โจทย์ความน่าจะเป็น 2

[monthian]

ร้านสหกรณ์แห่งหนึ่ง ได้สั่งอาหารกระป๋องจากบริษัทผู้ผลิตมาจำหน่ายเป็นจำนวนมาก หลังจากที่วางอาหารกระป๋องจำหน่ายได้ 1 วัน ร้านสหกรณ์ได้รับแจ้งจากบริษัทผู้ผลิตว่า 50 % ของอาหารกระป๋องเหล่านั้นปิดชื่ออาหารผิดไม่ตรงกับชนิดอาหารที่บรรจุในกระป่อง แต่ปรากฏว่าร้านสหกรณ์ได้ขายไปแล้ว 10 กระป๋องจงหาความน่าจะเป็นของอาหารทั้ง 10 กระป๋องนั้นปิดฉลากชื่ออาหาร


ก. ผิดหมด
ข. ไม่ผิดเลย
ค. ผิดอย่างน้อย 2 กระป่อง
ง. ผิดมากกว่า 2 กระป๋อง แต่น้อยกว่า 5 กระป๋อง

ช่วยด้วยครับ ตื้อไปหมดแล้ว

[กิตติ]

ผมว่าน่าจะถามต่อในกระทู้เดิมดีกว่าครับ จะได้ไม่ดันกระทู้อื่นให้ตกหน้าครับ
ก. ผิดหมด
โอกาสเท่ากับ$(0.5)^{10}$
ข. ไม่ผิดเลย
โอกาสเท่ากับ$(0.5)^{10}$
ค. ผิดอย่างน้อย 2 กระป่อง
ผิด 1 กระป๋องเท่ากับ $(0.5)^{10}$
ไม่ผิดเลย โอกาสเท่ากับ$(0.5)^{10}$
ผิดอย่างน้อย 2 กระป่อง โอกาสเท่ากับ$1-2(0.5)^{10}$
ง. ผิดมากกว่า 2 กระป๋อง แต่น้อยกว่า 5 กระป๋อง
คือติดผิด 3และ 4 กระป๋องเท่ากับ$2(0.5)^{10}$

ไม่รู้ว่าผมจะจำวิธีคิดถูกไหม ยังไงลองฟังท่านอื่นด้วยแล้วกันครับ ผมน่ะสะเพร่าประจำครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมว่าน่าจะถามต่อในกระทู้เดิมดีกว่าครับ จะได้ไม่ดันกระทู้อื่นให้ตกหน้าครับ

ไม่รู้ว่าผมจะจำวิธีคิดถูกไหม ยังไงลองฟังท่านอื่นด้วยแล้วกันครับ ผมน่ะสะเพร่าประจำครับ

ดูวิธีคิดจาก 2 กระทู้ที่ผ่านมาครับ

[กิตติ]

สำหรับข้อนี้วิธีคิดไม่น่าจะเหมือนกันสองข้อก่อน เนื่องจากในโจทย์ของแม่บ้านนั้น เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นนั้นถือว่าต่างกันจนต้องเอา$\binom{n}{r} $ มาคูณ แม่บ้านแต่ละคนถือว่าต่างกัน เช่นเดียวกับเด็กนักเรียนแต่ละคนก็ต่างกันจึงต้องเลือกเด็กมา จึงคูณด้วย $\binom{n}{r} $ แต่ในกรณีของอาหารกระป๋องนั้นถือว่าแต่ละกระป๋องนั้นไม่ต่างกัน จึงไม่ต้องเอา$\binom{n}{r}$ มาคูณ ไม่รู้ว่าผมเข้าใจถูกไหม

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

สำหรับข้อนี้วิธีคิดไม่น่าจะเหมือนกันสองข้อก่อน เนื่องจากในโจทย์ของแม่บ้านนั้น เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นนั้นถือว่าต่างกันจนต้องเอา$\binom{n}{r} $ มาคูณ แม่บ้านแต่ละคนถือว่าต่างกัน เช่นเดียวกับเด็กนักเรียนแต่ละคนก็ต่างกันจึงต้องเลือกเด็กมา จึงคูณด้วย $\binom{n}{r} $ แต่ในกรณีของอาหารกระป๋องนั้นถือว่าแต่ละกระป๋องนั้นไม่ต่างกัน จึงไม่ต้องเอา$\binom{n}{r}$ มาคูณ ไม่รู้ว่าผมเข้าใจถูกไหม

