Shortlist 6th TMO 2009 <MWIT> [full version]

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ขอบคุณมากๆครับ

อยากให้มาช่วยกันเฉลยครับ

[Ne[S]zA]

ข้อ A10
แทน $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ ลงไปใน $L.H.S.$ และจัดรูปจะได้ว่า
$$L.H.S.=3\sum_{cyc} \Big(\dfrac{a^2}{b+c} \Big)-(a+b+c)$$
โดย cauchy schwarz inequality จะได้ว่า
$$L.H.S.=3\sum_{cyc} \Big(\dfrac{a^2}{b+c} \Big)-(a+b+c)\geqslant 3(\dfrac{a+b+c}{2})-(a+b+c)=\dfrac{a+b+c}{2}=s$$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ G3 ครับ

[Switchgear]

ผมเพิ่งมาเปิดอ่านกระทู้นี้ เพื่อไล่ดูเฉลย ... ปรากฏว่ามีเฉลยอยู่แค่ไม่กี่ข้อ
และเป็นเฉลยในส่วน Short-list ไม่ใช่ส่วนที่เป็นข้อสอบทั้ง 2 วัน ???

แต่ว่า Short-list ข้อ A10 ที่เฉลยไว้ตรงกับข้อสอบข้อที่ 8 ของวันแรก

สำหรับข้อ 5 ของวันแรกตรงกับ Shortlist ข้อ A8 ซึ่งคุณ beginner01
เฉลยไว้แล้วในกระทู้
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7182

ยังเหลืออีก 8 ข้อของวันแรก คิดว่ายังไม่มีใครโพสต์เฉลยไว้ ???

สำหรับข้อสอบวันที่สอง พบว่ามีเฉลยกันไปแล้วในอีกกระทู้หนึ่ง คือ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7184

อยากเชิญชวนคนที่กำลังฝึกฝีมือ ช่วยกันเฉลยข้อสอบวันแรกอีก 8 ข้อที่เหลือ
รวมทั้ง Short-list ทั้งหมดเลย ... จะได้เป็นวิทยาทานสำหรับปีต่อไปด้วย!

[Switchgear]

ข้อ 1 ของวันแรก

ตรวจสอบก่อนว่า $\;2009 + 2087 = 4096 = 64^2\;$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ตามเงื่อนไขของโจทย์
สมมติว่า $m$ เป็นสมาชิกของ $S$ ด้วย จะได้ว่า $2087 + m = x^2$ และ $2009 + m = y^2$ นั่นคือ $78 = x^2 - y^2$
จากทฤษฎีบทที่ว่า “สมการ $n = x^2 - y^2$ จะมีคำตอบ $x, y \in Z$ ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มคี่ หรือ $4 | n$”
(ดูบทพิสูจน์ในหน้า 186 จากหนังสือ ทฤษฎีจำนวน ของ สอวน.)
จึงสรุปได้ว่า $78 = x^2 - y^2$ ไม่มีผลเฉลย หมายความว่า ไม่มี $m$ ที่เป็นสมาชิกของ $S$ ตามข้อสมมติ
เพราะฉะนั้น จำนวนสมาชิกที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $S$ จึงเท่ากับ $2$

[Switchgear]

ข้อ 2 ของวันแรก

เซตย่อยที่ผลต่างของสมาชิกค่ามากสุดและสมาชิกค่าน้อยสุดเท่ากับ $k$ คือ $\{i, ?, i+k\}$
โดยที่ $1 \leqslant i \leqslant n-k$ นั่นคือ เมื่อกำหนด $n$ และ $k$ แล้ว จะเลือกสมาชิกค่าน้อยสุดได้ $n-k$ วิธี
เนื่องจากตัวเลขที่อยู่ระหว่างสมาชิกค่ามากสุดและสมาชิกค่าน้อยสุดมีได้ไม่เกิน $k-1$ จำนวน
โดยที่ตัวเลขเหล่านี้จะมีหรือไม่มีก็ได้ ทำให้เกิดเซตย่อยสำหรับแต่ละค่า $i$ เท่ากับ $2^{k-1}$ เซต
ดังนั้นจำนวนเซตย่อยที่ผลต่างของสมาชิกค่ามากสุดและสมาชิกค่าน้อยสุดเท่ากับ $k$ คือ $(n-k) \times 2^{k-1}$ เซต

[Switchgear]

ข้อ 3 ของวันแรก

เริ่มจากจำนวนชมรมที่จัดได้โดยไม่มีธีรเดชเป็นสมาชิกเลย นั่นคือสนใจนักเรียนเพียง $18$ คนก่อน
จำนวนชมรมที่ไม่มีธีรเดชอยู่เลย $= C(18, 1) + C(18, 2) + ? + C(18, 18) = 2^{18} -1$ ชมรม
จำนวนชมรมข้างต้นที่มีสมาชิกเป็นเลขคู่ $= C(18, 2) + C(18, 4) + ? + C(18, 18) = 2^{17} - 1$ ชมรม
ชมรมที่มีสมาชิกเป็นเลขคู่เหล่านี้ เมื่อรับธีรเดชเข้าไปจะทำให้จำนวนสมาชิกเป็นจำนวนคี่ตามโจทย์
ดังนั้น นักเรียนห้องนี้จะตั้งชมรมได้อย่างมาก $= (2^{18} - 1) + (2^{17} - 1) = 3 \times 2^{17} - 2$ ชมรม

[กิตติ]

