เรขาคณิต (การสะท้อน)

[shiro40]

สี่เหลี่ยม ABCD มีความยาว 24 กว้าง 7 โดยด้าน AD มีจุด P แบ่งความกว้างเป็น 3 และ4 และจุด Q R S แบ่ง เส้น AB BC CD ตามลำดับ (ไม่กำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของ Q R S) อยากทราบว่า ความยาวรอบรูปที่ต่ำที่สุดของสี่เหลี่ยม PQRS เป็นเท่าไร

คำตอบคือ 50 อธิบายวิธีคิดให้หน่อยค่ะ

[shiro40]

มีสี่เหลี่ยม ABCD รูปหนึ่ง ยาว 24 กว้าง 7 มีจุด P Q R S อยู่บนด้าน AD AB BC CD ตามลำดับ โดยที่จุด P แบ่ง AD เป็นสองส่วนยาว 3 และ4 ตามลำดับ จงหาความยาวที่สั้นที่สุดของสี่เหลี่ยม PQRS

[shiro40]

ช่วยหน่อยนะคะ ครูที่สอนเขาบอกว่าเป็นโจทย์การสะท้อน แต่แก้ไม่ออกจริงๆ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shiro40

มีสี่เหลี่ยม ABCD รูปหนึ่ง ยาว 24 กว้าง 7 มีจุด P Q R S อยู่บนด้าน AD AB BC CD ตามลำดับ โดยที่จุด P แบ่ง AD เป็นสองส่วนยาว 3 และ4 ตามลำดับ จงหาความยาวที่สั้นที่สุดของสี่เหลี่ยม PQRS

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shiro40

ช่วยหน่อยนะคะ ครูที่สอนเขาบอกว่าเป็นโจทย์การสะท้อน แต่แก้ไม่ออกจริงๆ

แ้ล้วครูไม่ยอมเฉลยหรือไงครับ.



จากรูป
1. สะท้อนจุด P รอบ AB ได้จุด P'
2. สะท้อนจุด S รอบ BC จะได้จุด S'
3. สะท้อน PS รอบ AB จะได้ P'S" จากนั้นสะท้อน S" รอบ AD ได้ S"'

จะเห็นว่า SP + PQ + QR + RS = S"'P' + P'Q + QR + RS'

ซึ่ง S"'P' + P'Q + QR + RS' จะมีค่าน้อยที่สุด เมื่อ S"'P', P'Q, QR, RS' เป็นเส้นตรงเดียวกัน

แสดงว่า รูปสามเหลี่ยม P'S"'T, AP'Q, QBR, CRS' ทั้งสี่จะคล้ายกัน

ดังนั้น $\frac{y}{4} = \frac{x}{3} = \frac{24-x}{w} = \frac{24-y}{7-w}$

แก้สมการจะได้ $x = \frac{72}{7}, y = \frac{96}{7}, w = 4$

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ $SP + PQ + QR + RS = 4\cdot \frac{25}{7} + 3\cdot \frac{25}{7} + 4\cdot \frac{25}{7} + 3\cdot \frac{25}{7} = 50$ เป็นค่าต่ำสุดครับ.

[shiro40]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

แ้ล้วครูไม่ยอมเฉลยหรือไงครับ.

Attachment 16025

จากรูป
1. สะท้อนจุด P รอบ AB ได้จุด P'
2. สะท้อนจุด S รอบ BC จะได้จุด S'
3. สะท้อน PS รอบ AB จะได้ P'S" จากนั้นสะท้อน S" รอบ AD ได้ S"'

จะเห็นว่า SP + PQ + QR + RS = S"'P' + P'Q + QR + RS'

ซึ่ง S"'P' + P'Q + QR + RS' จะมีค่าน้อยที่สุด เมื่อ S"'P', P'Q, QR, RS' เป็นเส้นตรงเดียวกัน

แสดงว่า รูปสามเหลี่ยม P'S"'T, AP'Q, QBR, CRS' ทั้งสี่จะคล้ายกัน

ดังนั้น $\frac{y}{4} = \frac{x}{3} = \frac{24-x}{w} = \frac{24-y}{7-w}$

แก้สมการจะได้ $x = \frac{72}{7}, y = \frac{96}{7}, w = 4$

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ $SP + PQ + QR + RS = 4\cdot \frac{25}{7} + 3\cdot \frac{25}{7} + 4\cdot \frac{25}{7} + 3\cdot \frac{25}{7} = 50$ เป็นค่าต่ำสุดครับ.

เขาบอกให้คิดเองอ่ะค่ะ ขอบคุณนะคะ

[shiro40]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

แ้ล้วครูไม่ยอมเฉลยหรือไงครับ.

Attachment 16025

จากรูป
1. สะท้อนจุด P รอบ AB ได้จุด P'
2. สะท้อนจุด S รอบ BC จะได้จุด S'
3. สะท้อน PS รอบ AB จะได้ P'S" จากนั้นสะท้อน S" รอบ AD ได้ S"'

จะเห็นว่า SP + PQ + QR + RS = S"'P' + P'Q + QR + RS'

ซึ่ง S"'P' + P'Q + QR + RS' จะมีค่าน้อยที่สุด เมื่อ S"'P', P'Q, QR, RS' เป็นเส้นตรงเดียวกัน

แสดงว่า รูปสามเหลี่ยม P'S"'T, AP'Q, QBR, CRS' ทั้งสี่จะคล้ายกัน

ดังนั้น $\frac{y}{4} = \frac{x}{3} = \frac{24-x}{w} = \frac{24-y}{7-w}$

แก้สมการจะได้ $x = \frac{72}{7}, y = \frac{96}{7}, w = 4$

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ $SP + PQ + QR + RS = 4\cdot \frac{25}{7} + 3\cdot \frac{25}{7} + 4\cdot \frac{25}{7} + 3\cdot \frac{25}{7} = 50$ เป็นค่าต่ำสุดครับ.

