โจทย์ค่าย สพฐ.2554

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ที่ผมสงสัยคือ

เรารู้ว่า วงกลมที่ล้อมรอบ AHOF ตัดเส้น BD แต่ไม่รู้ว่าตัดที่ M หรือเปล่า

ทำนองเดียวกัน วงกลมที่ล้อมรอบ AHOF ตัดเส้น CE แต่ไม่รู้ว่าตัดที่ N หรือเปล่า

$ANOM$แนบในวงกลมครับ เหตุผลเหมือนกับ $AHOF$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

$ANOM$แนบในวงกลมครับ เหตุผลเหมือนกับ $AHOF$

ok ครับ วงกลมทั้งสองวงมี AO เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางร่วมกัน



สามเหลี่ยม AMF เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม AMN (มดม)

AF = MN

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 11 มีจำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโดด 1,2,3,4,...,8 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว

คิดได้หลายวิธี ผมลองใช้ิวิธีฟังก์ชันก่อกำเนิด ดังนี้
จำนวน4หลัก ที่หารด้วย 9 ลงตัวผลบวกของเลขโดดรวมกันต้องหารด้วย 9 ลงตัว ผลบวกสูงสุดคือ 8+8+8+8=32 ดังนั้นจะแบ่งเป็น 3
กรณีคือที่ผลบวกเท่ากับ 9,18,และ 27 ใช้ ฟังก์ชันก่อกำเนิดหา ((x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷+x⁸)⁴ กระจายกันออกมาโดยใช้ binomial expansion
ได้สัมประสิทธิ์ของx ยกกำลัง 9,18,27 = 56,344,56 และ56+344+56=456 เป็นคำตอบ
วิธีทำ
$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)^4=x^4 \frac{(1-x^8)^4}{(1-x)^4}$
$={{x}^{4}}(1-4{{x}^{8}}+6{{x}^{1}}6-4{{x}^{2}}4+{{x}^{3}})\left[ 1+\left( \begin{align}
& 4 \\
& 1 \\
\end{align} \right)x+\left( \begin{align}
& 5 \\
& 2 \\
\end{align} \right){{x}^{2}}+\left( \begin{align}
& 6 \\
& 3 \\
\end{align} \right){{x}^{3}}+\left( \begin{align}
& 7 \\
& 4 \\
\end{align} \right){{x}^{2}}+...+\left( \begin{align}
& k+3 \\
& k \\
\end{align} \right){{x}^{k}}++ \right]$
สัมประสิทธิ์ของพจน์ , , คือจำนวนพจน์ที่มีผลบวกของเลขโดด 4 ตัวเป็น 9,18,และ 27 ซึ่งล้วนหารด้วย 9 ลงตัวดังต่อไปนี้
$\begin{align}
& ={{x}^{4}}(1-4{{x}^{8}}+6{{x}^{16}}-4{{x}^{24}}+{{x}^{32}})\left[ 1+\left( \begin{align}
& 4 \\
& 1 \\
\end{align} \right)x+\left( \begin{align}
& 5 \\
& 2 \\
\end{align} \right){{x}^{2}}+\left( \begin{align}
& 6 \\
& 3 \\
\end{align} \right){{x}^{3}}+\left( \begin{align}
& 7 \\
& 4 \\
\end{align} \right){{x}^{4}}+...+\left( \begin{align}
& k+3 \\
& k \\
\end{align} \right){{x}^{k}}++ \right] \\
& {{x}^{9-4}}={{x}^{5}}:1\left( \begin{align}
& 8 \\
& 5 \\
\end{align} \right)=\frac{8.7.6}{6}=56 \\
& {{x}^{18-4}}={{x}^{14}}:1\left( \begin{align}
& 17 \\
& 14 \\
\end{align} \right)-4\left( \begin{align}
& 9 \\
& 6 \\
\end{align} \right)=\frac{17.16.15}{6}-4\frac{9.8.7}{6}=680-336=344 \\
& {{x}^{27-4}}={{x}^{23}}:1\left( \begin{align}
& 26 \\
& 23 \\
\end{align} \right)-4\left( \begin{align}
& 18 \\
& 15 \\
\end{align} \right)+6\left( \begin{align}
& 10 \\
& 7 \\
\end{align} \right)=\frac{26.25.24}{6}-4\frac{18.17.16}{6}+6\frac{10.9.8}{6}=\frac{26.25.24-4.18.17.16+6.10.9.8}{6}=56 \\
& \\
\end{align}$
ดังนั้นจำนวนพจน์ทั้งหมดที่หารด้วย 9 ลงตัว =$56+344+56=456$
ถ้า คิดโดยใช้วิธี แจกแจง แต่ละกลุ่มย่อยต่างๆของกรณีผลบวกได้ 9,18,27 แต่ละกลุ่มย่อย เอาจำนวนวิธีการจัดเรียงแต่ละกลุ่มย่อยมาบวกกันก็ได้เหมือนกัน
แต่จำนวนกลุ่มมีมากมาย อาจจะแจกแจงได้ไม่ครบทุกกลุ่มย่อย ทำให้คำนวณผิดได้ เช่นกรณี ผลบวกเลขโดดได้9: กลุ่มย่อยต่างๆ และจำนวนวิธีจัดเรียงจะเป็นดังนี้
1116- 4 วิธี, 1125- 12 วิธี, 1134-12 วิธี,1222-4 วิธี,1233-12 วิธี,2223-4 วิธี รวมได้ 56 วิธี
ได้เท่าวิธี ฟังก์ชันก่อกำเนิด แต่กรณี ผลบวกได้ 18 จะมีกลุ่มย่อยมากกว่ากันหลายเท่า ตามจำนวนตัวเลขที่เห็น

