จำนวนคำตอบ ยากครับ(PAT)

[Oriel]

กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของ $(a,b,c)$ โดยที $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งมีสมบัติสอดคล้องกับ $a+2b+3c \leqslant 50$ และ $$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1=10(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+1)$$
จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $S$
โจทย์ประเภทนี้มีหลักในการแก้อย่างไรครับ

[Real Matrik]

สังเกตเห็นแวบๆว่า
$$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{a}{a}=a(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$
$$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+1=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}=b(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$
เวลาผมทำโจทย์ประเภทนี้ ก็ไม่ทราบหลักเหมือนกันยังไม่ได้ลองอ่านดู แต่เพราะไม่ทราบนี่แหละมันเลยสนุก
ถ้าสนใจสมการจำนวนเต็มแนวๆนี้ก็ลองศึกษาเรื่องสมการไดโอแฟนไทน์ดูครับ เล่มนี้แนะนำครับ (ผมชอบผู้เขียน )

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของ $(a,b,c)$ โดยที $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งมีสมบัติสอดคล้องกับ $a+2b+3c \leqslant 50$ และ $$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1=10(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+1)$$
จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $S$
โจทย์ประเภทนี้มีหลักในการแก้อย่างไรครับ

นี่เป็นข้อสอบ PAT ธ.ค. 2554 ปีน้ำท่วมข้อนี้หลายรอบแล้วเหมือนกันครับ ดูในหัวข้อที่เฉลยโดยตรงแล้วกันครับ สั้น ๆ ก็คือจัดรูปเป็น $$\frac{ab+ac+bc}{bc} = \frac{10(a+bc+ac)}{ca} \Rightarrow a = 10b \Rightarrow 12b + 3c \le 50$$ จากนั้นแบ่งเป็น 4 กรณีคือ $b = 1, 2, 3, 4$ จะได้จำนวน $c$ ที่เป็นไปได้คือ $12, 8, 4, 0$ ตามลำดับ ดังนั้น $12+8+4+0 = 24$