แนวๆTMO

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1.(APMO) $a,b,c \in R$ จงพิสูจน์ $$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 9(ab+bc+ca)$$
2.จงหาค่าของ $\binom{3n}{0} +\binom{3n}{3} +...+\binom{3n}{3n} $
3.Let$ ABC$ be an acute angled triangle and let H be its orthocenter.Let $h_{max}$ denote the largest altitude of the triangle$ ABC$.
Prove that $AH + BH + CH \leqslant2h_{max}$.
4.ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน และ $AC$ ตัด $BD$ ที่ E แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป ให้ $G_1,G_2$ เป็นจุด centroid ของสามเหลี่ยม $ABE$ และ $CDE$ และ $H_1,H_2$ เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม $ADE$ กับ $BCE$ พิสูจน์ว่า $G_1G_2 \bot H_1H_2$
5.จงหาสี่สิ่งอันดับที่ไม่เป็นลบทั้งหมดที่ทำให้ $7^a=6^b+5^c+4^d$
6.ให้ a,b,c เป็นจำนนวนเต็มที่สอดคล้องสมการ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3 $ จงหา $(a,b,c)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้
7.จงหาค่า $x\in \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=\frac{9}{2}$
8.let$\triangle ABC$,$H$ the Orthocenter and $M$ the midpoint of $AC$. Let $L$ be the line through$M$ Parallel to the bisector of $\angle AHC$. Prove that $L$ divides the triangle in two parts of equal Perimeter.

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

8.let$\Delta ABC$,$H$ the Orthocenter and $M$ the midpoint of $AC$. Let $L$ be the line through$M$ Parallel to the bisector of $\angle AHC$. Prove that $L$ divides the triangle in two parts of equal.
Perimeter.

ลองแสดงให้ได้ว่า $L$ ขนานกับเส้นแบ่งครึ่งมุม $B \hat A C$

[Beatmania]

5.
$I)$ $mod$ $3$ ได้ $b=0$
$II)$ $mod$ $4$ ได้ $d=0$
$III)$ $7^a-7=5^c-5$ ได้ $a=c=1$
สรุป: $(a,b,c,d)=(1,0,1,0)$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

9.กำหนด $M$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า $ABC$ ถ้า $P,Q,R,T,G$ เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม $MBC, MAC, MAB, PQR, ABC$ ตามลำดับ พิสูจน์ $M,T,G collinear$(ขอแบบไม่ใช้Homothety)
10. ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$
และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$
11.จงพิสูจน์ว่าในบรรดาจำนวนเต็มใดๆ52จำนวนจะต้องมี2จำนวนที่ผลต่างกำลังสองของทั้ง2จำนวนหารด้วย100ลงตัว

[Poogunexe]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

9.กำหนด $M$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า $ABC$ ถ้า $P,Q,R,T,G$ เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม $MBC, MAC, MAB, PQR, ABC$ ตามลำดับ พิสูจน์ $M,T,G collinear$(ขอแบบไม่ใช้Homothety)
10. ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$
และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$
11.จงพิสูจน์ว่าในบรรดาจำนวนเต็มใดๆ52จำนวนจะต้องมี2จำนวนที่ผลต่างกำลังสองของทั้ง2จำนวนหารด้วย100ลงตัว

ข้อ 11 ผมลองใช้ mod 100 อะครับ
แล้วใช้ $\left(\,50+a\right)^2\equiv a^2 \left(\,mod 100\right) $
ทำให้เราแบ่งจำนวนออกเป็น 2 ช่วงได้ คือช่วง $a\equiv 0,1,2,...,49 (mod 100 )$ กับ $a\equiv 50,51,52,...,99 (mod 100 )$
แล้วยกกำลังสองทั้งสองช่วง จะได้เศษจากการหารด้วย 100 เท่ากัน จะเป็น
$\left(\,50+a\right)^2-a^2\equiv 0 \left(\,mod 100\right) $
แล้วใช้หลักรังนกพิราบ ได้ รังนก 50 รัง
แสดงว่าต้องมีนกอย่างน้อย 51 ตัวที่ทำให้มีอย่างน้อย 2 ตัวที่ทำให้ผลต่างกำลังสองของทั้งสองจำนวนหารด้วย 100 ลงตัว
และ $51<52$
ผมทำอะไรผิดรึเปล่าครับ ขอคำแนะนำด้วยครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

คุณ นกฟินิกซ์เหินฟ้า เอาโจทย์เรขามาจากไหนหรอครับ โจทย์เจ๋งดีอ่ะครับ ถ้ามีขอลิงค์หน่อยได้ไหมครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

แนวนี้น่าจะมีในหนังสือโลกเรขาคณิตนะครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

5.
$I)$ $mod$ $3$ ได้ $b=0$
$II)$ $mod$ $4$ ได้ $d=0$
$III)$ $7^a-7=5^c-5$ ได้ $a=c=1$
สรุป: $(a,b,c,d)=(1,0,1,0)$

$7^a-7=5^c-5$ จะสรุปยังไงให้ได้ $a=c=1$ ครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

