ช่วยทีครับ เรื่อง แฟคทอเรียล เลขยกกำลัง

[tanWoW]

กำหนด $A = (1!)^{2000} + 2(2!)^{2000} + 3(3!)^{2000} + ... + 2000(2000!)^{2000}$ จงหาเศษจากการหาร A ด้วย 7
ขอวิธี ม.ต้น เท่านั้นนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tanWoW

กำหนด $A = (1!)^{2000} + 2(2!)^{2000} + 3(3!)^{2000} + ... + 2000(2000!)^{2000}$ จงหาเศษจากการหาร A ด้วย 7
ขอวิธี ม.ต้น เท่านั้นนะครับ

ตัดให้เหลือแค่ $ (1!)^{2000} + 2(2!)^{2000} + 3(3!)^{2000} + 4(4!)^{2000} + 5(5!)^{2000} + 6(6!)^{2000}$

แล้วยังไงต่อดีนะ

[tanWoW]

ขอบคุณครับ ว่าแต่มีวิธีที่เร็วกว่านี้ไหมอะ หรือมันเกินม.ต้น อย่างตอนเชคเศษ 4! นานเกิน

[artty60]

ผมว่าคงเกินหลักสูตรม.ต้นแล้ว ใช้วิธี modulo หรือ วิธีของ Euclid ผมคิดต่อจากของคุณNooonuii เพราะตั้งแต่ พจน์ที่7จะหาร7ลงตัว

กดเน้นๆ

$$(3^{2})^{1000}\equiv 2^{1000}\equiv 2\, mod7$$

$$2^{2000}=(2^{1000})^2\equiv 4 \,mod7$$

$$5^{2000}=(5^2)^{1000}\equiv 4^{1000}\equiv 2^{2000}\equiv 4\, mod7$$

$(4!)^{2000}=(2^{2000})^2(3^{2000})(2^{2000})=(2^{2000})^3 (3^{2000})$

$(6!)^{2000}=(2^{2000})(3^{2000})(5^{2000})(2^{2000})^2 (3^{2000})(2^{2000})=(2^{2000})^4(3^{2000})^2(5^{2000})$

$$เศษ1+(\frac {2×4}{7}=เศษ1)+(\frac {3×2×4}{7}=เศษ3)+(\frac {4×4^3×2}{7}=เศษ1)+(\frac {5×4×4^3×2}{7}=เศษ5)+(\frac {6×4^4×2^2×4}{7}=เศษ6)$$

$$=\frac {17}{7}$$

$$ดังนั้นคำตอบเศษ=3$$

[cfcadet]

ยากมว้ากๆๆๆๆๆ