ข้อN5(shortlist)...จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ และ$q$ ทั้งหมดที่ทำให้ $p^2+2009pq$เป็นกำลังสองสมบูรณ์
คิดได้ค่า$p=41$ และ$q=47$
โดยให้$p^2+2009pq = m^2$
จะได้$m^2-p^2=2009pq$
$(m-p)(m+p)=2009pq$
ผมคิดแยกเป็นกรณีต่างๆจนได้คำตอบเป็นจำนวนเฉพาะเพียงคู่เดียว

[Switchgear]

ข้อ 4 ของวันแรก

โดยไม่เสียนัยทั่วไป กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้าน $BC$ เป็นฐานกว้าง $6$ หน่วย
มุม $A$ เป็นยอดสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้าน $AB = AC$ ให้ $A$ อยู่สูงจากฐาน $BC$ เท่ากับ $3$ หน่วย

จากโจทย์ $AF = FE = EC$ ทำให้จุด $F$ และ $E$ อยู่สูงจากฐาน $BC$ เท่ากับ $2$ และ $1$ หน่วยตามลำดับ
ลากเส้นตั้งฉากจากจุด $F$ และ $E$ มายังฐาน $BC$ ที่จุด $F?$ และ $E?$ ตามลำดับ
จะได้ความยาวด้าน $BF?$ และ $BE?$ เท่ากับ $4$ และ $5$ หน่วยตามลำดับ

อาศัยสามเหลี่ยมคล้ายระหว่าง $BFF?$ และ $BGD$ จะได้ $DG/BD = F?F/BF?$ นั่นคือ $DG = 1.5$ หน่วย
อาศัยสามเหลี่ยมคล้ายระหว่าง $BEE?$ และ $BHD$ จะได้ $DH/BD = E?E/BE?$ นั่นคือ $DH = 0.6$ หน่วย
$[ABC] = (1/2) \times BC \times AD = (1/2) \times 6 \times 3 = 9$ ตารางหน่วย
$[BGH] = [BGD] - [BHD] = (1/2) \times BD \times (DG - DH) = (1/2) \times 3 \times (1.5 - 0.6) = 1.35$ ตารางหน่วย

เพราะฉะนั้น $[BGH]/[ABC] = 1.35/9 = 0.15$ (หรือเท่ากับ $3/20$)

หมายเหตุ: ตอนนี้เหลือข้อ 6, 7, 9 และ 10 ของวันแรก ที่ยังไม่มีใครโพสต์เฉลยละเอียดไว้

[Switchgear]

ข้อ 9 ของวันแรก

ผมคำนวณได้ $\quad\displaystyle{\frac{AB}{BC} \;=\; \sqrt{\;\frac{5-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}\sin 15^{\circ} }{5-2\sqrt{3}+2\sin 15^{\circ} }}} \qquad$ เมื่อ $\;\displaystyle{\sin 15^{\circ} \;=\;\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$

ซึ่งดูแล้วยุ่งน่าดู ... ไม่รู้ว่าคนอื่นคำนวณได้ตัวเลขเดียวกับผมหรือไม่ ?

[passer-by]

N3

Lemma: ถ้า $ h+k = p-1 $ แล้ว $ h!k! \equiv (-1)^{h+1} \pmod{p} $

จาก Wilson's theorem , $ -1 \equiv (p-1)! = h!(h+1)(h+2)...(p-2)(p-1) = h!(p-k)(p-k+1)...(p-2)(p-1) \equiv (-1)^k h!k! \pmod{p} $

และเพราะ $$\sum_{k=0}^p \,\,(p-k)!(k!) \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \,\,(p-k)!(k!) = \sum_{k=1}^{p-1} \,\, (p-k)!(k-1)!(k) \pmod{p} $$

จากนั้น apply lemma จะพบว่าเศษเท่ากับ (p-1)/2 ครับ

[กิตติ]

shortlist..ข้อA12
ให้$a,b,c $เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่$abc=1$ จงแสดงว่า

$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}} \geqslant \frac{4}{3} $

จาก$a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$

$\frac{(a+1)+(a^2-a+1)}{2} \geqslant \sqrt{(a+1)(a^2-a+1)} $

$\frac{a^2+2}{2} \geqslant \sqrt{1+a^3} $

$\frac{1}{\sqrt{1+a^3}} \geqslant \frac{2}{a^2+2} $

$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}} \geqslant \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)} +\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}$

$=\frac{4a^2(c^2+2)+4b^2(a^2+2)+4C^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)} $

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2)+(abc)^2+8$

ให้$4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2) = S$

จะได้ว่า$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)= S+9$

จาก$4a^2(c^2+2)+4b^2(a^2+2)+4C^2(b^2+2) = 8(a^2+b^2+c^2)+4(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2)=2S$

จาก$a^2+b^2+c^2\geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \geqslant 3$

และ$a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^4} \geqslant 3$

ดังนั้น$S\geqslant 18$

$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}} \geqslant \frac{2}{1+\frac{9}{S} } $

$1+\frac{9}{S} \leqslant \frac{3}{2} $

$\frac{2}{1+\frac{9}{S} } \geqslant \frac{4}{3} $

ดังนั้น
$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}} \geqslant \frac{4}{3} $

[กิตติ]

shortlistสองหน้าแรกหายไปแล้วครับ...ถ้าใครทันเซฟเก็บไว้ ขอไฟล์หน่อยครับ อยากเก็บไว้ดูครับ
ขอบคุณครับ

[not11]

@คุณกิตติ อัพให้แล้วนะครับ ^ ^

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับที่ช่วยอัพให้ใหม่ครับ
เดี๋ยวจะรีบเซฟเก็บไว้ครับ