โจทย์พหุนาม

[artty60]

กำหนดให้ $P(x)=1-x+x^2-x^3+...+x^{18}-x^{19}$ และ $Q(x)=P(x-1)$ แล้ว
จงหาค่าของcoefficient ของ $x^2$ ของพหุนาม $Q$

[nooonuii]

$P(x)=\dfrac{1-x^{20}}{1+x}$

$Q(x)=\dfrac{1-(x-1)^{20}}{x}$

ที่เหลือน่าจะต่อได้

[Euler-Fermat]

ทำได้ หลายวิธีอาจจะทำตรงๆ เลย ก็ได้
วิธีที่ 1 :$P(x) = 1-x+x^2-x^3+x^4......+x^{18}-x^{19}$
$Q(x) = P(x-1)= 1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+.....+(x-1)^{18}-(x-1)^{19}$
สัมประสิทธิ์ของ $x^2 = \binom{2}{0}+\binom{3}{1}+......+\binom{18}{16}+\binom{19}{17}$
$= \binom{2}{2}+ \binom{3}{2}+.....+ \binom{18}{2}+\binom{19}{2}$
$= \binom{20}{3}$

วิธีที่ 2 เปลี่ยนโดยลำดับเรขาคณิต
$P(x) = 1-x+x^2-x^3+x^4......+x^{18}-x^{19} = \frac{1-x^{20}}{1+x} $
$Q(x) = \frac{1-(x-1)^{20}}{x} $
สัมประสิทธิ์$ x^2 = \binom{20}{17} = \binom{20}{3}$