พิสูจน์สูตรของผลบวกกำลัง n

[SolitudE]

Sum/difference of two $n^{th}$ powers

The above factorization of differences of powers can be extended to any positive integer power n by use of the geometric series. By noting that

$x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1=\frac{x^n-1}{x-1}$

and multiplying by the (x − 1) factor, the desired result is found. To give the general form as above, we can replace x by a/b and multiply both sides by bn. This gives the general form for the difference of two $n^{th}$ powers as

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^2a^{n-3}+...+b^{n-2}a+b^{n-1})$

The corresponding sum of two nth powers depends on whether n is even or odd. If n is odd, b can be replaced by −b in the above formula, to give

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^2a^{n-3}-...-b^{n-2}a+b^{n-1})$

รู้สึกส่วนหลังนี่มันไม่ชัดเจนในเหตุผลเท่าไร (หรือไม่เข้าใจเอง?)

อยากจะทราบแนวทางพิสูจน์เลย หรือ จะยกบทพิสูจน์มาไว้ให้เลยก็ได้นะครับ

เพราะตอนนี้กำลังทำโครงงานครับ ต้องใช้สูตรนี้ เลยอยากให้มีพิสูจน์ความถูกต้องด้วยครับ

ขอบคุณครับ

[poper]

ก็ชัดเจนดีนะครับ คือเมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่ เราสามารถแปลงได้อีกสูตรนึงโดยแทน $b$ เป็น $-b$ ครับ
แต่ถ้าอยากได้วิธีพิสูจน์ตรงๆก็ทำเหมือนสูตรแรกครับ แต่เปลี่ยนเป็น
$$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...-x+1=\frac{x^n+1}{x+1}$$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่

[SolitudE]

ที่คิดว่าไม่ชัดเจน เพราะไม่คิดว่ามันจะแทนกันได้ตรงขนาดนี้ = =

อยากทราบเพิ่มว่าจะต้องแสดงให้เห็นว่าสูตรนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนคู่?

[poper]

จริงๆแล้วมัมาจากตรงนี้ครับ
$$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...+x-1=\frac{x^{n-1}\bigg(1-(-\frac{1}{x})^n\bigg)}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{x^{n-1}\bigg(1-(-\frac{1}{x})^n\bigg)}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x^n\bigg(1-(-\frac{1}{x})^n\bigg)}{x+1}$$
ดังนั้น
เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคู่
$$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...+x-1=\frac{x^n-1}{x+1}$$
เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่
$$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...-x+1=\frac{x^n+1}{x+1}$$

[SolitudE]

ขอบคุณ คุณ poper ครับ

แต่มาสำรวจเนื้อที่ในโปสเตอร์แล้วเนี่ย คงไม่พอที่จะใส่พิสูจน์ จึงอาจจะตัดไปครับ

แต่อย่างน้อยก็มีความเข้าใจมากขึ้น จะได้อธิบายถูก เมื่อมีคนซักถาม

(โครงงานที่ทำนี่คิดว่าไม่เป็นโครงงานเต็มตัว เพราะไม่มีรูปเล่ม)

[PP_nine]

#4 รู้สึกจะต้องเป็น

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่
$$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...-x+1=\frac{x^n+1}{x+1}$$

อย่างนี้มากกว่านะครับ

[poper]

จริงด้วยครับ
ขอบคุณคุณ PP_nine ครับผม