[แม่ให้บุญมา]

ได้เห็นของวิธีคิดข้อ 11 ที่ง่ายกว่าของคุณ polsk133
ออกมาในรูป $8^3-8^2+8=456$ และมีแนะไว้ว่าเป็นแบบ
จน.4หลักหาร9ลง=จน.3หลักหาร9ไม่ลง
กับ A=U-A'
มีใครช่วยแสดงให้เห็นชัดเจนด้วยครับ ว่าพจน์ที่ 2 และ 3 ได้มายังไง

[แม่ให้บุญมา]

อยากขอคำแนะนำจากคุณ Banker ว่าใช้ software อะไรวาดรูปประกอบดีครับ เพราะเห็นรูปต่างๆที่วาดออกมาทำได้ดีมาก สื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น
ผมลองใช้ GSP ver 4.06th,และ 5แต่ก็ยังใช้ไม่ค่อยเป็น และรู้สึกว่ายังไม่ค่อยได้ดังใจ พบว่า function ที่่มีให้ มีจำกัดเกินไป เช่น log จะมีให้ก็แต่ ของ ฐาน 10, และ e เท่านั้น ฐานอื่นๆเช่น 3 ไม่มีต้องใช้การแปลงฐานมาช่วย และมี software อะไรอื่นที่เป็นประโยชน์ ก็ช่วยแนะนำด้วยครับ ท่านอื่นๆช่วยเสริมได้ก็ยิ่งดีครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ได้เห็นของวิธีคิดข้อ 11 ที่ง่ายกว่าของคุณ polsk133
ออกมาในรูป $8^3-8^2+8=456$ และมีแนะไว้ว่าเป็นแบบ
จน.4หลักหาร9ลง=จน.3หลักหาร9ไม่ลง
กับ A=U-A'
มีใครช่วยแสดงให้เห็นชัดเจนด้วยครับ ว่าพจน์ที่ 2 และ 3 ได้มายังไง

