Warm Up !

[passer-by]

สมการข้อ 23 มี 3 คำตอบครับ แถมยังเป็นจำนวนจริงล้วนๆ โดยมี x=2 เป็น solution ค่าหนึ่งในนี้
เห็นมั้ยครับว่า สมการที่ดูง่ายๆ แต่ทำจริงๆอาจจะอำมหิตมากๆ

[warut]

คุณ passer-by หมายถึงในข้อ 23. ต้องแก้สมการหาว่า\[x=-\frac{1}{3}-
\frac{\sqrt7}{3}\left(\cos\left(\frac{\tan^{-1}(3\sqrt{3})}{3}\right)-
\sqrt3\sin\left(\frac{\tan^{-1}(3\sqrt{3})}{3}\right)\right)\]\[=-0.4450418679\dots\]ออกมาด้วยเหรอครับ

[passer-by]

ถ้าทำแบบ manual คำตอบที่คุณ warut เขียน สามารถ simplify ให้สั้นกว่านี้ได้ครับ รู้สึกว่าตอนผม check จาก matlab ก็จะได้คำตอบยืดยาวมากๆ แบบนี้เหมือนกัน

อีก 2 คำตอบที่เหลือ ตอบยังไงก็ได้ครับ จะติด square root จะติด sin cos ตามสบายเลยครับ แต่อยากได้ที่กระชับที่สุด เพราะตอนนี้ 2 คำตอบที่ผมมีในมือ เขียนได้สั้นมากๆ ครับ

[warut]

โอ้ว...จริงด้วยแฮะ ผมสะเพร่าอีกแล้ว ไม่ได้เช็คให้รอบคอบก่อน
ขอบคุณคุณ passer-by สำหรับคำชี้แนะครับ

[passer-by]

ได้เวลาเฉลยแล้ว

16. ยึด 1.5 = 3/2 ไว้

16.1 เพราะ\(\large (\frac{3}{2})^{2}> 2 \) ดังนั้น
\(\large \frac{3}{2}>\sqrt{2} \)

16.2 เพราะ\(\large (\frac{3}{2})^{3}> 3 \) ดังนั้น
\(\huge \frac{3}{2}>\sqrt[3]{3} \)

16.3 เพราะ\(\large 3^{2} > 2^{3}\) ดังนั้น เมื่อ take log ฐาน 2 จะได้
\(\large log_{2}3 > \frac{3}{2} \)
Similarly, เมื่อ take log ฐาน 3 ก็จะได้
\(\large \frac{2}{3}>log_{3}2 \) แต่ 3/2 > 2/3 ดังนั้น \(\large \frac{3}{2}>log_{3}2 \)

จาก 16.1-16.3 สรุปได้ว่า ค่ามากสุด คือ log₂3

23. ข้อนี้ ต้องวิเคราะห์ก่อน solve เนื่องจาก R.H.S. ทำให้เราทราบว่า x>-2

ถ้า x> 2 จะได้ \[ \huge \begin {array} {rcl} x^{3}-3x = \frac{x^{3}+3x(x-2)(x+2)}{4}\\ > \frac{x^{3}}{4} > \sqrt{x+2} \end{array}\]

สำหรับอสมการท้ายสุด อาจ พิสูจน์ได้ดังนี้
เพราะf(x)=x⁶-16x-32 เป็น increasing function บน (2,ฅ) โดยจะเห็นว่า
f(2)=0 สรุปว่า x⁶-16(x+2) >0 ซึ่ง equivalent กับ อสมการท้ายสุด

สรุปว่า ตอนนี้ คำตอบ อยู่ในช่วง [-2,2] Let x= 2cosq ( 0ฃqฃp) Substitute in equation and after deriving step by step... Finally we obtain the following
2 cos3 q= 2cos(q/2)
ดังนั้น 3q ฑ( q/2) = 2np for some integer n และจากการ แทนค่า พบว่า ที่ n=0,1 จะได้คำตอบของสมการคือ
x=2 (คำตอบนี้ของน้อง tummykung) , 2cos(4p/5) , 2cos (4p/7) (คำตอบนี้ของคุณ warut)

24. ข้อนี้ ไม่รู้ว่า ผมเขียนโจทย์เคลียร์หรือเปล่า ที่บอกว่าสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็น ฑ1 ผมหมายความว่า พหุนามนี้ ต้องมี xⁿ ,x^n-1 ไล่ไปจนถึงเทอมที่เป็นค่าคงที่ โดย ส.ป.ส. เป็น ฑ1

Let p(x) = xⁿ +ax^n-1+bx^n-2+...+c

Consider sum square of all real roots = a² -2b

Apply AM-GM inequality to all square of roots, so

\(\huge \frac{a^{2}-2b}{n}\geq\sqrt[n]{c^{2}} \)
Since a,b,c = ฑ1 , we get nฃ3 and this completes the proof.


25. ขออธิบายสั้นๆ นะครับ
สังเกตว่า 13 หาร F₆ , F₁₃ ลงตัวและ โดย induction จะได้ 13 หาร F_7k-1 ลงตัว เมื่อ k =1,2,3,... สรุปว่าข้อนี้ มี14 จำนวน

26. L.H.S. ของสมการ จัดรูปใหม่ เป็น \( \large cos50^{\circ} \) (square root ตัวหน้าและตัวหลัง คือ \(\large 2-sin^{2}25^{\circ} \) และ \(\large 2-cos^{2}25^{\circ} \) ตามลำดับ)
และเพราะ \( \large cos( \frac{\pi}{4}+\theta) =\frac{1}{\sqrt{2}}(cos\theta -sin\theta) \)
square both sides and let \( \large \theta= 5^{\circ} \) ,we obtain

\[ \large k=cos^{2}50^{\circ}=0.5(1-sin10^{\circ})=0.4132 \]

ท้ายที่สุด ขอให้น้องๆที่จะสอบโอลิมปิก เสาร์หรืออาทิตย์นี้ โชคดี ทุกคนครับ

[nongtum]

แหะๆๆ เสียเวลาทำรูปนิดหน่อย แต่มาแล้วครับ

เฉลย(sketch)
17. จากรูปด้านล่าง เราจะแสดงว่ามุม BPC=(a+b)/2 (อันหมายถึงคำตอบเป็น 68 องศา)
เนื่องจาก GC CB BE เป็นเส้นสัมผัสวงกลม เราจะได้สี่เหลี่ยม PGCG และ PEBF cyclic
สามเหลี่ยม BEF และสามเหลี่ยม BED เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ฐานเป็น b/2 และ a/2 ตามลำดับ
ดังนั้น \(B\hat{P}C=B\hat{E}F+F\hat{G}C=(a+b)/2\)

18. a) \(Sum=\frac{7}{6}(7^{2004}-1)\ \bigwedge\ 7^4\equiv1\pmod{100} \Rightarrow 100|((7^4)^{501}-1)\)
b) \(Sum=\frac{5}{4}(5^{150}-1)\ \bigwedge\ 5\equiv-1\pmod 3 \Rightarrow 6|(3^{150}-1)\) และโดย little Fermat จะได้ \(5^{30}\equiv 1\pmod {31}\) ดังนั้น \(31\times6=186|(5^{150}-1)\)

21. นิยาม: ให้ a,m,n เป็นจำนวนเต็มบวก #2(a)=k, n!=2^km, (m,2)=1 ดังนั้น
\[#2(a)=\sum_{i=1}^{\infty}\lfloor\frac{a}{2^i}\rfloor\]
\(\Rightarrow\ #2(2048)=2^{10}+2^9+\cdots+1=2047\)
ขาด 2 ไปอีก 501\(<511=2^8+2^7+\cdots+1=#2(512)\) ตัว
ดังนั้น \(2047<n< 2047+512=2559\) ดังนั้น เราจะทดสอบเลขในช่วงนี้บางตัว ดังนี้
\(#2(2559)=#2(2558)=1279+639+\cdots+2+1=2549\)
\(#2(2557)=#2(2556)=1278+639+\cdots+2+1=2548\)
\(#2(2555)=#2(2554)=1277+638+\cdots+2+1=2546\)
ดังนั้น n=2556

27. (ดูรูปประกอบ) พื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่ = \(1+\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\ge2\)

