ข้อสอบ TMC ครั้งที่ 3 ม.1 ปี 2556

[banker]

N น้อยที่สุดก็ต่อเมื่อเลขโดดแต่ละตัวต้องมากๆ

ถ้า N ประกอบด้วยเลขโดด 9 จำนวน 223 ตัว

จะมีผลบวกเลขโดดเท่ากับ 9 x 223 = 2007

ดังนั้นหลักซ้ายสุดจึงเป็นเลข 6 นั่นคือผลบวกเลขโดดเท่ากับ 2007 + 6 = 2013 จะได้ว่า

$ N = 6$\(\overbrace{999\cdots999}^{223 ตัว}\)


N + 1 เลขซ้ายสุดจึงเป็นเลข 7

ตอบ ข้อ ง.

[กิตติ]

จัดพจน์ให้เป็น
$y^2=\left(\,x(x+3)\right) \left(\,(x+1)(x+2)\right) +1$
$=\left(\,x^2+3x\right) \left(\,x^2+3x+2\right) +1$

ให้ $x^2+3x=A$

$y^2=A(A+2)+1=A^2+2A+1=(A+1)^2$
$y=\pm (A+1)$

$y=x^2+3x+1,y=-(x^2+3x+1)$ เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นตัด $y=-(x^2+3x+1)$ ออกไป พิจารณาแค่ $y=x^2+3x+1$
จะได้ว่าแต่ละค่าของ $x$ ได้ ค่า $y$ ที่ไม่ซ้ำกัน
$x=1,2,3,...,2012,2013$ มีทั้งหมด $2013$ จำนวน จึงได้ต่า $y$ ทั้งหมด $2013$ ค่า

[กิตติ]

$2013=3 \times 11 \times 61 $
ค่า $x$ ที่ทำให้ $\frac{2013}{x} $ เมื่อ $x$ เป็นตัวประกอบของ $2013$
จำนวนเต็มที่เป็นตัวประกอบของ $2013$ เท่ากับ $(1+1)(1+1)(1+1)$
$=2^3=8$

ตอบ 8 จำนวน

[banker]

ก่อนที่ฝ่ายชายจะออกไป มีชาย - หญิง สวมแว่น ไม่สวมแว่น ดังภาพ



ชายที่ออกไป และสวมแว่นตา = $\frac{120}{8} = 15 \ $คน

ชายที่ออกไป และไม่สวมแว่นตา = $ \ n \ $คน

รวมชายที่ออกไป $ \ = n + 15 \ $คน

จำนวนคนที่เหลือในงาน = $ 420 - n -15 = 405 - n \ $คน

เหลือผู้ชายในงานทั้งหมด $ = 84 - n - 15 = 69 - n \ $คน

$ \frac{69 - n}{ 405 - n } \times 100 = 16$

$n = 5 $

ไม่มี choices ให้ตอบ


EDIT

ขออภัย ผมตัดภาพมาไม่ถูก

ข้อ ข $ \ 5 \leqslant n < 10 $

ตอบ ข้อ ข.

[กิตติ]

กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มได้แก่ $-7,-6,-5,...,-1,0,1,2,3,...,7$
กับพิจารณา $y$ เป็นจำนวนเต็มได้แก่ $-7,-6,-5,...,-1,0,1,2,3,...,7$
จะได้ว่ามีคู่อันดับที่เป็นจำนวนเต็มคือ
$x=\pm 1,y=\pm 7$
$x=\pm 5,y=\pm 5$
$x=\pm 7,y=\pm 1$

เมื่อพิจารณาเฉพาะฟากค่า $x$ เป็นจำนวนเต็มมีทั้งหมด $30$ คู่อันดับ
และพิจารณาเฉพาะฟากค่า $y$ เป็นจำนวนเต็มมีทั้งหมด $30$ คู่อันดับ
แต่มีการนับซ้ำในกรณีที่ได้ค่าเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่อีก $12$ คู่อันดับ
ดังนั้นเหลือคู่อันดับเท่ากับ $30+30-12=48$ คู่อันดับ

[กิตติ]

ลุงBankerครับข้อ 22 ในข้อสอบที่ผมมีนั้นเป็น $5 \leqslant n < 10 $
ผมตอบข้อ ข

[banker]

$y^2 = x(x+1)(x+2)(x+3)+1$

$ y^2 = (x^2+3x)(x^2+3x+2)+1$

ให้ $ \ (x^2+3x)= a $

$ y^2 = a(a+2)+1$

$ y^2 = a^2 +2a +1$

$ y^2 = (a+1)^2$

$ y^2 = (x^2+3x+1)^2$

$ y = x^2+3x+1$

$x \ $ที่เป็นจำนวนเต็มบวก มีได้ตั้งแต่ 1 ถึง 2013 ที่ทำให้ y เป็นจำนวนเต็มบวก

$ y \ $จึงมีได้ 2013 จำนวน

ตอบ 2013 จำนวน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ลุงBankerครับข้อ 22 ในข้อสอบที่ผมมีนั้นเป็น $5 \leqslant n < 10 $
ผมตอบข้อ ข

