IMO 2001 ข้อ 2 ครับ

[Beatmania]

จงแสดงว่า

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+8bc} } +\frac{b^2}{\sqrt{b^2+8ac} } +\frac{c^2}{\sqrt{c^2+8ab} } \geqslant 1$

ช่วยดูให้หน่อยได้ไหมครับว่าใช้ได้ไหม

วิธีของผมครับ

โดย Am-Gm ได้ว่า

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+8bc} } +\frac{b^2}{\sqrt{b^2+8ac} } \frac{c^2}{\sqrt{c^2+8ab} } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } $

และจาก Am-Gm พบว่า

$a^2+8bc\geqslant 2\cdot a\sqrt{8bc} $

ในทำนองเดียวกัน ได้ว่า

$b^2+8ac\geqslant 2\cdot b\sqrt{8ac} $

และ $c^2+8ab\geqslant 2\cdot a\sqrt{8ab} $

ทำให้

$\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{2a\cdot \sqrt{8bc} \cdot 2b\cdot \sqrt{8ac} \cdot 2c\sqrt{8ab} } } } $

$\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{128\sqrt{2} } abc} } $

$\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{128\sqrt{2} } } }$

แต่ การใช้ AM-GMครั้งที่ 2 ของผม จะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ

$a^2=8bc,b^2=8ac,c^2=8ab$

ซึ่งเกิดข้นพร้อมกันไม่ได้ ทำให้

$\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } >3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{128\sqrt{2} } } }$

นั่นเอง

เพิ่งหัดทำอ่ะครับ อาจดูไม่ค่อยสวยเท่าไหร่

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

จงแสดงว่า

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+8bc} } +\frac{b^2}{\sqrt{b^2+8ac} } +\frac{c^2}{\sqrt{c^2+8ab} } \geqslant 1$

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+8bc} } +\frac{b^2}{\sqrt{b^2+8ac} } \frac{c^2}{\sqrt{c^2+8ab} } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } $

และจาก Am-Gm พบว่า

$a^2+8bc\geqslant 2\cdot a\sqrt{8bc} $

แต่พอเอาไปแทนอสมการมันกลับข้างกันอยู่นะครับ

$\dfrac{1}{a^2+8bc}\leq \dfrac{1}{2\cdot a\sqrt{8bc}}$

[จูกัดเหลียง]

$a+b+c\ge 3$
หรือเปล่าครับ เพราะผมเเทน $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2}$
เเล้วมันไม่จริง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$a+b+c\ge 3$
หรือเปล่าครับ เพราะผมเเทน $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2}$
เเล้วมันไม่จริง

ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มครับ

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แต่พอเอาไปแทนอสมการมันกลับข้างกันอยู่นะครับ

$\dfrac{1}{a^2+8bc}\leq \dfrac{1}{2\cdot a\sqrt{8bc}}$

จริงด้วยครับ ว่าทำไมคำตอบไม่ค่อยสวยเลย

ปล.ผมพอจะหาโจทย์ AM-GM ได้จากไหนบ้างครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

จริงด้วยครับ ว่าทำไมคำตอบไม่ค่อยสวยเลย

ปล.ผมพอจะหาโจทย์ AM-GM ได้จากไหนบ้างครับ

โจทย์ทั่วไปก็ใช้ A.M-G.M นะครับ
ปล. ขอโทษทีครับ ผมเเทนมั่วมาก 555+

[RoSe-JoKer]

ลองศึกษาเรื่องการใช้อสมการ Holder ดูนะครับ ข้อนี้เป็นโจทย์ตัวอย่างการใช้อสมการ Holder ที่ดีข้อหนึ่งเลยแหละครับ

[template]

\[\frac{a^2}{\sqrt{a^2+8bc}}\ge \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}\]