28. a) ตามโจทย์จะไม่มีการเรียงใดที่เรียงแล้วหารด้วย 11 ลงตัว(นั่นคือ P=0) เพราะ 1+2+3+4+5+6=21 เป็นเลขคี่ (ลองนึกดูต่อนะครับว่าทำไม)
b) \(21=2\cdot9+3\) ดังนั้น P=1

29. เลข 1 หลัก มีแค่ 2 ตัวเดียวที่สอดคล้องเงื่อนไข (1+0)
เลข 2 หลัก มีแค่ 20 และ 11 ที่สอดคล้องเงื่อนไข (1+1)
เลข 3 หลัก มีแค่ 200 และ 101, 110 ที่สอดคล้องเงื่อนไข (1+2)
เลข 4 หลัก มีแค่ 2000 และ 1001, 1010, 1100 ที่สอดคล้องเงื่อนไข (1+3)
\(\vdots\)
เลข 2005 หลัก มีแค่ \(2\underbrace{0\ldots{}0}_{2004\ 0's}\) และ \(1\underbrace{0\ldots{}0}_{2003\ 0's}1,\ \ldots,11\underbrace{0\ldots{}0}_{2003\ 0's}\) ที่สอดคล้องเงื่อนไข (1+2004)
ดังนั้น มีจำนวนที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด \(1+2+\ldots+2004+\underbrace{(1+\ldots+1)}_{2005\ 1's}=2011015\) ตัว

31. a) \(31^{11}<32^{11}=2^{55}<2^{56}=16^{14}<17^{14}\)
b) \(\displaystyle\large{\begin{array}{rl}
\log2003^{2004^{2005}}&=2005 \log2003^{2004}=2005\cdot2004\log2003\\
&\ >2004\cdot2003\log2005=2003 \log2005^{2004}=\log2005^{2004^{2003}}
\end{array}}\)

ขอติดวิธีทำข้อสิบไว้แป้บนึงครับ แล้วจะกลับมาเฉลยทีหลัง (คำตอบคือ 1333333332.3ฑd, |d|<1)
หากไม่เข้าใจหรือสงสัยตรงไหน ถามได้ครับ
Viel Erfolg นะครับ

EDIT4: แก้ข้อ 29 ตามคำท้วงของคุณ Passer-by (Thank you ^^')

[passer-by]

รู้สึกว่า ข้อ 29 ของ คุณ nongtum จะตกกรณีเลข 2005 หลัก ไป 1 กรณี
แล้วก็บรรทัดที่เป็นคำตอบ L.H.S. ไม่เท่ากับ R.H.S. นะครับ

สำหรับข้อนี้ ผมมี alternative solution อีกวิธีครับ

เพราะมี 2 กรณี ที่ผลบวกเลขโดดเป็น 2 คือ
(i) มี 2 ตัวเดียว (ที่เหลือ (ถ้ามี) เป็น 0 เท่านั้น)
พิจารณา จำนวน 2005 หลัก (ให้ 0 นำหน้าได้)
ต้องการ 2 ตัวเดียว ที่เหลือเป็น 0 จะได้วิธีสร้างจำนวนดังกล่าว \( \large \frac{2005!}{2004!1!}\) วิธี

(ii) มี 1 อยู่ 2จำนวน (ที่เหลือ(ถ้ามี) เป็น 0 เท่านั้น)
พิจารณา จำนวน 2005 หลัก (ให้ 0 นำหน้าได้)
ต้องการ 1 อยู่ 2จำนวน ที่เหลือเป็น 0 จะได้วิธีสร้างจำนวนดังกล่าว \( \large \frac{2005!}{2003!2!}\) วิธี

2 วิธี รวมกันได้ 2005ท1003 จำนวน

[nongtum]

ขอสารภาพว่า
1. เบลอนิดหน่อยตอนคิดข้อ 29 ทั้งที่ก้ไม่ได้ยากอะไรเลย ขอบคุณคุณ Passer-by อีกครั้งสำหรับคำท้วงติงครับ(แก้แล้วจ้า)
2. ไม่น่าปล่อยข้อ 10 มาเลย เพราะยาวและยากเกินเหตุ ที่จะแสดงให้ดูต่อไปนี้เป็นแนวคิดคร่าวๆเท่านั้น
หากสนใจต้นฉบับ กรุณาไปหาอ่านได้จากหนังสือ Inequalities ของ P.P.Korovkin ของ Mir Publishers ครับ