ขอบคุณครับ ผมตัดแต่งภาพมาผิด

แก้ไขแล้วครับ

[กิตติ]

ให้ฟากมุม B แต่ละมุมเล็กแทนด้วย $\angle 1$
ฟากมุม C แต่ละมุมเล็กแทนด้วย $\angle 2$

$78^\circ +3(\angle 1)+3(\angle 2)=180^\circ$
$3(\angle 1)+3(\angle 2)=102^\circ$
$2(\angle 1)+\angle 2+\angle BEC=180^\circ$......(1)
$2(\angle 2)+\angle 1+\angle CFB=180^\circ$.......(2)
(1)+(2)
$3(\angle 1)+3(\angle 2)+\angle BEC+\angle CFB=360^\circ$
$\angle BEC+\angle CFB=258^\circ$

[banker]

$78 + 3a + 3b = 180$

$3a + 3b = 102$.........*

$(x+2a+b) + (y +2b+a) = 180 +180$

$x + y + 3a +3b = 360$

$x+y + 102 = 360$

$x + y = 258$

ตอบ 258 องศา

[กิตติ]

(1) ลองให้ $a=-3$ จะได้ว่า $\left|\,a\right| =3$ ซึ่งไม่เท่ากับ $-3$
(2) $\left|\,a\cdot b\right| = a \cdot b $ ในการทำโจทย์แบบพิจารณาว่าข้อใดถูกหรือผิด วิธีที่ช่วยประหยัดเวลาคือการหาตัวอย่างที่ค้านกับสิ่งที่ถาม จากข้อ (2) หาจำนวนลบสองจำนวนที่ทำให้สิ่งที่ถามไม่เป็นจริงไม่ได้
(3) $\left|\,a+b\right| =\left|\,a\right| +\left|\,b\right| $ ลองให้ $a=-3,b=-2$
$\left|\,-3-2\right|=\left|\,-5\right| =5 $
$\left|\,-3\right|+\left|\,-2\right| =3+2=5 $
(4) $\left|\,a\right| -\left|\,b\right|=a-b$
ลองให้ $a=-3,b=-2$
$\left|\,-3\right| -\left|\,-2\right|=3-2=1 $
$-3-(-2)=-3+2=-1$
$\left|\,a\right| -\left|\,b\right|\not= a-b$

ดังนั้นถูกสองข้อ ตอบ ค

[sahaete]

จากรูปที่ 1 และ 2 จะได้ว่า
$
\bigtriangleup ABQ = \bigtriangleup AMQ\\
\bigtriangleup QFE = \bigtriangleup QFN\\
\bigtriangleup CRB = \bigtriangleup CRM\\
\bigtriangleup RDE = \bigtriangleup RDN\\
\\$
จากรูปที่ 3
$
\bigtriangleup OMQ = \bigtriangleup AMQ = a\\
\bigtriangleup QON = \bigtriangleup QFN = b\\
\bigtriangleup ORM = \bigtriangleup CRM = c\\
\bigtriangleup PRN = \bigtriangleup RDN = d\\
\\
2\left( {a + b + c + d} \right) = 10 \times 10 = 100\\
a + b + c + d = 50
$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$2013=3 \times 11 \times 61 $
ค่า $x$ ที่ทำให้ $\frac{2013}{x} $ เมื่อ $x$ เป็นตัวประกอบของ $2013$
จำนวนเต็มที่เป็นตัวประกอบของ $2013$ เท่ากับ $(1+1)(1+1)(1+1)$
$=2^3=8$

ตอบ 8 จำนวน

น่าจะตอบ 16 จำนวนนะครับ

เต็มบวก 8 จำนวน และ เต็มลบอีก 8 จำนวน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

จากรูปที่ 1 และ 2 จะได้ว่า
$
\bigtriangleup ABQ = \bigtriangleup AMQ\\
\bigtriangleup QFE = \bigtriangleup QFN\\
\bigtriangleup CRB = \bigtriangleup CRM\\
\bigtriangleup RDE = \bigtriangleup RDN\\
\\$
จากรูปที่ 3
$
\bigtriangleup OMQ = \bigtriangleup AMQ = a\\
\bigtriangleup QON = \bigtriangleup QFN = b\\
\bigtriangleup ORM = \bigtriangleup CRM = c\\
\bigtriangleup PRN = \bigtriangleup RDN = d\\
\\
2\left( {a + b + c + d} \right) = 10 \times 10 = 100\\
a + b + c + d = 50
$

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

รู้ได้ไงอ่ะคะ ว่า PNQA เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส