เราจะหาเลขหลักแรกของแฟคทอเรียลได้อย่างไร

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

เราจะหาเลขหลักแรกหรือสองหลักแรกของแฟคทอเรียลได้อย่างไรครับ

เช่น $8!=40320$ เลขหลักแรกคือ $4$

แล้วถ้า $20!$ เลขหลักแรกคืออะไร

$50!$ เลขสองหลักแรกคืออะไร เราจะมีวิธีการหาอย่างไรครับ

[nooonuii]

ยากครับ ยังคิดไม่ออกว่าจะมีสูตรง่ายๆรึเปล่า รอดูเซียนมาปล่อยของละกัน

[otakung]

สอวน ศูนย์โคราชเคยถามแบบนี้เมื่อปีที่แล้วครับ อยากรู้เหมือนกันว่าทำยังไงที่ไม่ใช่คูณตรง ๆ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ otakung

สอวน ศูนย์โคราชเคยถามแบบนี้เมื่อปีที่แล้วครับ อยากรู้เหมือนกันว่าทำยังไงที่ไม่ใช่คูณตรง ๆ

สวัสดีค่ะ

อันนี้คือหลักแรกที่ไม่ใช่ $0$ นะคะ (นับจากทางขวา)

ซึ่งไม่ใช่หลักแรกตามที่ จขกท เขียนค่ะ (อันนี้นับจากทางซ้าย)

สวัสดีค่ะ

ส่วนวิธีหาหลักแรกที่ จขกท ถามมานั้น ก็ไม่ทราบเหมือนกันค่ะ

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

ผมก็รอเช่นกันครับ แต่ลองคิดดูเเล้วมันยากมากเลยนะครับ
แล้วถ้าเราทำให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ $A\times 10^n$ ได้ก็คงตอบได้เเล้ว
แต่ไม่รู้ว่าจะทำอย่างไร รอครับรอ

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

สวัสดีค่ะ

อันนี้คือหลักแรกที่ไม่ใช่ $0$ นะคะ (นับจากทางขวา)

ซึ่งไม่ใช่หลักแรกตามที่ จขกท เขียนค่ะ (อันนี้นับจากทางซ้าย)

สวัสดีค่ะ

ส่วนวิธีหาหลักแรกที่ จขกท ถามมานั้น ก็ไม่ทราบเหมือนกันค่ะ

เค้าถามหา $a_n$ นี่ครับ ไม่ใช่หลักแรกหรอครับ หรือว่ามีวิธีการหา $k+a_n$ ได้โดยที่ไม่ต้องรู้ $a_n$ แนะนำด้วยครับ

[tngngoapm]

$20!$แยกตัวประกอบได้เป็น $2^{18}\times 3^{8}\times5^{4}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19$
เขียนใหม่ได้เป็น $2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 10^{4}$
เพราะว่า $14\times 14\times 14\times 14<11\times 13\times 17\times 19<15\times 15\times 15\times 15$
$\therefore 2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 14\times 14\times 14\times 14\times 10^{4}<20!<2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 15\times 15\times 15\times 15\times 10^{4}$
.......$2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 14^{4}\times 10^{4}<20!<2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 15^{4}\times 10^{4}$
.......$2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 2^{4}\times 7^{4}\times 10^{4}<20!<2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 3^{4}\times 5^{4}\times 10^{4}$
.......$2^{18}\times 3^{8}\times 7^{6}\times 10^{4}<20!<2^{10}\times 3^{12}\times 7^{2}\times 10^{8}$
........$2^{18}\times 81^{2}\times 49^{3}\times 10^{4}<20!<2^{10}\times 81^{3}\times 49\times 10^{8}$
ประมาณ 81 เป็น 80 , 49 เป็น 50 ........$2^{18}\times 80^{2}\times 50^{3}\times 10^{4}<20!<2^{10}\times 80^{3}\times 50\times 10^{8}$
.......$2^{21}\times 10^{12}<20!<2^{18}\times 10^{13}$
.......$1024\times 2048\times 1000000000000<20!<1024\times 256\times 10000000000000$
.......$2097152000000000000<20!<2621440000000000000$
หลักแรกสุดของ $20!$ จึงเป็น $2$
ลองกดเครื่องคิดเลขได้ $20!=2432902008176640000$ ครับ

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

$20!$แยกตัวประกอบได้เป็น $2^{18}\times 3^{8}\times5^{4}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19$
เขียนใหม่ได้เป็น $2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 10^{4}$
เพราะว่า $14\times 14\times 14\times 14<11\times 13\times 17\times 19<15\times 15\times 15\times 15$
$\therefore 2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 14\times 14\times 14\times 14\times 10^{4}<20!<2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 15\times 15\times 15\times 15\times 10^{4}$
.......$2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 14^{4}\times 10^{4}<20!<2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 15^{4}\times 10^{4}$
.......$2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 2^{4}\times 7^{4}\times 10^{4}<20!<2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 3^{4}\times 5^{4}\times 10^{4}$
.......$2^{18}\times 3^{8}\times 7^{6}\times 10^{4}<20!<2^{10}\times 3^{12}\times 7^{2}\times 10^{8}$
........$2^{18}\times 81^{2}\times 49^{3}\times 10^{4}<20!<2^{10}\times 81^{3}\times 49\times 10^{8}$
ประมาณ 81 เป็น 80 , 49 เป็น 50 ........$2^{18}\times 80^{2}\times 50^{3}\times 10^{4}<20!<2^{10}\times 80^{3}\times 50\times 10^{8}$
.......$2^{21}\times 10^{12}<20!<2^{18}\times 10^{13}$
.......$1024\times 2048\times 1000000000000<20!<1024\times 256\times 10000000000000$
.......$2097152000000000000<20!<2621440000000000000$
หลักแรกสุดของ $20!$ จึงเป็น $2$
ลองกดเครื่องคิดเลขได้ $20!=2432902008176640000$ ครับ

สุดยอดมาก ขอบคุณครับ ผมก็พยายามปัด ๆ ทีละตัวแบบนี้แหละครับ แต่ปัดยังไงช่วงที่ได้มันก็ยังกว้างอยู่ทุกที

ขอถามข้อนึงครับ ตอนปัด 81 เป็น 80 เนี่ยฝั่งขวาค่ามันน้อยลง แล้วก็ตอนปัด 49 เป็น 50 เนี่ย ฝั่งซ้ายมันมากขึ้น จะแน่ใจได้ยังไงครับว่าการปัดแบบนี้ไม่ทำให้ค่าที่ได้ผิดไป (เช่น ค่าฝั่งซ้ายเยอะขึ้นจนมากกว่าค่าที่แท้จริง หรือ ค่าฝั่งขวาน้อยลงจนน้อยกว่าค่าที่แท้จริง) ปกติเวลาผมปัดฝั่งซ้ายผมจะปัดลงตลอดเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ ส่วนฝั่งขวาก็จะปัดขึ้นตลอด ก็เลยทำให้ช่วงมันกว้างตลอด ทำให้ไม่ได้ค่าหลักแรกซะที

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ otakung

สุดยอดมาก ขอบคุณครับ ผมก็พยายามปัด ๆ ทีละตัวแบบนี้แหละครับ แต่ปัดยังไงช่วงที่ได้มันก็ยังกว้างอยู่ทุกที

ขอถามข้อนึงครับ ตอนปัด 81 เป็น 80 เนี่ยฝั่งขวาค่ามันน้อยลง แล้วก็ตอนปัด 49 เป็น 50 เนี่ย ฝั่งซ้ายมันมากขึ้น จะแน่ใจได้ยังไงครับว่าการปัดแบบนี้ไม่ทำให้ค่าที่ได้ผิดไป (เช่น ค่าฝั่งซ้ายเยอะขึ้นจนมากกว่าค่าที่แท้จริง หรือ ค่าฝั่งขวาน้อยลงจนน้อยกว่าค่าที่แท้จริง) ปกติเวลาผมปัดฝั่งซ้ายผมจะปัดลงตลอดเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ ส่วนฝั่งขวาก็จะปัดขึ้นตลอด ก็เลยทำให้ช่วงมันกว้างตลอด ทำให้ไม่ได้ค่าหลักแรกซะที

อันนี้ก็ต้องใช้ศิลปะเข้ามาช่วยด้วยอ่ะครับคุณ otakung ถ้าคิดแบบคณิตศาสตร์เพียวๆอย่างเดียวก็น่าจะยากอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

อันนี้ก็ต้องใช้ศิลปะเข้ามาช่วยด้วยอ่ะครับคุณ otakung ถ้าคิดแบบคณิตศาสตร์เพียวๆอย่างเดียวก็น่าจะยากอ่ะครับ

จริงๆมันไม่ใช่ศิลปะอะไรหรอกครับ มันเป็นคณิตศาสตร์ที่เรามองไม่เห็นมากกว่า

$81^2\cdot 49^3 < 80^2\cdot 50^3$

คือคณิตศาสตร์ที่เรามองไม่เห็นซึ่งพิสูจน์ได้โดยการคูณกระจายออกมาหรือทำแบบนี้

$\left(1+\dfrac{1}{80}\right)^2 < \left(1+\dfrac{1}{49}\right)^3$

ซึ่งเป็นจริงเพราะว่า $\dfrac{2}{80}<\dfrac{3}{49}$ และ $\dfrac{1}{80^2}<\dfrac{3}{49^2}$

[otakung]

