|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#121
|
||||
|
||||
จัดไปเลยครับ $a,b,c>0$
RJ2. $\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{ab}+2\geq \frac{2\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}}{ab+bc+ca}$ RJ3. $a+b+c=3$ $\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+b+c}\leq 1$
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 22 มกราคม 2009 20:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer |
#122
|
|||
|
|||
RJ3. จากอสมการโคชี ได้ว่า $(a^2+b+c)(1+b+c)\geq(a+b+c)^2$
$\therefore\frac{1}{a^2+b+c}\leq\frac{1+b+c}{(a+b+c)^2}$ ดังนั้น $\sum_{cyc}\frac{1}{a^2+b+c}\leq\frac{3+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2}=\frac{9}{9}=1$
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 22 มกราคม 2009 20:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01 |
#123
|
|||
|
|||
เติมให้อีกครับ คราวนี้ไม่จำกัดวิธี
$a,b,c,d>0$ 42. $\sqrt[3]{\dfrac{a+2b}{3c}}+\sqrt[3]{\dfrac{b+2c}{3a}}+\sqrt[3]{\dfrac{c+2a}{3b}}\leq \sqrt{\dfrac{a+2b}{3c}}+\sqrt{\dfrac{b+2c}{3a}}+\sqrt{\dfrac{c+2a}{3b}}$ 43. $\dfrac{a^3+7}{bc+1}+\dfrac{b^3+7}{ca+1}+\dfrac{c^3+7}{ab+1}\geq 9$ 44. $\max{\{a+b,\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\}}+\max{\{c+d,\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\}}+\min{\{a+b+c+d,\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac {1}{c}+\dfrac{1}{d}\}}\geq 8$ 45. $(a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)\geq (ab+bc+ca)^3$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 31 มกราคม 2009 22:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#124
|
|||
|
|||
44.
จะแบ่งเป็น 4 กรณี i)$a+b\geq\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ และ $c+d\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ จะได้ $a+b+c+d\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ ดังนั้น LHS=$a+b+c+d+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\geq8$ โดย AM-GM ii)$a+b\leq\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ และ $c+d\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ จะได้ $a+b+c+d\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ ดังนั้น LHS=$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+a+b+c+d\geq8$ โดย AM-GM iii)$a+b\geq\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ และ $c+d\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ แบ่งได้ 2 กรณีย่อยดังนี้ ..........iii/1)$a+b+c+d\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ ได้ว่า LHS=$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\geq (\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d)+(c+d+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d})\geq 8$ โดย AM-GM ..........iii/2)$a+b+c+d\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ ได้ว่า LHS=$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d+a+b+c+d\geq (\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d)+(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d)\geq 8$ โดย AM-GM iv)$a+b\leq\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ และ $c+d\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ ทำในทำนองเดียวกับกรณีที่ 3 ดังนั้นได้ว่าอสมการโจทย์เป็นจริง 45. จาก APMO '04 ที่ว่า $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$ (สามารถใช้ AM-GM กับ Schur ในการพิสูจน์อสมการนี้) $\therefore(a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)\geq 9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$ จาก Power Mean ได้ว่า $\sqrt[3]{\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{3}}\geq\dfrac{ab+bc+ca}{3}$ นั่นคือ $9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)\geq (ab+bc+ca)^3$ $\therefore (a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)\geq (ab+bc+ca)^3$
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 01 กุมภาพันธ์ 2009 18:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01 เหตุผล: ทำได้เพิ่ม+พิมพ์ผิด |
#125
|
||||
|
||||
45.
