โจทย์เรื่องการนับครับ มั่วจิงจิง

[mayalone]

เค้าบอกว่า จัดดอดไม้ 3 ช่อ ใส่แจกัน 5 ใบ ได้กี่วิธี
เมื่อ 1. จะใส่ช่อใดลงในแจกันใบไหนก็ได้
2. จัดทุกช่อใส่แจกันใบเดียวกัน
3. ไม่มีดอกไม้ 3 ช่อใดถูกจัดใส่แจกันใบเดียวกัน
4. แจกันแต่ละใบใส่ดอกไม้ได้ไม่เกิน 1 ช่อ
5. จัด 2 ช่อ ที่กำหนดให้ใส่ในแจกันใบเดียวกัน

ช่วยเฉลย และอธิบายหน่อยนะครับ จะสอบเรื่องนี้แล้ว เพื่อนในห้องมึนกันมากเลย ขอบคุณครับ

[gon]

หวังว่าคงไม่ใช่การบ้านจะส่งวันจันทร์อะไรแบบนี้นะครับ. !

เรื่องนี้ผมจัดให้เป็นเรื่องยากที่สุดของ ม.ปลาย ยากกว่าตรีโกณมิติอีก ความยากอยู่ตรงที่
1. อธิบายให้คนฟังเข้าใจยาก
2. อธิบายให้คนฟังคิดเองได้ยาก
3. ฟังแล้วมึนได้ง่ายๆ ถ้าไม่กระจ่างทุกขั้นตอน
4. ตอบได้ยากว่าที่คิด ถูกหรือผิด ถ้าไม่ชัวร์แบบปึ๊ก

ข้อเสียของคนที่เรียนเรื่องนี้ไม่รู้เรื่องที่มักจะพบก็คือ
1. ไม่กลับไปทบทวนหลักการที่สำคัญให้แม่น
2. ไม่พยายามวาดรูป หรือขี้เกียจวาดรูป
3. ตรรกะบกพร่องแต่ไม่ได้พยายามตามแก้

ทั้งที่จริงแล้วหลักการในเรื่องนี้มีง่ายๆ 2 หลัก คือ การบวก กับ การคูณ

เค้าบอกว่า จัดดอกไม้ 3 ช่อ ใส่แจกัน 5 ใบ ได้กี่วิธีเมื่อ
1. จะใส่ช่อใดลงในแจกันใบไหนก็ได้
2. จัดทุกช่อใส่แจกันใบเดียวกัน
3. ไม่มีดอกไม้ 3 ช่อใดถูกจัดใส่แจกันใบเดียวกัน
4. แจกันแต่ละใบใส่ดอกไม้ได้ไม่เกิน 1 ช่อ
5. จัด 2 ช่อ ที่กำหนดให้ใส่ในแจกันใบเดียวกัน

ถ้าเขียนแค่นี้เริ่มต้นก็กำกวมแล้ว ที่ต้องแยกแยะให้ชัดเจนอย่างแรก ก็คือ เรื่องของเหมือนหรือของต่าง
ต้องตกลงก่อนว่า ดอกไม้แต่ละช่อ ถือว่าเป็นของที่เหมือนกันหรือต่างกัน
ต้องตกลงก่อนว่า แจกันแต่ละใบถือว่าเป็นของที่เหมือนกันหรือต่างกัน

ในที่นี้หากยึดตามหลักสูตรแบบง่ายที่สุด จะถือว่า ดอกไม้แต่ละดอก แจกันแต่ละใบถือว่าต่างกันทั้งสิ้น
จัดดอกไม้ 3 ช่อ ใส่แจกัน 5 ใบ ได้กี่วิธี
1. จะใส่ช่อใดลงในแจกันใบไหนก็ได้
- ใช้หลักการคูณง่ายๆ งานมี 3 ขั้น ขั้นที่ 1 ดอกไม้ดอกแรกเลือกว่าจะใส่แจกันใบใดทำได้ 5 วิธี ดอกอื่นๆก็เช่นกัน ดังนั้นทำได้ 5 x 5 x 5 = 125 วิธี

Note. ปัญหานี้จะเป็นคำถามเดียวกับว่า จะสามารถสร้างฟังก์ชันจากเซต A = {-1, 4, 8} ไปยัง B = {a, 4, 6, -2, 5} ได้ทั้งหมดกี่ฟังก์ชัน

2. จัดทุกช่อใส่แจกันใบเดียวกัน
- ตอบ 5 วิธี คือ เลือกมา 1 ใบว่าจะเอาใบไหนมาใส่

3. ไม่มีดอกไม้ 3 ช่อใดถูกจัดใส่แจกันใบเดียวกัน
ข้อนี้จะคิดได้ง่ายหากมีความเฉลียวใจสักนิด ใช้หลักคอมพลีเมนต์ คือ นำจำนวนการจัดในข้อ 1 หัก ด้วยจำนวนในข้อ 2. ก็จะได้ข้อ 3.
คือ 125 - 5 = 120 วิธี

แต่หากไม่เฉลียวก็คิดตรงๆเป็น 2 กรณีคือ
กรณีที่ 1 : ดอกละใบ : 5 x 4 x 3 = 60
กรณีที่ 2 : 2 ดอก 1 ใบ ส่วนอีก 1 ดอกอยู่อีกใบ [ (3!/2!1!) x 5 x 4 ] = 60
กฏการบวก : 60 + 60 = 120 เช่นกัน

4. แจกันแต่ละใบใส่ดอกไม้ได้ไม่เกิน 1 ช่อ
เหมือนกับข้อ 3 แบบไม่เฉลียวกรณีที่ 1 : 5 x 4 x 3 = 60

5. จัด 2 ช่อ ที่กำหนดให้ใส่ในแจกันใบเดียวกัน
ตอบ 5 x 4 = 20 วิธี
1. เลือกว่าจะเอา 2 ช่อที่กำหนดไปใส่ใบ เลือกได้ 5 วิธี
2. อีก 1 ดอกที่เหลือ เลือกจะเอาไปใส่ใบใดได้ 4 วิธี

[Switchgear]

ผมชอบและเห็นด้วยกับคำแนะนำของคุณ gon มาก
เป็นข้อคิดที่ดีมากในการศึกษา "ศาสตร์แห่งการนับ"