$\binom{n}{r}$ เป็นจำนวนครั้งที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นครับ
binomail distribution เป็นการทดลองสุ่มสำหรับเหตุการณ์ซึ่งเป็นอิสระต่อกัน โดยมีการกระทำซ้ำเดิมหลาย ๆ ครั้ง ในแต่ละครั้ง สนใจเพียงแค่ว่า จะเกิดหรือไม่เกิดขึ้น ในสิ่งที่เราสนใจ โดยที่ความน่าจะเป็นที่จะเกิดหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์นั้นมีค่าคงที่เสมอในแต่ละครั้ง ถ้ามีการทดลองสุ่ม n ครั้ง โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น r ครั้ง จึงคูณด้วย $\binom{n}{r}$ ผมอธิบายตามความเข้าใจของผมนะครับ ผมสอนแค่ระดับมัธยมปลาย หากมีอะไรผิดไป คงมีท่านอื่นมาช่วยตอบแทน เพราะการแจกแจงลักษณะนี้เรียนกันในมหาวิทยาลัย แต่ก็ไม่เกินความรู้ความสามารถของนักเรียนระดับมัธยมปลายที่จะสามารถทำความเข้าใจได้

[monthian]

P(x = 2) = (eู^-m) (m ^xi) = (2.71828 ^-0.5) (0.5) ^2 = เท่าไหร่ครับ
xi! 2!

คือผมไม่เข้าใจตอนที่เลขยกกำลังติดลบ แล้วเราต้องทำอย่างไร

[กิตติ]

ถ้าเราลองกลับมาที่เบสิคของเรื่องความน่าจะเป็น

10% ของแม่บ้านที่ยอมให้พนักงานขายเครื่องดูดฝุ่นเข้าไปในบ้าน จะตกลงซื้อเครื่องดูดฝุ่น ในชุมชนแห่งหนึ่ง ถ้ามีแม่บ้าน 20 คน ยอมให้พนักงานขายเครื่องดูดฝุ่นเข้าไปในบ้าน จงหาค่าความน่าจะเป็นที่แม่บ้าน

เอาง่ายๆที่จะเห็น ลองหาความน่าจะเป็นของแม่บ้านที่ยอมซื้อเครื่องดูดฝุ่น 3คน สมมุติให้แม่บ้านทั้งหมด 20 คนเป็น $ม_1,ม_2,ม_3,...,ม_{19},ม_{20}$
เราเห็นว่าแม่บ้านที่ซื้อ 3คนมีโอกาสเป็น
$ม_1,ม_2,ม_3$
$ม_1,ม_2,ม_4$
$ม_1,ม_2,ม_5$
สมมุติแค่ 3 แบบก่อน
ซึ่งต่ละเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น คือเป็นอิสระต่อกัน และเป็นแบบของการเกิดที่ต่างกัน ดังนั้นการเกิดทั้งหมดมีจำนวนแบบที่ต่างกันได้เท่ากับ$\binom{20}{3} $ เหตุการณ์ และในแต่ละเหตูการณ์นั้นมีโอกาสเกิดเท่ากับ $(0.1)^3(0.9)^{17}$ ดังนั้นความน่าจะเป็นของแม่บ้านที่ยอมซื้อเครื่องดูดฝุ่น 3คน เท่ากับ$\binom{20}{3}(0.1)^3(0.9)^{17}$
เช่นเดียวกับ

90% ของนักเรียนที่เรียนชุดวิชาพลศึกษาจะสอบผ่าน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียน 3 คน จากนักเรียนในชั้น 15 คนที่สอบวิชานี้จะผ่าน

ผมแปลงให้เป็นแค่ 3คนผ่าน จะได้ดูง่าย ก็มีเด็กนักเรียนเป็น$ด_1,ด_2,ด_3,...,ด_{14},ด_{15}$
ก็เกิดจำนวนแบบเหมือนกับข้างต้นได้เท่ากับ$\binom{15}{3}(0.9)^3(0.1)^{12} $

แต่สำหรับอาหารกระป๋องนั้นต่างกัน เพราะกระป๋องแต่ละกระป๋องเหมือนกันหมด

ร้านสหกรณ์แห่งหนึ่ง ได้สั่งอาหารกระป๋องจากบริษัทผู้ผลิตมาจำหน่ายเป็นจำนวนมาก หลังจากที่วางอาหารกระป๋องจำหน่ายได้ 1 วัน ร้านสหกรณ์ได้รับแจ้งจากบริษัทผู้ผลิตว่า 50 % ของอาหารกระป๋องเหล่านั้นปิดชื่ออาหารผิดไม่ตรงกับชนิดอาหารที่บรรจุใน กระป่อง แต่ปรากฏว่าร้านสหกรณ์ได้ขายไปแล้ว 10 กระป๋องจงหาความน่าจะเป็นของอาหารทั้ง 10 กระป๋องนั้นปิดฉลากชื่ออาหาร