1.The incircle of$ \Delta ABC$ touches$ BC at D,$ and the excircle opposite to $B$ touches $BC$ at $E$. Suppose that $AD=AE$. Prove that$ 2 \angle C-\angle B=180 degrees.$
2.จงหาค่าของ $\binom{3n}{0} +\binom{3n}{3} +...+\binom{3n}{3n} $
3.Let$ ABC$ be an acute angled triangle and let H be its orthocenter.Let $h_{max}$ denote the largest altitude of the triangle$ ABC$.
Prove that $AH + BH + CH \leqslant2h_{max}$.
4.ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน และ $AC$ ตัด $BD$ ที่ E แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป ให้ $G_1,G_2$ เป็นจุด centroid ของสามเหลี่ยม $ABE$ และ $CDE$ และ $H_1,H_2$ เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม $ADE$ กับ $BCE$ พิสูจน์ว่า $G_1G_2 \bot H_1H_2$
5.จงหาสี่สิ่งอันดับที่ไม่เป็นลบทั้งหมดที่ทำให้ $7^a=6^b+5^c+4^d$
6.ให้ a,b,c เป็นจำนนวนเต็มที่สอดคล้องสมการ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3 $ จงหา $(a,b,c)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้
7.จงหาค่า $x\in \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=\frac{9}{2}$
8.let$\Delta ABC$,$H$ the Orthocenter and $M$ the midpoint of $AC$. Let $L$ be the line through$M$ Parallel to the bisector of $\angle AHC$. Prove that $L$ divides the triangle in two parts of equal Perimeter.
9.กำหนด $M$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า $ABC$ ถ้า $P,Q,R,T,G$ เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม $MBC, MAC, MAB, PQR, ABC$ ตามลำดับ พิสูจน์ $M,T,G collinear$(ขอแบบไม่ใช้Homothety)
10. ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$
และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$
11.จงพิสูจน์ว่าในบรรดาจำนวนเต็มใดๆ52จำนวนจะต้องมี2จำนวนที่ผลต่างกำลังสองของทั้ง2จำนวนหารด้วย100ลงตัว

1. งงโจทย์ excircle opposite to $B$ touches $BC$ มันไม่ได้สัมผัสนะ

2.

$= \dfrac{(1+1)^{3n}+(1+cis \dfrac{\pi}{3})^{3n}+(1+cis \dfrac{2\pi}{3})^{3n}}{3}$
$= \dfrac{8^n+2(-1)^n}{3}$

3. พิสูจน์ว่า $AH\cdot BC + BH \cdot CA + CH \cdot AB = 4[ABC]$ ; วาดวงกลมล้อมรอบ
6. AM-GM
7. bound ค่า
9. ถ้า $D,E,F$ เป็นจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามของ $\triangle ABC$ จะเห็นว่า $\triangle PQR$ เกิดจากการย่อ $\triangle DEF$ โดยมีศูนย์กลางเป็น $M$ แล้วก็ค่อยๆไล่สามเหลี่ยมคล้ายเลยครับ
10. $AQ//BC$
11. อีกวิธีนะครับ ลองใช้เอกลักษณ์ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ดู

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อ 10 มันคล้ายกันยังไงอ่ะครับไม่เข้าใจ

แล้วข้อ 6 มัน AM-GM ได้แค่ a=b=c เฉย ๆนะครับ มันมีคำตอบที่ไม่เท่ากันอยู่อีกนะครับ

ข้อ 1 สัมผัสส่วนต่อของ BC ที่ต่อออกไปทางด้าน C ครับ ลากส่วนสูงจากจุด A มา BC ครับ

[polsk133]

#6 น่าจะจาก FFTMO9 มั้งครับ เหมือนกันหลายข้ออยู่อะ

[Thgx0312555]

ข้อ 6 อสมการเป็นสมการ ก็ต่อเมื่อ ...
ข้อ 10 ผมอ่านโจทย์ผิดเอง ขอโทษด้วยครับ ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้ ลองพิสูจน์ว่า $AQ//BC$ ดูครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อ 6

คำตอบนั้นมันก็มีอยู่คำตอบนึงครับ แต่มันมีอีกครับ

$(a,b,c)= (t^2(t+1),-(t+1)^2,-t),(t^2(t-1),-(t-1)^2,-t)$ ครับ

[Thgx0312555]

ที่ผมตอบไปคือคิดแค่ จำนวนเต็มบวก
ถ้าเป็นจำนวนเต็ม คำตอบจะอยู่ในรูป

$(k,k,k),(k\alpha^2 \beta,-k\beta^2(\alpha+\beta),k\alpha (\alpha+\beta)^2)$ เมื่อ $k,\alpha,\beta,\alpha+\beta \not= 0$

วิธีทำทำคล้ายๆ TMO9 ข้อ 12 แล้วก็ต่อไปอีกนิดหน่อย

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ขอบคุณมากครับ ขอทิ้งโจทย์ไว้หน่อยคิดหลายวันแล้ว TT

1. จงหาจำนวนเต็มบวก (a,m,n) ที่ $a^m+1|(a+1)^n$