แนวข้อสอบ A-net

[Pramote]

1.ในการกระจาย(1+x)ⁿ ปรากฏว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่5 พจน์ที่6 พจน์ที่7 เรียงกัน เป็นลำดับเลขคณิต แล้วพจน์กลางในการกระจาย(1+x)ⁿ เมื่อnเป็นจำนวนคู่ มีสัมประสิทธิ์เท่ากับเท่าใด

(ตอบ 10_C5 )


ช่วยเฉลยหน่อยครับหรือแนะวิธีคิด

2.โต๊ะจีนโต๊ะหนึ่งมีเก้าอี้นั่ง 5 ตัว จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนคน 7 คน ซึ่งมีต้อมกับต๋องรวมอยู่ด้วย รอบโต๊ะจีนนี้ โดยต้อมกับต๋องได้นั่งอย่างน้อย1คน และต้อมกับต๋องต้องไม่นั่งติดกัน เท่ากับเท่าใด

(ตอบ 360วิธี)

ช่วยเฉลยหน่อยครับหรือแนะวิธีคิด

[gon]

ข้อแรกมีวิธีคิดอย่างน้อย 2 วิธีครับ.

วิธีแรกก็คือ แข็งใจนั่งเขียน สามเหลี่ยมปาสกาล ก็จะเห็นชัดเจนว่า เมื่อ n = ... กับ n = ... (อันนี้ที่โจทย์ต้องการ) จะเป็น 2 จำนวนแรกที่น้อยที่สุดที่ทำให้เป็นลำดับเลขคณิต เผอิญผมเคยเขียนสามเหลี่ยมปาสกาลเก็บไว้จนถึง n = 29 อยู่แล้ว นั่งมองก็เห็นคำตอบเลย จากที่เท่าที่ดูำคำตอบน่าจะเฉลยผิดนะครับ.

ส่วนอีกวิธีหนึ่งก็สมมติให้ ${n \choose r}, {n \choose r + 1} , {n \choose r + 2}$ เมื่อ $n \ge r + 2, r \ge 0$ เป็น 3 พจน์ที่เป็นลำดับเลขคณิต จากนั้นใช้เงื่อนไข ของลำดับเลขคณิตคือ ถ้า a, b, c เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว b - a = c - b หรือ 2b = a + c จากนั้นจัดรูป จะได้สมการกำลังสองของ n กับ r จากนั้นค่อยๆแทน r = 0, 1, ... ลงไปแล้วแก้สมการกำลังสองของ n ถ้าได้จำนวนเต็มตามที่สอดคล้องเงื่อนไข ก็จะได้ ตามที่ต้องการ

[gon]

ข้อ 2 เราแบ่งเป็น 2 กรณีครับ

กรณีที่ 1 ต้อมหรือต๋อง คนใดคนหนึ่งนั่งคนเดียว

กรณีที่ 2 ต้อมและต๋อง นั่งทั้ง 2 คน

กรณีที่ 1 :
ขั้นที่ 1 : เลือกว่าจะเอาต้อมหรือต๋องนั่ง ทำได้ ... วิธี
ขั้นที่ 2 : เลือก อีก ... คน จาก .... ที่เหลือ เพื่อให้ครบ 5 คน เลือกได้ .... วิธี
ขั้นที่ 3 : จัดคน 5 คน เป็นวงกลม ทำได้ ... วิธี

ดังนั้น โดยหลักการคูณทำได้ .... วิธี

กรณีที่ 2 :
ขั้นที่ 1 : เลือกอีก .... คน จาก ... คน เพื่อให้ครบ 5 คน เลือกได้ .... วิธี
ขั้นที่ 2 : จัด 3 คน ที่ไม่ใช่ต้อมและต๋องเเป็นวงกลม ทำได้ ... วิธี
ขั้นที่ 3 : ให้ต้อมไปนั่งแทรกรูไหนของ 3 คน ก็ได้นั่งได้ ... วิธี
ขั้นที่ 4 : ต๋องนั่งแทรกตรงรูที่ไม่ติดต้อง เลือกได้ ... วิธี

โดยหลักการคูณ ทำได้ ... วิธี

ดังนั้น โดยหลักการบวก ทำได้ทั้งหมด ... + ... = .360 วิธี

[passer-by]

ข้อ 1 ผมคิดว่า n=14 ครับ

[gon]

ข้อนี้แถมให้ครับ.... อย่าิคิดง่ายเกินไปนะครับ...