ข้อสิบ (ย้ำอีกทีว่าเป็นแนวคิดคร่าวๆ)
โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า
\[
\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^\alpha}
=\frac{2^\alpha}{2-2^\alpha}\sum_{i=1}^n \frac{1}{(n+i)^\alpha}
-\frac{2^\alpha}{2-2^\alpha}\sum_{j=1}^{2n} \frac{(-1)^{j-1}}{(j)^\alpha}
\] จะได้ว่าผลรวม S ที่ต้องการคือ
\[
\underbrace{\frac{2^{1/4}}{2-2^{1/4}}\sum_{i=1}^{10^{12}} \frac{1}{(10^{12}+i)^{1/4}}}_{=:A}
-\underbrace{\frac{2^{1/4}}{2-2^{1/4}}\sum_{j=1}^{2\cdot10^{12}} \frac{(-1)^{j-1}}{(j)^{1/4}}}_{=:B}
\]
เราจะใช้อสมการ
\[
\frac{(2n+1)^{1-\alpha}-(n+1)^{1-\alpha}}{1-\alpha}
< \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(n+i)^\alpha}
< \frac{(2n)^{1-\alpha}-n^{1-\alpha}}{1-\alpha}
\]
เมื่อ \(0<\alpha<1\) ประมาณค่าของผลรวม A ดังนี้
\[
\frac{2^{1/4}}{2-2^{1/4}}
\cdot\frac{(2\cdot10^{12})^{3/4}-(10^{12})^{3/4}}{1-\frac{1}{4}}
=\frac{4}{3}\cdot10^9
\]
และใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ประมาณค่า B: ให้ \(x_1>x_2>\ldots>x_n\) จะได้ว่า
\[0<\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}x_i<x_1\]
จากทฤษฎีบทนี้เราจะได้ว่า B เป็นบวกและไม่มากกว่า A และเนื่องจากเทอมน้อยกว่าสอง จะได้อีกว่า
\[\frac{4}{3}\cdot10^9-2<S<\frac{4}{3}\cdot10^9\]
ทางซ้ายและขวาสุดของอสมการนี้ต่างกันอยู่ 2 และต่างจากผลรวมที่เราต้องการน้อยกว่า 2 ค่ากลาง \(\frac{4}{3}\cdot10^9-1\) ต่างจากผลรวมที่ต้องการไม่เกิน 1
นั่นคือ ผลรวมที่ต้องการมีค่าเป็น
\[\frac{4}{3}\cdot10^9-1\pm{}d=133333332.3\pm{}d,\qquad |d|<1 \]
ทั้งนี้ เราสังเกตว่าผลรวมที่ได้ค่อนข้างแม่นยำ เพราะ relative error < 10^-7

phew... น้องคนไหนสอบเสร็จแล้ว อย่าลืมเอาข้อสอบมาปล่อยที่นี่ด้วยนะครับ

[warut]

ผมขอเสนอวิธีทำข้อ 10. ที่ผมคิดว่าง่ายกว่ามากโดยใช้หลักการอันเป็นที่มาของ integral test สำหรับตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมดังนี้ครับ

ให้\[f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]x}=
x^{-1/4}\]จะเห็นว่า f(x) เป็น strictly decreasing function เมื่อ x > 0 ดังนั้น\[f(m+1)\quad<\quad\int_m^{m+1}f(x)\,dx\quad<\quad
f(m)\]เราจึงได้ว่า\[\sum_{k=m+1}^{n}f(k)\quad<\quad
\int_m^nf(x)\,dx\quad<\quad
\sum_{k=m}^{n-1}f(k)\]โดยที่ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกและ m < n (ผมไม่ได้แสดงละเอียดเพราะถ้าใครจำพิสูจน์ของ integral test ได้ก็คงจะเข้าใจได้ไม่ยากนัก แต่ถ้าไม่เคลียร์ตรงไหนก็ถามได้นะครับ)

