Integrate problem

[Mastermander]

$$ \int_0^{\pi/2} e^{\sin x}\ dx $$

[passer-by]

$$ e^{\sin(x)}= 1+\sin(x)+\frac{\sin^{2}(x)}{2!}+\frac{\sin^{3}(x)}{3!}+\cdots $$

ไม่แน่ใจว่าข้อนี้มี closed form หรือเปล่า

ถ้าไม่มี ก็ต้องอินทิเกรต ทีละเทอมแล้วล่ะครับ

[warut]

เอามาจากไหนอีกละครับเนี่ย วิชาการ.คอมรึเปล่า สำหรับข้อนี้คงไม่มีคำตอบที่เป็น closed form หรอกครับ

[Mastermander]

ขอบคุณครับ

คือมีน้องมาถามอะครับ แล้วตอบไม่ได้

[warut]

แสดงว่าน้องคนนั้นเค้าคงเห็นน้อง Mastermander กำลังคลั่งไคล้การอินทิเกรตเอามากๆ ก็เลยเอาโจทย์ที่ไม่สามารถแก้ออกมาให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้ มาหลอกให้คิดเล่นซะง้าน

[M@gpie]

น้องคนนั้นเข้าก็ เล่นกันซะหยั่งงั้น ยังมีอีกหลายตัวเลยครับที่หา closed-form ไม่ได้ ตัวที่นิยม
\[ \int \frac{\sin x}{x} dx \]
\[ \int e^{x^2} dx \]
\[ \int e^{\tan x} dx \]
\[ \int \sqrt{\sin x} dx \]

[Mastermander]

Limit problem

$$\lim_{x\to 0}\cot x = ?$$
ผมคิดว่าได้ $\infty$ ใช่รึเปล่าครับ

[M@gpie]

จะตอบว่า \(\infty \) ก็ไม่เชิงผิดครับ เพราะมันก็หาค่าไม่ได้เหมือนกัน
แต่ควร ตอบว่าหาค่าไม่ได้นะครับ ทางซ้ายกับทางขวาไม่เท่ากัน

[warut]

ตามความเห็นของผมนะครับ $$ \lim_{x\to 0^+} \cot x =\infty =+\infty $$ $$ \lim_{x\to 0^-} \cot x =-\infty $$ ดังนั้น $$ \lim_{x\to 0} \cot x $$ หาค่าไม่ได้ครับ

[Mastermander]

Putnam 1991


Let $f(z) = \int_0^z \sqrt{x^4 + (z - z^2)^2}\ dx$. Find the maximum value of f(z) in the range $0\leq z\leq 1$.

ช่วยเฉลยเป็นภาษาไทยหน่อยครับ

[M@gpie]

แปลก่อนนะครับ

ให้ \( f(z) = \int_0^z \sqrt{x^4+(z-z^2)^2} \; dx \; \; \text{จงหาค่ามากที่สุดของฟังก์ชันในช่วง} \; \; 0 \leq z \leq 1\)

โจทย์ผิดรึเปล่าครับ คิดว่ามันแหม่งๆ
ค่าสูงสุดหาได้โดยใช้ ทฤษฏีบทหลักมูลของแคลคูลัสจะได้ว่า \[ \frac{df(z)}{dz} = \sqrt{z^4+(z-z^2)^2} \geq 0 \; , \; \; \forall z \in [0,1] \]
จะได้ว่า \[ \frac{df(z)}{dz} = 0 \; \; at \; z=0 \] แต่ผมหาวิธียังทดสอบว่าเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่ได้ แอ่ว !!

[warut]

จะเห็นว่า $f(z)$ อยู่ในรูป $$\int_0^z g(x,z)\,dx$$ ดังนั้นจึงใช้ ทฤษฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส ในการหา $f'(z)$ ตรงๆไม่ได้ คงต้องใช้ Leibniz's rule for differentiation under the integral sign อันที่คุณ M@gpie เคยคุยกับผมไว้ ที่นี่ หรือ ที่นี่ ครับ

[M@gpie]

อ้อ จริงด้วย กระผมลืมไปซะสนิทเลย ขอบคุณพี่ warut ที่ช่วยเตือนความจำครับ มิน่ามันถึงได้แหม่งๆ

[Mastermander]

$$\int_0^{\pi/2} \sin 2x \ln \tan x \ dx $$

[warut]

ผมไม่ได้ลองคิดดูว่าข้อนี้มีวิธีทำโดยใช้สมมาตรรึเปล่า แต่ที่แน่ๆคือ เราสามารถหาแบบ indefinite integral ได้ครับ โดยให้สังเกตว่า $$ -2 \sin 2x \, dx = d(\cos 2x) $$ และ $$ \tan^2 x = \frac{1- \cos 2x}{1+ \cos 2x} $$