ความน่าจะเป็นของอาหารทั้ง 10 กระป๋องนั้นปิดฉลากชื่ออาหารปิดผิด 3 กระป๋อง
การทดลองสุ่มในโจทย์คือ ดูว่ามีอาหารกระป๋องที่ขายไปแล้วถูกหรือผิดเท่าไหร่ สมมุติว่ามีกระป๋อง 10 กระป๋องเป็น
$กป_1,กป_2,...,กป_9,กป_{10}$
ให้กระป๋องที่ปิดผิด 3 กระป๋องเป็น
$กป_1,กป_2,กป_3$
$กป_1,กป_2,กป_4$
$กป_1,กป_2,กป_5$
$กป_1,กป_2,กป_6$
$กป_1,กป_2,กป_7$
$กป_1,กป_2,กป_8$
$กป_1,กป_2,กป_9$
$กป_1,กป_2,กป_{10}$
ต่างก็ทำให้จำนวนกระป๋องที่ปิดผิดเป็น 3 กระป๋องเท่ากัน ดังนั้นผมมองว่าจำนวนเหตุการณ์ไม่น่าจะต้องเอา$\binom{20}{3} $ไปคูณกับความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์
หากโจทย์ถามว่า ความน่าจะเป็นที่คนซื้ออาหารกระป๋องได้ไม่ตรงกับฉลาก 3 คน อย่างนี้ผมเห็นด้วยว่าต้องคูณด้วย$\binom{20}{3} $ หรือเราตีความไปเลยว่าอาหารที่ติดฉลากไม่ตรงย่อมทำให้คนซื้อได้อาหารผิดไป ถือว่ามันต่างกันไปเลย หรือว่าผมคิดมากไปในการคิดความน่าจะเป็น

[lek2554]

ให้ อาหารกระป๋องที่ติดฉลากผิด แทนด้วย ผ อาหารกระป๋องที่ติดฉลากถูก แทนด้วย ถ
ผมคิดว่าเหตุการณืที่เกิดขึ้นเป็นดังนี้ครับ (ลำดับในการขายครั้งที่ 1 ถึง 10)
ผ ผ ผ ถ ถ ถ ถ ถ ถ ถ
ผ ถ ผ ถ ผ ถ ถ ถ ถ ถ
ถ ถ ผ ถ ผ ถ ผ ถ ถ ถ
......................
.....................

แต่ละแบบไม่เหมือนกัน เพราะเป็นครั้งที่เท่าไหร่ที่จะถูกขายไป
ส่วนอาหารกระป๋องแต่ละกระป๋องจะเหมือนกันหรือต่างกัน ไม่เกี่ยวข้อง เพราะเราคิดจากลำดับที่ ที่จะขายไป

หมายเหตุ ผมคิดว่าเวลาคำนวนความน่าจะเป็น ของเหมือนกัน ก็ต้องคิดว่าเป็นของต่างกัน (ไม่เกี่ยวกับการหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยน หรือจัดหมู่นะครับ)
ยกตัวอย่างเช่น กล่องใบหนึ่งมีสลากหมายเลข 1 อยู่ 3 ใบ และหมายเลข 2 อยู่ 7 ใบ สุ่มหยิบขึ้นมา 1 ใบ เห็นชัดเจนว่าโอกาสที่จะได้สลากหมายเลข 2 มีมากกว่าแน่นอน
แต่ถ้าคิดว่า สลากหมายเลข 1 แต่ละใบเหมือนกัน และหมายเลข 2 แต่ละใบเหมือนกัน
จะได้ sample space คือ {1, 2} ดังนั้นโอกาสที่จะได้ 1 กับ 2 ก็มีเท่ากัน ซึ่งไม่น่าจะถูกต้อง
จึงควรคิดว่าสลากแต่ละใบต่างกัน จึงจะสมเหตุสมผล เพราะ sample space จะเปลี่ยนเป็น {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, ...}

[กิตติ]

เข้าใจแล้วครับคุณเล็ก....ผมว่าผมคิดมากเกินไป ถ้าจะให้ง่ายก็คิดให้มันต่างกันไว้ก่อนแล้วค่อยตัดกรณีที่มันอาจนับซ้ำจะง่ายกว่า
อ่านที่คุณเล็กเขียนเข้าใจเพิ่มขึ้นแล้วครับ
ขอบคุณครับ