ถ้า m = 1 และ n = 10¹² เราจะได้ว่า\[\int_m^nf(x)\,dx=
\left[\frac{4}{3}x^{3/4}\right]_1^{10^{12}}=
1333333332\]จากอสมการทางซ้ายเราจึงได้ว่า\[\sum_{k=1}^{10^{12}}f(k)=1+\sum_{k=2}^{10^{12}}f(k)<1333333332+1=
1333333333\]และจากอสมการทางขวาเราจึงได้ว่า\[\sum_{k=1}^{10^{12}}f(k)=f(10^{12})+\sum_{k=1}^{10^{12}-1}f(k)>1333333332+0.001=
1333333332.001\]สรุปได้ว่า\[1333333332.001\quad<\quad\sum_{k=1}^{10^{12}}\frac{1}{\sqrt[4]k}\quad<\quad
1333333333\]จะเห็นว่ามี relative error ที่ดีขึ้นประมาณ 2 เท่าครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
25. ขออธิบายสั้นๆ นะครับ
สังเกตว่า 13 หาร F₆ , F₁₃ ลงตัวและ โดย induction จะได้ 13 หาร F_7k-1 ลงตัว เมื่อ k =1,2,3,... สรุปว่าข้อนี้ มี14 จำนวน

ถ้าคุณ passer-by มีโอกาสช่วยอธิบายการ induction แบบยาวๆให้ด้วยนะครับ (เพราะผมยังทำไม่ได้น่ะ )

ผมมีข้อสังเกตเกี่ยวกับโจทย์ข้อนี้คือ อย่างแรกนิยามของลำดับ Fibonacci แตกต่างจากที่ใช้กันโดยทั่วไป (F₀ = 0, F₁ = F₂ = 1) ไม่แน่ใจว่าเป็นความจงใจรึเปล่า อีกอย่างคือผมคิดว่าการพิสูจน์ยังไม่สมบูรณ์นะครับ เพราะเราต้องพิสูจน์ด้วยว่า \(13\not|\,F_n\) เมื่อ n เป็นค่าอื่นๆที่ไม่ได้อยู่ในรูป 7k - 1

[passer-by]

ผมขอแสดง ในส่วน Inductive step อย่างเดียวนะครับ

ให้ 13|F_7k-1

พิจารณา
F_7(k+1)-1
= F_7k+5+F_7k+4
= 2F_7k+4+F_7k+3
= 3F_7k+3+2F_7k+2
= 5F_7k+2+3F_7k+1
= 8F_7k+1+5F_7k
= 13F_7k+8F_7k-1

By inductive hypothesis ทำให้ 13| F_7(k+1)-1

ส่วนข้อนี้ ถ้าไปขัดกับ นิยามจริงๆของ fibonacci sequence ก็ขออภัยด้วยครับ เพราะเจตนาจะสื่อแค่ว่า เทอมต่อๆไป มีลักษณะคล้าย fibonacci sequence
หมายเหตุ : ถ้าดูดีๆ จริงๆ มันก็คือ Fibonacci sequence แต่ run subscript เกินไป 1 ตำแหน่ง)

ส่วนกรณีอื่นๆ ที่ไม่ใช่ 7k-1 อันนี้ ลืมคิดไปเสียสนิท รู้แต่ว่า
F_n+7บ8F_n(mod13) n=0,1,2,3,... ครับ

[warut]

โอ้ว...ไม่คิดว่ามันจะง่ายอย่างนี้ ขอบคุณมากครับ

ให้ U_n แทน Fibonacci number ตัวที่ n ตามนิยามที่ใช้กันทั่วไป นั่นคือ U_n = F_n-1 เมื่อ F_n นิยามตามแบบของคุณ passer-by

เราจะได้ว่า

1. \(U_n|\,U_{kn}\)
2. \((m,n)=1\,\Rightarrow\,(U_m,U_n)=1\)

ซึ่งถ้าผมเข้าใจไม่ผิดการพิสูจน์ข้อความทั้งสองไม่ใช่เรื่องง่ายนัก แต่ไม่คิดเลยว่าการพิสูจน์เฉพาะกรณีเมื่อ n มีค่าน้อยๆ (ในที่นี้ n = 7 เพราะ U₇ = 13) จะง่ายอย่างงี้น่ะครับ

