โจทย์พิสูจน์ ทฤษฎีจำนวน

[pont494]

สำหรับจำนวนเต็มบวก n จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้
1. $24 \mid (2*7^n+3*5^n-5)$ โจทย์แนะนำให้ใช้อุปนัย แต่ผมทำไม่ได้ครับ ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ
2. $(3!)^n \mid (3n)!$

[nooonuii]

$2\cdot 7^{n+1}+3\cdot 5^{n+1}-5=(2\cdot 7^n+3\cdot 5^n-5)+12(7^n+5^n)$

ก้อนหลังหารด้วย $24$ ลงตัวได้ยังไงกันนะ

[pont494]

ขอบคุณครับ คุณ nooonuii
ได้ข้อนี้แล้วครับ ตอนแรกผมคำนวณผิดไปเองครับ

[Poogunexe]

หา combinatorial proof ข้อสองดีกว่า
มียางลบเหมือนอยู่ 3n ก้อน เขียนเลข 1,2,3,...,n บนยางลบ เลขละละสามก้อน
นำยางลบทั้ง 3n ก้อนมาวางเรียงเป็นเส้นตรง ได้ $\frac{(3n)!}{(3!)^n} $ วิธี ซึ่งยังไงวิธีเรียงสิ่งของมันก็เป็นจำนวนเต็ม
ฉะนั้น $\frac{(3n)!}{(3!)^n} $ ก็เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $(3!)^n\mid (3n)!$

[Thamma]

Induction

$ (3!)^1 \mid (3.1)! $ ดังนั้น P(1) เป็นจริง

สมมุติ P(k), $ (3!)^k \mid (3k)! $ เป็นจริง สำหรับบางจำนวนเต็มบวก k

P(k+1), $ (3!)^{k+1} \mid [3(k+1)]! $

$ (3!)^k \cdot 6 \mid (3k+3)(3k+2)(3k+1) (3k)! $

$ 3 \mid 3k+3 $ และ $ 2 \mid 3k+3)(3k+2)(3k+1) $ ทำให้ $ 6 \mid (3k+3)(3k+2)(3k+1) $

ดังนั้น P(k+1) เป็นจริง

$ (3!)^n \mid (3n)! $ เป็นจริง สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n

Legendre

$ จำนวนตัวประกอบ\; 3 \;ของ \;(3n)! = \left\lfloor\;\frac{3n}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\;\frac{3n}{3^2}\right\rfloor + ?. \geq n $

$ จำนวนตัวประกอบ \;2 \;ของ\; (3n)! = \left\lfloor\;\frac{3n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\;\frac{3n}{2^2}\right\rfloor + ?. \geq n $

$ 2^n \cdot 3^n \mid (3n)! $

$ (3!)^n \mid (3n)! $

[artty60]

ข้อแรก ใช้เรื่อง modulo เมื่อ n เป็นเลขคู่เลขคี่ พิสูจน์ได้ว่า $24 \mid (2*7^n+3*5^n-5)$

ยังไม่เข้าใจวิธีของคุณNooonuii ครับ รู้แค่ว่าก้อนหลังสุดหารด้วย24ลงตัว

ข้อสอง ก็ใช้เลอจองด์

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ข้อแรก ใช้เรื่อง modulo เมื่อ n เป็นเลขคู่เลขคี่ พิสูจน์ได้ว่า $24 \mid (2*7^n+3*5^n-5)$

ยังไม่เข้าใจวิธีของคุณNooonuii ครับ รู้แค่ว่าก้อนหลังสุดหารด้วย24ลงตัว

ข้อสอง ก็ใช้เลอจองด์

โจทย์ให้ใช้อุปนัยครับ ที่ผมเขียนไว้เป็นการพิสูจน์ขั้นอุปนัย

[artty60]

ขอรบกวนคุณNooonuiiอีกสักครั้งนะครับ ผมงงกับเครื่องหมายลบตรง $3\cdot 5^{n+1}$ของก้อนแรกน่ะครับ และถ้าอุปนัยแบบนี้ แสดงว่าก้อนแรกหารด้วย24ลงตัว เราจะรู้ได้อย่างไรครับ ผมรู้สึกว่ามันวนกลับไปที่จุดเดิม

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ขอรบกวนคุณNooonuiiอีกสักครั้งนะครับ ผมงงกับเครื่องหมายลบตรง $3\cdot 5^{n+1}$ของก้อนแรกน่ะครับ และถ้าอุปนัยแบบนี้ แสดงว่าก้อนแรกหารด้วย24ลงตัว เราจะรู้ได้อย่างไรครับ ผมรู้สึกว่ามันวนกลับไปที่จุดเดิม

มันคือสมมติฐานขั้นอุปนัยครับ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

มันคือสมมติฐานขั้นอุปนัยครับ

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ แต่ว่าตรง $- 3\cdot 5^{n+1}$ คงจะเป็น $+3\cdot 5^{n+1} $ ใช่มั้ยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ แต่ว่าตรง $- 3\cdot 5^{n+1}$ คงจะเป็น $+3\cdot 5^{n+1} $ ใช่มั้ยครับ

พิมพ์ผิดครับ ขอบคุณที่ช่วยตรวจสอบครับ แก้ให้แล้ว