ให้ $\overline{abcd}$ เป็นจำนวนสี่หลักที่สร้างจากเลขโดด 1, 2, 3, ... , 8

ถ้า $\overline{abc}$ หารด้วย 9 ลงตัว (เศษ 0) จะได้ว่า ไม่สามารถหา d ได้
ถ้า $\overline{abc}$ หารด้วย 9 ไม่ลงตัว (เศษ 1, 2, ... , 8) จะเลือก d ได้ 1 แบบเสมอ

ดังนั้นจำนวนสี่หลัก $\overline{abcd}$ ที่หารด้วย 9 ลงตัว จึงจำนวนเท่ากับจำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ที่หารด้วย 9 ลงไม่ตัว

จำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ที่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว มีทั้งหมด
$8^3 -$ จำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ที่หารด้วย 9 ลงตัว ... (*)

ประยุกต์ในทำนองเดียวกัน
จำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ที่หารด้วย 9 ลงตัว มีทั้งหมดเท่ากับ จำนวนสองหลัก $\overline{ab}$ ที่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว

แต่ว่าจำนวนสองหลัก $\overline{ab}$ ที่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว มีทั้งหมด $8^2- 8$ (18,81,27,72,36,64,45,54)

ดังนั้น จำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ที่หารด้วย 9 ลงตัว มีทั้งหมดเท่ากับ $8^2- 8$ แทนใน (*)จะได้

จำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ที่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว มีทั้งหมด $8^3 - (8^2 - 8) $

ดังนั้น จำนวนสี่หลัก $\overline{abcd}$ ที่หารด้วย 9 ลงตัว มีทั้งหมด $8^3 - 8^2 + 8$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

อยากขอคำแนะนำจากคุณ Banker ว่าใช้ software อะไรวาดรูปประกอบดีครับ เพราะเห็นรูปต่างๆที่วาดออกมาทำได้ดีมาก สื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น
ผมลองใช้ GSP ver 4.06th,และ 5แต่ก็ยังใช้ไม่ค่อยเป็น และรู้สึกว่ายังไม่ค่อยได้ดังใจ พบว่า function ที่่มีให้ มีจำกัดเกินไป เช่น log จะมีให้ก็แต่ ของ ฐาน 10, และ e เท่านั้น ฐานอื่นๆเช่น 3 ไม่มีต้องใช้การแปลงฐานมาช่วย และมี software อะไรอื่นที่เป็นประโยชน์ ก็ช่วยแนะนำด้วยครับ ท่านอื่นๆช่วยเสริมได้ก็ยิ่งดีครับ

แต่เดิมก็ใช้ microsolf paint ตอนหลังเด็กสนใจ GSP ก็เลยลองใช้ดู ไม่รู้ version อะไร ก็ซื้อจาก สสวท นั่นแหละครับ

ถ้าเป็นภาพที่ไม่ต้องการรายละเอียด ก็ใช้ microsolf paint
ถ้าเป็นภาพที่ต้องการรายละเอียด ก็ใช้ GSP
เวลา save ก็ Prt Scr แล้ว paste ใส่ paint มาตกแต่งเพิ่มเติมได้ save เป็น jpg ได้
function อื่น ไม่ทราบมีใน word ไหม ถ้ามี ก็พิมพ์ใน word แล้ว copy มาเพิ่มใน paint ก็ได้

ไม่ทราบตอบคำถามหรือเปล่าครับ


มาเพิ่มเติมครับ

log ฐาน 3 หมายถึง $log_3 \ $หรือเปล่าครับ

ถ้าใช่ ก็ใช้ function $ x_y \ $ใน A ได้ครับ

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณคุณ Gon มากครับ ที่กรุณาช่วยชี้ทาง ให้กับวิธีคิดอีกแบบที่น่าสนใจใน #66 ด้วยการอธิบายโดยละเอียด ถ้าน้อยกว่านี้ผมก็คงไม่เข้าใจ ไม่ทราบเรียกวิธีนี้ว่าอะไรครับ

