ขอความช่วยเหลือ: Number Theory Project

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
อีกคำถามครับ
นิยามของจำนวน sierpinski number คือ จำนวนเต็มคี่ k ที่ทำให้ k.$2^n$ เป็นจำนวนประกอบ สำหรับทุก nฮ Z ใช่ไหม ครับ

เห็นนิยามแล้วอึ้งครับ

$k\cdot2^n$ มันต้องเป็นจำนวนประกอบอยู่แล้วล่ะครับถ้า $n\ge2$

แล้วถ้า $n\in\mathbb Z$ เวลา $n$ เป็นลบเยอะๆ $k\cdot2^n$ ก็ไม่ใช่จำนวนเต็ม แล้วมันจะเป็นจำนวนประกอบได้ยังไงล่ะครับ

[shinn]

พิมพ์ผิด ครับ 5555+++

นิยามของจำนวน sierpinski number คือ จำนวนเต็มบวกคี่ k ที่ทำให้ k.$2^n$ +1 เป็นจำนวนประกอบ สำหรับทุก nฮ $Z^+$ ใช่ไหม ครับ

แล้วตกลงข้อ 3เป็นไงบ้างครับ
ผิดหมดเลยเหรอครับพี่

[warut]

นิยามโอเคแล้วครับ

สำหรับข้อ 3. เอาเป็นว่าคุณ shin ตอบคำถามอันนี้ก่อนดีกว่านะครับ

ถ้า $p\mid F_5$ และ $32\mid n$, i.e., $n=32t$ ถามว่า $h\cdot2^n+1\equiv\;?\pmod p$

ข้อความเดิมของคุณ warut:
First, try to prove that for each integer $r,\, 1\le r\le31$, the number $2^r+1$ is divisible by some $F_k,\, 0\le k\le4$. Do not use exhaustive calculation; there is a better way.

แล้วอันนี้ทำได้แล้วเหรอครับ ถ้ามั่นใจแล้วว่าทำได้ถูกต้องก็ไม่จำเป็นต้องแปะให้ผมดูหรอกครับ แค่ผมรู้สึกสังหรณ์ใจแปลกๆเท่านั้นเอง

[shinn]

First, try to prove that for each integer r;1ฃrฃ31 , the number $2^r$+1 is divisible by some $F_k$;0ฃkฃ4 . Do not use exhaustive calculation; there is a better way.

พิสูจน์ ให้ r = s.$2^k$ บาง s ที่เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ,0ฃkฃ4
$2^r$+1บ $2^{s.2^k}$+1บ $(-1)^s$ +1 บ 0 (mod $F_k$)

[shinn]

ถ้า p l $F_5$ และ 32 l n , i.e., n=32t ถามว่า h.$2^n$+1 บ ? (modp)

ตอบครับผม

h.$2^n$+1 บ h.$(-1)^t$+1 (mod $F_5$)
บ h.$(-1)^t$+1 (mod p )

ผมยังมองไม่ออกเลยครับว่า จะหา a ตัวไหน ที่ จะทำให้ข้อ 3 เป็นจริง ผมเดาว่านี่ คือ สิ่งที่พี่จะแนะให้ผมหา a ตัวนั้นเจอ !!! ...

[shinn]

ตอนนี้ผมส่งเรื่องไปแล้วครับ สเปเชียล เรื่อง จำนวน sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะ มีอยู่อนันต์

มีสิทธิ์ เปลี่ยนได้ไม่เกินวัน 5 ครับพี่ ผมจะรอดไหมครับ เพราะต้องส่งฉบับ วันที่ 10 มค.ครับ และนำเสนอวันที่ 25 มค. ครับ ตรงกับสอบที่จุฬาฯ ก็อาจจะต้องเสนอก่อนวันที่ 25 อีก ...ผมจะบ้าแล้ว ครับ

[warut]

โอเคครับ แต่ถ้าอยากพิสูจน์แบบไม่ใช้ congruence ก็ทำได้ดังนี้ครับ

เนื่องจาก $s$ เป็นจำนวนคี่ และ $2^r+1=2^{s\cdot2^k}+1=(2^{2^k})^s+1$ จึงหารด้วย $2^{2^k}+1=F_k$ ลงตัว (ตรงนี้เราใช้ความจริงที่ว่า "ถ้า $s$ เป็นจำนวนคี่ แล้ว $x^s+1$ หารด้วย $x+1$ ลงตัวเสมอ" )