ช่วยให้ hint แก้สมการด้วยได้ไหมคะ รู้สึกเยอะจนมึนเลยค่ะ

[shiro40]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shiro40

ช่วยให้ hint แก้สมการด้วยได้ไหมคะ รู้สึกเยอะจนมึนเลยค่ะ

ไม่ต้องแล้วนะคะ คิดออกแล้วค่ะ ขอบคุณอีกครั้งนะคะ

[shiro40]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

อ่านความเห็นของ คุณ gon แล้ว ผมคิดว่า น่าจะทำเป็นสูตรสำเร็จได้
พิกัดของสี่เหลี่ยม ABCD
A(0,0) , B(a,0) , C(a,b) , D(0,b)
P(0,c) , Q(e,0) , R(a , b - c) , S(d,b)
โดยที่ a > b และ 0 < c < b

ความยาวเส้นรอบรูปต่ำสุด = 2 [ ( (a^2) + (b^2) )^0.5 ] หน่วย

พิกัดจุด P,Q,R,S ที่ทำให้ความยาวเส้นรอบรูปต่ำสุด
d = [ a(b - c) ]/b
e = a - d
โจทย์ต้องบอกค่า a , b , c มาให้เสมอ

มีสี่เหลี่ยม ABCD รูปหนึ่ง ยาว 24 กว้าง 7 มีจุด P Q R S อยู่บนด้าน AD AB BC CD ตามลำดับ
โดยที่จุด P แบ่ง AD เป็นสองส่วนยาว 3 และ4 ตามลำดับ
จงหาความยาวที่สั้นที่สุดของเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยม PQRS

a = 24 , b = 7 , c = 3
ความยาวที่สั้นที่สุดของเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยม PQRS = 2 [ ((24^2) + (7^2))^0.5 ] = 2 [ 25 ] = 50 หน่วย ตอบ

d = (24(7 - 3))/7 = 96/7
e = 24 - (96/7) = 72/7

ขอบคุณมากนะคะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shiro40

ไม่ต้องแล้วนะคะ คิดออกแล้วค่ะ ขอบคุณอีกครั้งนะคะ

คนที่แก้ไม่ออก ให้แอบกดดูเบา ๆ นะครับ.

Sol

แก้สมการ ไม่มีอะไรในกอไผ่ครับ ที่จริงมันยังมีรูปสามเหลี่ยมคล้ายรูปที่ 5 ซ่อนอยู่ คือรูปใหญ่สุดครับ คือถ้าต่อ S"' ออกไปทาง S" จากนั้นลาก S' มาตั้งฉากกับเส้นที่ต่อ ก็จะเห็นว่า

$y/4 = x/3 = (24-x)/w = (24-y)/(7-w) = 48/14$

[shiro40]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

คนที่แก้ไม่ออก ให้แอบกดดูเบา ๆ นะครับ.

Sol

แก้สมการ ไม่มีอะไรในกอไผ่ครับ ที่จริงมันยังมีรูปสามเหลี่ยมคล้ายรูปที่ 5 ซ่อนอยู่ คือรูปใหญ่สุดครับ คือถ้าต่อ S"' ออกไปทาง S" จากนั้นลาก S' มาตั้งฉากกับเส้นที่ต่อ ก็จะเห็นว่า

$y/4 = x/3 = (24-x)/w = (24-y)/(7-w) = 48/14$

ช่วยอีกสักนิดได้ไหมคะ ตรงพิทากอรัส ทำไมได้ 4*25/7 กับ 3*25/7 คะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shiro40

ช่วยอีกสักนิดได้ไหมคะ ตรงพิทากอรัส ทำไมได้ 4*25/7 กับ 3*25/7 คะ

มันคือการใช้พีทาโกรัส + สามเหลี่ยมคล้ายไงครับ.

sol2

คือเมื่อ S"'S' เป็นเส้นตรงเดียวกัน จะได้ S"'S $= \sqrt{48^2 + 14^2} = \sqrt{2^2(24^2+7^2)} = 50 $

จากนั้นโดยสามเหลี่ยมคล้าย จะได้ว่า S"'P'/ 4 = P'Q/3 = QR/ w = RS'/(7-w) = 50/14 = 25/7

[cfcadet]

ต้องจินตนาการรูปอีกแล้วสิครับเนี่ย

[coke]

ผมยังใส่รูปไม่ได้อ่าคับ แต่วิธีคือ สะท้อนPผ่านCDมาที่$P_1 $จะได้$PP_1$=8 แล้วสะท้อน$P_1$ผ่านBCเปน$P_2$จะได้ $P_1P_2$=24+24=48 แล้วสะท้อน $P_2$ ผ่าน AB เปน $P_3 $
จะได้ $P_2P_3$=2(8+3)=22 ความยาวที่น้อยสุดคือเส้นตรง$ PP_3$ จากพีธากอรัสจะได้ $\sqrt{ (22-8)^2+48^2}$=50 คับ
ขอโทดที่อาจจะอธิบายไม่ค่อยรู้เรื่องคับTT

[cfcadet]

ไม่ง่ายเลยนะครับเนี่ย