[passer-by]

ขออนุญาตขุดกระทู้นี้ขึ้นมา เพราะเห็นว่าจะสอบรอบ 2 กัน ในวันเสาร์ อาทิตย์ ที่จะถึงแล้ว

คราวนี้ก็ compile มาจากหลาย sources เหมือนเช่นเคย ถ้าว่างก็ลองทำดูนะครับ


1. กำหนดสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ให้ D เป็นจุดปลายส่วนสูงจากจุดยอด A และH เป็นจุดบน AD ที่ไม่ใช่ A กับ D ลาก BH, CH ตัด AC, AB ที่ E และ F ตามลำดับ

พิสูจน์ว่า $ \large E \hat{ D}A = F \hat{D}A $ ( โดยไม่ใช้ advance theorems เช่น Ceva' s theorem etc.)

2. P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC หาค่าน้อยสุดของ

$$ \frac{\mid PA \mid \cdot \mid PB \mid}{\mid PD\mid \cdot \mid PE \mid}+\frac{\mid PB \mid \cdot \mid PC \mid}{\mid PE \mid \cdot \mid PF \mid}+ \frac{\mid PC \mid \cdot \mid PA \mid}{\mid PF \mid \cdot \mid PD \mid} $$

3. หาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $ g.c.d.(p^m-1, p^n+1) $ เมื่อ m เป็นเลขคี่บวก n เป็นจำนวนนับ และ p เป็นจำนวนเฉพาะบวก

4. หาจำนวนอตรรกยะ $ x $ ทั้งหมดที่ทำให้ $ x^3-6x $ และ $ x^4-8x^2 $ เป็นจำนวนตรรกยะ

5. รูปหลายเหลี่ยมนูน (convex polygon) มี n ด้านและ n เป็นเลขคู่ กำหนด Pเป็นจุดภายในรูปหลายเหลี่ยม ที่ไม่อยู่บนเส้นทแยงมุมใดๆ พิสูจน์ว่า มีจำนวนสามเหลี่ยมที่บรรจุ P และเกิดจากจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยม เป็นจำนวนคู่

6. สำหรับจำนวนนับ n ใดๆ กำหนด $ S_n $ แทนจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $ (8\cos^2(15^{\circ}))^n $ พิสูจน์ว่า $ 2^{n+1} \mid S_n $

7. ยกตัวอย่าง $ f : N \rightarrow N $ ซึ่ง $ (f \circ f )(n)= n^2 $

ANS No.2,3,4

2. 12
3. {1,2}
4. $ x= \pm \sqrt{6}, \pm1 \pm\sqrt{3}$

[warut]

โจทย์ warm up ของคุณ passer-by นี่ผมว่ายากน่าดูเลยล่ะ น่าจะเรียกว่าเป็นโจทย์ burn out มากกว่านะครับ

ผมลองเลือกทำข้อ 7. เป็นข้อแรก ตอนแรกคิดว่าจะง่าย ที่ไหนได้ ทำข้อนี้ข้อเดียวก็หมดแรงแล้วครับ

[passer-by]

สงสัยคุณ Warut ต้องมีแรงดึงดูดกับข้อยากแน่ๆเลยครับ เพราะในความเห็นผม ข้อ 7 เป็นข้อที่ยากสุดๆในนั้นแล้วครับ (ส่วนข้ออื่นๆ ความยากยังไม่ทิ้งห่างกันมากนัก)

สาเหตุที่ดูเหมือนจะเป็นข้อสอบ Burn out แทน Warm Up ก็เพราะ ผมเห็นว่าใกล้จะสอบรอบสองน่ะครับ ก็เลยเลือกคำถามให้ยากกว่า Warm Up ปีที่แล้วนิดนึง (แต่สงสัยจะแหกโค้งมากไปหน่อย)

หมายเหตุ : ข้อ 7 มาจากสิงคโปร์ครับ แต่ผมก็ไม่รู้เหมือนกันว่า มันถูกบรรจุในข้อสอบแข่งขันประเภทไหนของสิงคโปร์