จากการทำข้อ 2. เรามาถึงจุดที่ว่าถ้าเราเลือก $h$ ให้มีสมบัติว่า $h\equiv1\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4}$ แล้ว $h\cdot2^n+1$ จะเป็นจำนวนประกอบเสมอถ้า $32\!\not|\,n$ ใช่ไหมครับ ดังนั้นสิ่งที่เราต้องพยายามก็คือ ทำให้ $h\cdot2^n+1$ เป็นจำนวนประกอบเมื่อ $32\mid n$ ด้วย ทีนี้เรารู้แล้วใช่มั้ยครับว่า ถ้า $n=32t$ และ $p\mid F_5$ แล้ว $h\cdot2^n+1\equiv h(-1)^t+1\pmod p$ นั่นคือเราต้องพยายามทำให้ $h(-1)^t+1\equiv0\pmod p$ ใช่เปล่าครับ ดังนั้นเราควรเลือก $h$ อย่างไรดี (ยังไม่ต้องไปสนกับของเดิมที่ว่า $h\equiv1\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4}$ อันนั้นเดี๋ยวเราค่อยเอามาผนวกทีหลังครับ เอาแค่กรณี $32\mid n$ อย่างเดียวก่อน) อย่าลืมว่าเรามี $p$ ให้เลือกใช้อยู่ 2 ตัว ตัวนึงคือ 641 ส่วนอีกตัวคือ $F_5/641$ ลองคิดดูนะครับ ไม่ยากหรอก

ป.ล. ใจเย็นครับ ผมอยู่ทั้งคนต้องรอดแน่ (ถ้าคุณ shin เอาจริงด้วยนะ)

[shinn]

ข้อ 3 ตกลงเราต้องเลือก a หรือ h ครับ ประโยคที่ว่า $ a ฮ Z ," h >1,...

เราต้องเลือก a ที่ใช้ได้กับ ทุก h ใช่ไหม ครับ
หรือ ถ้าเลือก h เราติดเป็นตัวแปรได้ไหม ครับ เช่น $(-1)^t$

[warut]

มันเป็นเรื่องของภาษานะครับ ผมเลือกให้ $x=2$ ถามว่าผมเลือก $x$ หรือผมเลือก 2 อะไรทำนองนั้นแหละครับ เข้าใจบ่

แหม...ผมอุตส่าห์พิมพ์ซะยาว เพื่อให้คุณ shin คิดตามเป็น step แต่ก็เหมือนกันทุกครั้ง คุณ shin กระโดดล้ำหน้าผมไปทุกที ผมยังไม่ได้พูดถึง $a$ ตัวนั้นเลยครับ ก็เลยไม่รู้จะตอบยังไง

ผมไม่ชอบการตีความเป็นสัญลักษณ์แบบนั้นเลยครับ งง คำพูดธรรมดาเข้าใจง่ายกว่าตั้งเยอะ ผมจะพูดอันข้อ 3. เป็นภาษาไทย (ปนอังกฤษ) ให้ฟังละกันนะครับ

"มีจำนวนเต็ม $a$ ที่เมื่อ $h\equiv a\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4F_5}$ และ $h>1$ แล้ว $h\cdot2^n+1$ เป็นจำนวนประกอบสำหรับทุกจำนวนนับ $n$"

เงื่อนไข $h>1$ เป็นเรื่องรายละเอียดที่เพิ่มขึ้นมาเพื่อตัดโอกาสที่ $h\cdot2^n+1$ จะเป็น Fermat prime ในการพิสูจน์ช่วง 2 น่ะครับ มันไม่ใช่แก่นของการพิสูจน์

เลือก $h$ ต้องไม่ติดตัวแปรครับ

[warut]

แนะเพิ่มหน่อยนึงครับ

ถ้าเราเลือกให้ $h\equiv1\pmod{641}$ จะเห็นว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนที่อยู่ในรูป $h\cdot2^{32t}+1$ จะต้องเป็นจำนวนประกอบแน่ๆ (ทำไมมันถึงเป็นจำนวนประกอบ?) ถามว่าเราควรเลือกให้ $h\equiv\;?\pmod{F_5/641}$ ดีถึงจะบีบให้จำนวนที่อยู่ในรูป $h\cdot2^{32t}+1$ ที่เหลืออีกครึ่งหนึ่งเป็นจำนวนประกอบแน่ๆเช่นกัน