จากอสมการ Holder และ $\sum_c a^2\geq \sum_c ab$ $(a^6+1+1)(1+b^6+1)(1+1+c^6)\geq (a^2+b^2+c^2)^3\geq (ab+bc+ca)^3$ 44. same solution
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#126
|
|||
|
|||
ข้อ 44 ถ้าไม่อยากแยกกรณีให้ใช้เอกลักษณ์ต่อไปนี้ครับ
$\max{\{x,y\}}=\dfrac{x+y+|x-y|}{2}$ $\min{\{x,y\}}=\dfrac{x+y-|x-y|}{2}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#127
|
|||
|
|||
ขอโจทย์แบบโคชีอีกครับ AM-GM ทำไงอะครับหลักการใช้ยังไงครับจะได้ทำไปอีกแบบหนึงด้วยครับ
|
#128
|
||||
|
||||
...เห็นไม่มีคนโพสต่อเลยผมเลยมาโพสวิธีของผมเลยละกัน
ข้อ 42 จาก power-mean เราเหลือที่จะต้องพิสูจน์ว่า $3 \leq \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a+2b}{3c}}$ ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดจากอสมการ AMGM (AMGM ก้อนใหญ่ๆทั้ง 3 ก้อนนั้นเลย) ข้อ 43 จากอสมการ AMGM เราเหลือที่จะต้องพิสูจน์ว่า $(a^3+7)(b^3+7)(c^3+7)\geq 27(ab+1)(bc+1)(ca+1)$ ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $(a^3+7)(b^3+7) \geq 9(ab+1)^2$ ซึ่งจากอสมการโคชีเราได้ว่า $(a^3+7)(b^3+7)\geq (a^\frac{3}{2}b^\frac{3}{2}+7)^2$ ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $a^\frac{3}{2}b^\frac{3}{2}+7\geq 3ab+3 ให้ (ab)^\frac{1}{2}=x$ เราจะต้องพิสูจน์ว่า $x^3+4\geq 3x^2$ ก็ต่อเมื่อ $(x+1)(x-2)^2\geq 0 $จบการพิสูจน์
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 10 กุมภาพันธ์ 2009 20:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer |
#129
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ข้อนี้ผมคิดขึ้นมาโดยใช้อสมการ Nesbitt กับการใช้เงื่อนไขที่ทำให้สมการเป็นจริง จะเห็นว่าสมการเป็นจริงเมื่อ $a=b=c=2$ ดังนั้นเราสามารถใช้อสมการที่มอง $2$ ให้เป็นตัวแปรได้ $bc=\dfrac{2bc}{2}\leq\dfrac{b^3+c^3+2^3}{6}$ ดังนั้น $bc+1\leq \dfrac{b^3+c^3+14}{6}$ ถ้าให้ $x=a^3+7,y=b^3+7,z=c^3+7$ จะได้ $LHS\geq 6\Big(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\Big)\geq 9$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#130
|
||||
|
||||
RJ04
$a,b,c>0$ Prove that $\frac{\sum_{cyc} a^3}{abc}+21\geq \frac{8\sum_{cyc} a}{\sqrt[3]{abc}}$ อยากเห็นวิธีที่ไม่ใช้พวก mvt หรือ majorization อะครับ เพราะผมไม่รู้เรื่อง - -"
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 18 กุมภาพันธ์ 2009 20:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer |
#131
|
|||
|
|||
ยากจริงๆครับ ขนาด Schur ยังเ้อาไม่อยู่เลย
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#132
|
|||
|
|||
ขอโจทย์โคชีอีกครับ
|
#133
|
|||
|
|||
ต่อให้อีกหน่อยละกันครับ
$a,b,c>0$ 46. $a+b+c\leq \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}$ 47. $(a+b)^4\leq (3a^2+b^2)(a^2+3b^2)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#134
|
||||
|
||||
ข้อ 46 ครับ
from cauchy-schwarz i.e. $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}$ $\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$ ปล.โจทย์ในกระทู้นี้ช่วงนี้ยากจังทำไม่ได้เลยครับ
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! |
#135
|
|||
|
|||
47.
จากอสมการโคชี; $(3a^2+b^2)(a^2+3b^2)=(a^2+a^2+a^2+b^2)(a^2+b^2+b^2+b^2)\geq(a^2+ab+ab+b^2)^2=(a+b)^4$
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน |
|
|