Integrate problem

[Mastermander]

ขอบคุณครับ

[kanji]

Evaluate
$$\frac{1}{\pi\log a}\int_0^{\infty}\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$

[Mastermander]

ขอบคุณครับ

[deathspirit]

ช่วยคิดข้อนี้ให้หน่อยครับ ขอบคุณครับ

\[ \int \frac{dx}{1+sin^{2}x} \]

[M@gpie]

กระทำการดังนี้ครับ \[\int \frac{dx}{ 1 +\sin ^2 x} = \int \frac{\csc ^2 x}{ 1+ \csc ^2 x} = \int \frac{-d(\cot x)}{2+\cot ^2 x}= - \frac{1}{\sqrt{2}} arctan ( \frac{ \cot x}{\sqrt{2}} ) + C \] ได้คำตอบตามต้องการ

[mayalone]

ช่วยคิดหน่อยงับ

จงหาค่าของ $$\int\frac{1}{1+\sin x+\cos x}\,dx$$

[Mastermander]

.

[mayalone]

ช่วยดูหน่อยครับว่า มันมาอย่างไร งง มากเลย

[mayalone]

อีกนิดนะครับ ทำไม $$ \lim_{\theta \to \pi} 2 \arctan \left( \frac{1+x}{1-x} \tan (\theta/2) \right) = \pi $$

[สิริกานต์]

คิดว่าคงต้องใช้ความรู้ในการทำข้อนี้ หลายเรืองเลย เพราะเห็นรูปแบบแล้วแปลกแปลก
สงสัยต้องถามพี่ mastermander แล้วหละ คุณmayalone

[Mastermander]

ข้ออินทิเกรต ลองศึกษาข้อที่ผมเฉลยให้ดูไปแล้วให้เข้าใจ แล้วความเข้าใจในอีกข้อจะตามมาเอง


ส่วนข้อลิมิต
$$ \lim_{x\to\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2} $$

เมื่อ $\theta\to\pi$ ทำให้ $\frac{1+x}{1-x}\tan\frac{\theta}{2}\to\infty$

ดังนั้นคำตอบคือ $ 2(\frac{\pi}{2})=\pi $

[mayalone]

ช่วยหน่อยครับ

[passer-by]

ดูที่Calculus marathon No.35
ซึ่งมีวิธีให้เลือกใช้ 2 แบบครับ

[Mastermander]

$y^2+x^2-16x+15=0$
Evaluate $\int_1^{15} y\,dx$

แบบนี้เอาครึ่งวงหรือเต็มวงครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
$$ \int_0^{\pi/2} e^{\sin x}\ dx $$

มองไปมองมาผมคิดว่าข้อนี้อาจมีคำตอบเป็นรูปง่ายๆก็ได้ แต่พอทำดูก็ไม่ออกจริงๆแหละ ไหนๆก็อุตส่าห์คิดไปแล้ว ขอแปะไว้เป็น record หน่อยนะครับ แม้ผมคิดว่าคงไม่มีใครสนใจหรอก $$ \int_0^{\pi/2} e^{\sin x} \, dx = \int_0^{\pi/2} \sinh(\sin x) \, dx + \int_0^{\pi/2} \cosh(\sin x) \, dx $$ $$\int_0^{\pi/2} \sinh(\sin x) \, dx = 1+ \frac{1}{(1 \cdot 3)^2} + \frac{1}{(1 \cdot 3 \cdot 5)^2} + \frac{1}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7)^2} + \cdots $$ $$ \int_0^{\pi/2} \cosh(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \left( 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{(2\cdot4)^2} + \frac{1}{(2\cdot4\cdot6)^2} + \cdots \right) $$ $$= \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n(n!)^2} = \frac{\pi}{2} I_0(1) $$ เมื่อ $I$ คือ Modified Bessel Function of the First Kind