จากรูปไม่นับส่วนที่แรเงา จะมี
1. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดกี่รูป
2. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดกี่รูป
3. รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดกี่รูป

(ด้านซ้ายมือสุดมีเส้นด้วยนะครับ)

[prachya]

ข้อ 1 เฉลยน่าจะผิดอีกแร้วครับ
จากเฉลย แสดงว่า n = 10
พจน์ที่ 5 กับ 7 คือ $ {10 \choose 4} กับ {10 \choose 6}$ ซึ่งมีค่าเท่ากัน
แสดงว่า 2d = 0 -> d = 0 แสดงว่า ${10 \choose 4} = {10 \choose 5} = {10 \choose 6}$ ซึ่งเป็นเท็จแน่นอนครับ

แต่ผมคิดออกมาได้ n ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วยคับ

Edit : ข้อ 2 พี่กรเฉลยแร้วครับ อิอิ โพสช้าไป

[Pramote]

ขอขอบคุณ พี่passer-by กับพี่Gon ข้อ1.คำตอบผิดจริงครับ ผมก็ทำได้n = 14เหมือนกันครับ แล้วได้คำตอบ 14_{C 7}

สำหรับข้อ2. พี่GONอธิบายได้ดีแล้วครับ แต่ผมก็เติมตัวเลขไม่ได้ครับ กรุณาช่วยเฉลยให้ละเอียดด้วยนะครับ เพราะผมไม่เคยเรียน จะโพสไปให้ลูกสาวครับ

ปล.พี่prachyaเฉลยผมมึนไปหมดเลย!! ที่เกี่ยวกับเรื่องการสับเปลี่ยน

[gon]

ตัวเลขที่เติมในข้อ 2 เป็นดังนี้ครับ.

Answer_Pbr2

กรณีที่ 1 :
ขั้นที่ 1 : เลือกว่าจะเอาต้อมหรือต๋องนั่ง ทำได้ ${2 \choose 1} = 2$ วิธี
ขั้นที่ 2 : เลือก อีก 4 คน จาก 5 ที่เหลือ เพื่อให้ครบ 5 คน เลือกได้ ${5 \choose 4}$ = 5 วิธี
ขั้นที่ 3 : จัดคน 5 คน เป็นวงกลม ทำได้ 4! = 24 วิธี

ดังนั้น โดยหลักการคูณทำได้ (2)(5)(24) = 240 วิธี

กรณีที่ 2 :
ขั้นที่ 1 : เลือกอีก 3 คน จาก 5 คน เพื่อให้ครบ 5 คน เลือกได้ ${5 \choose 3}$ = 10 วิธี
ขั้นที่ 2 : จัด 3 คน ที่ไม่ใช่ต้อมและต๋องเเป็นวงกลม ทำได้ 2! = 2 วิธี
ขั้นที่ 3 : ให้ต้อมไปนั่งแทรกรูไหนของ 3 คน ก็ได้นั่งได้ 3 วิธี
ขั้นที่ 4 : ต๋องนั่งแทรกตรงรูที่ไม่ติดต้อง เลือกได้ 2 วิธี

โดยหลักการคูณ ทำได้ (10)(2)(3)(2) = 120 วิธี

ดังนั้น โดยหลักการบวก ทำได้ทั้งหมด 240 + 120 = 360 วิธี

[Pramote]

ขอขอบคุณ พี่gon ผมเข้าใจดีแล้วครับ! ส่วนข้อที่พี่ถามผมจะคิดให้นะครับ เพราะยังไม่ว่าง

[Ryo - Shi - Ki]

ข้อสองคิดอีกวิธีก็ได้นะ

วิธีทำ

จำนวนวิธีทั้งหมดในการนั่งคือ ⁷C₅x4!
จำนวนวิธีที่ไม่มีทั้ง 2คนนั่งอยู่ด้วยคือ 4!
จำนวนวิธีที่ทั้ง 2 คนนั่งติดกันคือ⁵C₃x3!x2!
ดังนั้น จำนวนวิธีคือ (⁷C₅x4!)-(4!)-(⁵C₃x3!x2!)
= 360