ แล้วได้สิทธิพิเศษมา TMO ซึ่งมันก็เป็นการให้โอกาสที่ดีกับเด็กกลุ่มนี้ แต่...ขณะเดียวกัน มันก็ไปบดบัง เลือดใหม่ๆที่เขาอาจจะยังไม่เก่งมากในวันนี้ แต่ก็น่าจะได้โอกาสพัฒนาตัวเอง แต่สุดท้ายกลับต้องมาวน เข้าค่าย 1 ใหม่ในปีหน้า คือผมเข้าใจว่า อาจารย์ท่าน คงมองประเด็นเรื่อง การให้โอกาสคน ได้พัฒนาตัวเอง เพราะไม่งั้น เด็กที่ได้เข้ารอบลึกๆ ก็จะมีแต่ชื่อเดิมๆ หน้าเดิมๆ จริงๆ ผมว่ามีการจำกัด quota ก็ดีเหมือนกันครับ เช่น สมมติ เด็กศูนย์ สอวน.ทั่วประเทศที่มาจากแบบปกติที่ไม่ใช่ short cut มา 120 คน คัดไว้ 30 คน และแบบที่เป็น shortcut สสวท. มา 15 คน ก็คัดไว้ซัก 7 คน แทนที่จะเป็นคัดไว้ 37 คนจาก 135 คน ผมเองก็ไม่รู้ว่า มันคือทางออกหรือเปล่า แต่ก็เป็นกรณีศึกษาอย่างนึงที่ฝากไว้ให้คิดครับ อ้างอิง:
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#45
14 พฤษภาคม 2010, 19:02
|
||||
|
||||
|
ผมเจอของครั้งที่ 1 ถึง 4 แล้วครับ คุณ nongtum รวมไว้ในข้อสอบ ม.ปลาย
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?p=12440 ตอนนี้ก็เหลือแต่ link ของครั้งที่ 5 ที่ยังขาดหายไป ??? (คุณ passer-by ช่วยเพิ่ม link ในกระทู้เดียวกับครั้งที่ 1-4 แล้ว ... ขอบคุณมากครับ!) ข้างล่างนี้เป็น link ครั้งที่ 6 เอามาแปะไว้ ปีหน้าน้องๆ จะได้หากันง่ายหน่อย :-) 1. รวม Short-list ทั้งหมด http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7186 2. เฉลยของวันที่สอง http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7184
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 18 พฤษภาคม 2010 04:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
  |
|
|