และขอบคุณ คุณ Banker ที่ให้คำแนะนำเรื่อง program วาดภาพ ผมเห็นวาดออกมาดีมาก นึกว่าใช้โปรแกรมอื่นเสียอีก จริงๆแล้วผมยังใช้ไม่เป็นนั่นเอง ไม่ทราบพอแนะนำคู่มือการใช้ gsp ที่เข้าใจและทำตามได้ง่ายๆบ้างไหมครับ

[banker]

อันนี้พอได้ไหม

http://portal.in.th/kongtong/pages/2371/

http://www3.ipst.ac.th/primary_math/...terial/gsp.asp

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณคุณ Bankerครับมากครับ สำหรับ link ที่แนะมา แต่เทคนิคการใช้โปรแกรมที่แนะนำมาดูจะเป็นประโยชน์ได้มากกว่าครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ขอบคุณคุณ Bankerครับมากครับ สำหรับ link ที่แนะมา แต่เทคนิคการใช้โปรแกรมที่แนะนำมาดูจะเป็นประโยชน์ได้มากกว่าครับ

ยินดีครับ

[แม่ให้บุญมา]

จากโจทย์#66 ที่คุณ Gon กรุณาอธิบายให้เข้าใจ ผมลองเทียบผลการคำนวณกับการใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด ซึ่งดังที่ได้แสดงมา ตามโจทย์เดิม คือ ข้อ 11
จำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโดด 1,2,3,4,...,8 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว
ผลการคำนวณตรงกับวิธีที่ใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด คำตอบคือ $8^8-8^2+8=456$
ตรงกับสัมประสิทธิ์ของ $x^9$, $x^{18}$, และ $x^{27}$ รวมกันคือ $56+344+56=456$
แต่ถ้าเปลี่ยนโจทย์ไปจากเดิมจะได้ไม่ตรงกัน เช่น

กรณีปลี่ยนโจทย์เป็นจำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโดด 1,2,3,4,...,6 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว
คำตอบ =$6^3-6^2+4=36(6-1)+4=184$ (เนื่องจากจำนวน2หลักที่หารด้วย9ลงตัวมี 4 ตัวคือ 36,45,54,63)
แต่ $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^4 $ ได้ $56x^9$,$80x^{18}$ และ $56+80=136$ ซึ่งไม่เท่ากับ 184

และกรณี
จำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโดด 1,2,3,4,...,7 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว
คำตอบ =$7^3-7^2+6=49(7-1)+6=294+6=300$ (เนื่องจากจำนวน2หลักที่หารด้วย9ลงตัวมี 6 ตัวคือ 27,36,45,54,63ุ,72)
ฟังก์ชันก่อกำเนิด: $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4 $ได้พจน์ $56x^9,206x^{18},4x^{27}$ และ $56+206+4=266$ ซึ่งไม่เท่ากับ 300

ช่วยเช็คด้วยครับว่าผมทำผิดตรงไหนทำไมคำตอบทั้งสองวิธีจึึงต่างกัน เมื่อเปลี่ยนโจทย์ไปจากข้อ 11

[polsk133]

ก็อย่างเช่น 11_ เติม 1,2,...,6ก็หารด้วย9 ไม่ลงตัวครับ

ต่างจากโจทย์เดิมซึ่งจะมีเสมอ

[แม่ให้บุญมา]

#73 ต้องอธิบายมากอีกหน่อยครับ ว่าต่างจากโจทย์เดิมอย่างไร แต่คำตอบที่ไ้ด้จากฟังก์ชันก่อกำเนิดจะถูกเสมอใช่ไหมครับ

[polsk133]

ใช่แล้วครับฟังก์ชันก่อกำเนิดจะถูกที่สุด
หลักการของโจทย์เก่าคือ จำนวน n-1 หลักที่หารด้วย9 ไม่ลงตัว จะมี1ตัวที่มาเติมแล้ว 9 หารลงตัวเสมอ

แต่โจทย์ใหม่ที่แต่งมา มีการตัดเลขบางตัวออก ทำให้ไม่เกิดเสมอใล้วต้องลบกรณีที่เกินออก