Surreal number

[share]

Surreal number แบบภาษาบ้าน ๆ นะครับ

0 ขอเขียนเป็นหน้าตา
0 = {|} หรือ {0|0}
ระบบเลขของเรา เรียงลำดับแบบนี้
-1 0 +1

-1 ขอเขียนเป็นหน้าตา {|0} หรือ น้อยกว่า 0
+1 ขอเขียนเป็นหน้าตา {0|} หรือ มากกว่า 0

ดังนั้น -1 0 +1 จึงเขียนเป็นหน้าตา
{|0} {|} {0|}

ซ้าย หรือ L
ขวา หรือ R
จึงเขียนได้เป็น {L|R}

ดังนั้น
{ | 0 } = −1 อ่าน -1 น้อยกว่า 0
{ | −1 } = −2 อ่าน -2 น้อยกว่า -1
{ | −2 } = −3 อ่าน -3 น้อยกว่า -2

{ 0 | } = 1 อ่าน 1 มากกว่า 0
{ 1 | } = 2 อ่าน 2 มากกว่า 1
{ 2 | } = 3 อ่าน 3 มากกว่า 2

สรุปได้ว่า
{ 0 | 1 } = 1/2 อ่าน "1/2 มากกว่า 0 และ 1/2 น้อยกว่า 1"
{ 0 | 1/2 } = 1/4 อ่าน "1/4 มากกว่า 0 และ 1/4 น้อยกว่า 1/2"
{ 1/2 | 1 } = 3/4 อ่าน "3/4 มากกว่า 1/2 และ 3/4 น้อยกว่า 1"

OK ไหมครับ

สร้างระบบทำนองนี้ จึงได้ กลุ่มเลข เขียน เรียงลำดับ ได้ ละเอียดลงไปเรื่อย ๆ เรียก Surreal number


In mathematics, the surreal number system is a totally ordered proper class
containing the real numbers
as well as infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller
in absolute value than any positive real number.

toshare

[share]

ทำไม{0l1} = 1/2 ละครับ มากกว่า0น้อยกว่า1มีตั้งหลายตัว

ไม่ค่อยเข้าใจด้วยครับว่า มันมีประโยชน์ยังไง

สมาชิก Pantip หมายเลข 5465950

[share]

ในด้านวิชาการ
*** เครื่องหมายหนึ่ง ๆ จะแทนความหมายอะไรนั้น
ต้องดูที่ผู้บัญญัติได้กำหนดไว้
"=" อย่าเข้าใจว่า ต้องเป็นความหมาย "้เท่ากับ" เสมอครับ

"ทำไม{0l1} = 1/2 ละครับ มากกว่า0น้อยกว่า1มีตั้งหลายตัว"
ที่ถามมา เธอกำลังเข้าใจว่า "=" ต้องเป็นความหมาย "้เท่ากับ"
ซึ่งเธอพูดว่า "มากกว่า0น้อยกว่า1มีตั้งหลายตัว" นั้น "ใช่เลย"
แต่จะแสดงให้ชัด อย่างเป็นระบบ ได้อย่างไรครับ

จริง ๆ แล้ว
{ 0 | 1 } = 1/2 อ่าน" 1/2 มากกว่า 0 และ 1/2 น้อยกว่า 1"
ย้ำ "อ่าน/อ่านว่า"
เพื่อบอกให้รู้ว่า
"1/2 มากกว่า 0" ระหว่างค่าทั้งสองนั้น มีจำนวนเลขอื่น ๆ อีกมากมาย
และ เช่นกัน
"1/2 น้อยกว่า 1" ระหว่างค่าทั้งสองนั้น มีจำนวนเลขอื่น ๆ อีกมากมาย

นี่คือประโยชนฺ ของระบบเลข surreal number
ทำให้เรา "ซอยย่อย" จำนวนเลขให้ละเอียดลงไปได้ "แบบไม่จำกัด"

ไม่เหมือนเครื่องหมาย infinity ซึ่งไม่ได้เป็น "จำนวนเลข"
เป็นแค่คำพูดว่า "ไม่สิ้นสุด/อนันต์" ซึ่งเมื่อนำไปใช้ ก็เกิด ความไม่แม่นยำชัดเจน

แต่ ระบบเลข surreal number ทำให้พูดได้ชัดว่า
set จำนวนInteger มีสมาชิก "อนันต์"
set จำนวนReal มีสมาชิก "อนันต์"
แต่พิสูจน์ได้ว่า
set จำนวนInteger "เล็กกว่า" set จำนวนReal

พูดให้ชัด
ระบบเลข surreal number เน้น "ลำดับ (order) ความมากน้อย/ความเล็กใหญ่"
ไม่ได้เน้น "ค่า"นั้น ๆ

[share]

ขอย้อนเรื่อง
"=" อย่าเข้าใจว่า ต้องเป็นความหมาย "้เท่ากับ" เสมอครับ

ในวิชาการเขียน โปรแกรม/coding จะพบ
A = A+B
นี่เช่นกัน "=" ไม่ใช่ความหมาย "้เท่ากับ"
แต่เป็น
"อ่าน/อ่านว่า" หรือ "บอกว่า"
[ให้เอา สิ่งที่อยู่ในตำแหน่ง A รวมกับ สิ่งที่อยู่ในตำแหน่ง B
แล้วนำไปเก็บไว้ใน ตำแหน่ง A]

หวังว่า คงกระจ่างขึ้น และเห็นประโยชน์

สรุป
ระบบเลข จำนวนจริง(real number) จึงเป็น subset ของระบบเลข surreal number

[share]

เข้าใจเรื่องเครื่องหมาย=แล้วครับ แต่ยังสงสัยอยู่
1 {0l1}=1/2 กับ 0<1/2<1 ต่างกันยังไง
2 สมาชิกของ surreal number - real number มีอะไรบ้างครับ

ต่างกันที่ 0<1/2<1 นั้น ประกอบด้วยเลข 3 จำนวน
จำนวนที่อยู่ขวา มากกว่า จำนวนที่อยู่ซ้าย
แต่
{0l1} เป็นเลข 1 จำนวน คือ(=) 1/2 ครับ

ถ้าให้ e เป็น empty set
0 จะเขียนได้เป็น {ele} หรือเขียนเป็น {l}
เพราะ empty set ไม่มีสมาชิก ดังนั้น
ไม่มีสมาชิกใด ๆ ใน empty set จะ เท่ากับ หรือ มากกว่า 0 และ
0 จะไม่มากกว่า หรือ เท่ากับ สมาชิกใด ๆ ใน empty set

ด้วยวิธีนี้ เราจึงเขียน (อย่าลืม "มากกว่า" จะอยู่ "ขวา")
{0|} คือ 1 และ
{|0} คือ -1