[shinn]

ไปภูกระดึงมาครับ เพิ่งกลับมา 7 องศา ครับ หนาวดีๆ เป็นไงบ้างพี่กรุงเทพ วันเคาร์ดาว พี่เคยไปภูกระดึงไหมครับ

[Redhotchillipepper]

7 องศา?? ใช้ไม้โปร หรือ ครึ่งวงกลมวัดครับ แต่ส่วนตัวผมชอบใช้ครึ่งวงกลมมากกว่า

[shinn]

คำถามที่ 1 การพิสูจน์ข้อ 3 เราแยกตามกรณีของ n เหรอครับ
กรณีที่ 1 เมื่อ 32 หาร n ไม่ลงตัว
กรณีที่ 2 เมื่อ 32 หาร n ลงตัว

คำถามที่ 2
ถ้าเราเลือกให้ hบ1(mod641) จะเห็นว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนที่อยู่ในรูป h.$2^{32t}$+1 จะต้องเป็นจำนวนประกอบแน่ๆ (ทำไมมันถึงเป็นจำนวนประกอบ?) คิดไม่ออกเลย ครับว่าทำไม ต้องเป็นจำนวนประกอบ

คำถามที่ 3
ผมเคยถามไว้ว่า
ถ้าผมพิสูจน์ข้อ 3ได้ แล้วต้องทำอะไรต่อไป ครับ ถึงจะสรุปว่า
"มีจำนวนเฉพาะ sierpinski number อยู่อนันต์"

พี่ตอบว่า
"ใช้ Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions "ก็ได้แล้วครับ

ใช้ยังไง ครับ

ปล. เมื่อวานนี้ผมสอบ Ring thm ,เบลอไปหมดแล้วครับ..

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
คำถามที่ 1 การพิสูจน์ข้อ 3 เราแยกตามกรณีของ n เหรอครับ
กรณีที่ 1 เมื่อ 32 หาร n ไม่ลงตัว
กรณีที่ 2 เมื่อ 32 หาร n ลงตัว

มันเริ่มแบบนั้นครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
คำถามที่ 2
ถ้าเราเลือกให้ hบ1(mod641) จะเห็นว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนที่อยู่ในรูป h.$2^{32t}$+1 จะต้องเป็นจำนวนประกอบแน่ๆ (ทำไมมันถึงเป็นจำนวนประกอบ?) คิดไม่ออกเลย ครับว่าทำไม ต้องเป็นจำนวนประกอบ

ถ้า $h\equiv1\pmod{641}$ แล้ว $h\cdot2^{32t}+1 \equiv\;?\pmod{641}$ แล้วเมื่อไหร่มันจะ $\equiv0\pmod{641}$

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
คำถามที่ 3
ผมเคยถามไว้ว่า
ถ้าผมพิสูจน์ข้อ 3ได้ แล้วต้องทำอะไรต่อไป ครับ ถึงจะสรุปว่า
"มีจำนวนเฉพาะ sierpinski number อยู่อนันต์"

พี่ตอบว่า
"ใช้ Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions "ก็ได้แล้วครับ

ใช้ยังไง ครับ

ข้อนี้ถึงเวลาแล้วค่อยตอบดีกว่านะครับ เดี๋ยวสับสน

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
ไปภูกระดึงมาครับ เพิ่งกลับมา 7 องศา ครับ หนาวดีๆ เป็นไงบ้างพี่กรุงเทพ วันเคาร์ดาว พี่เคยไปภูกระดึงไหมครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
ปล. เมื่อวานนี้ผมสอบ Ring thm ,เบลอไปหมดแล้วครับ..

ไปภูกระดึงมาได้เห็นต้นไม้กินแมลงรึเปล่าครับ (จำไม่ได้ว่าเขาเรียกว่าต้นอะไร) ตัวผมยังไม่เคยไปภูกระดึงเลยครับ กลัวหนาว ผมไม่ชอบอากาศหนาวจัด มันรู้สึกเหมือนกำลังจะตาย

คุณ shin ใจถึงดีครับ paper ก็ยังไม่เสร็จ แถมมีสอบอีก แต่ก็ไปเที่ยวปีใหม่ ผมทำอย่างนี้ไม่ได้น่ะครับ เพราะถ้าไปเที่ยวแบบนี้แล้วผมไม่สนุกเลย มีแต่ความกังวล...