ขอบคุณมากครับคุณ tngngoapm และคุณ nooonuii

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

ขอบคุณสำหรับแนวคิดครับ
จากที่ดูๆแล้วเราสามารถหาหลักแรกได้
แต่หลักที่สองมันเป็นอะไรที่ยากมากครับ
ใครพอมีแนวคิดอีกไหมครับ อยากศึกษาวิธีคิดมากครับ

[tngngoapm]

$50!\approx 82^{6} \times 10^{53} $
ถ้าใช้การประมาณนี้เปอร์เซ็นต์ความผิดพลาดจะน้อยกว่า $0.1%$ จึงมีโอกาสมากที่จะประมาณค่าของ$50!$ ได้ $3$หลักแรกถูก
กดเครื่องคิดเลข$82^{6} \times 10^{53} =3.04006671424\times 10^{64} $
ส่วน $50!=3.04140932\times 10^{64} $
ส่วนวิธีคิดคิดอยู่หลายวันเลยครับ

[tngngoapm]

เพิ่มเติมครับ การหา 2 หลักแรกของ $30!$ ถ้าใช้ $82^{3} \times 48\times 10^{25}$ ประมาณ จะได้ 2 หลักแรกเท่ากับ 26 ครับ

[tngngoapm]

รายละเอียดการประมาณค่าเลข3ตัวแรกของ20! โดยไม่ใช้เครื่องคำนวณ
1.แยกตัวประกอบของ$20!=2^{18}\times 3^{8}\times 5^{4}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19$
วิธีในการแยกตัวประกอบคือlistจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ20ได้ $2,3,5,7,11,13,17,19$ ถ้าอยากรู้ว่า20!แยกตัวประกอบได้ 3 ยกกำลังอะไร ให้นำ
....$20\div 3 $ได้ผลหาร 6
....นำผลหาร $6\div 3$ ต่อได้ผลหาร 2
....รวมผลหารเท่ากับ 6+2=8......จึงได้ $3^{8}$ จำนวนเฉพาะอื่นอยากรู้ว่ายกกำลังอะไรก็ทำเหมือนกัน
.................................................................................................................
2.จัดรูปแบบใหม่ให้เป็น $10^{n}$ ได้
$20!=2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 10^{4}$
.................................................................................................................
3.เริ่มขั้นตอนการประมาณค่า
ประมาณค่าขั้นที่1.......ประมาณ$11\times 19=209\approx 210$ จะมีความผิดพลาดประมาณอยู่ที่ $\frac{1}{210}\times 100\approx +0.48$ %
$20!\approx 2^{14}\times 3^{8}\times 7^{2}\times 13\times 17\times (210)\times 10^{4}....210=3\times 7\times 10)$
$20!\approx 2^{14}\times 3^{9}\times 7^{3}\times 13\times 17\times 10^{5}$......ค่าความผิดพลาดรวมประมาณ $+0.48$%
ประมาณค่าขั้นที่2........ประมาณ$13\times 17=221\approx 225$ จะมีความผิดพลาดประมาณอยู่ที่ $\frac{4}{220}\times 100\approx +1.82$ %
$20!\approx 2^{14}\times 3^{9}\times 7^{3}\times (225)\times 10^{5}......225=3^{2}\times 5^{2}$
$20!\approx 2^{14}\times 3^{11}\times 5^{2}\times 7^{3}\times 10^{5}$
$20!\approx 2^{12}\times 3^{11}\times 7^{3}\times 10^{7}$........ค่าความผิดพลาดรวมประมาณ $+0.48+1.82=+2.3$%
ประมาณค่าขั้นที่3........ประมาณ$3^{4}=81\approx 80$ จะมีความผิดพลาดประมาณอยู่ที่ $\frac{1}{80}\times 100\approx -1.25$ %
$20!\approx 2^{12}\times 3^{11}\times 7^{3}\times 10^{7}$
$20!\approx 2^{12}\times 81^{2}\times3^{3}\times 7^{3}\times 10^{7}$
$20!\approx 2^{12}\times 80^{2}\times3^{3}\times 7^{3}\times 10^{7}......80=2^{3}\times 10$
$20!\approx 2^{18}\times 3^{3}\times 7^{3}\times 10^{9}$.......ค่าความผิดพลาดรวมประมาณ $+2.3-(1.25)(2)=-0.2$%
ประมาณค่าขั้นที่4........ประมาณ$2^{12}=4096\approx 4100$ จะมีความผิดพลาดประมาณอยู่ที่ $\frac{4}{4100}\times 100\approx +0.1$ %
$20!\approx (2^{12})\times 2^{6}\times 3^{3}\times 7^{3}\times 10^{9}$
$20!\approx (4100)\times 2^{6}\times 3^{3}\times 7^{3}\times 10^{9}$
$20!\approx 41\times 4^{3}\times 3^{3}\times 7^{3}\times 10^{11}$
$20!\approx 41\times84^{3}\times 10^{11}$.......ค่าความผิดพลาดรวมประมาณ $-0.2+0.1=-0.1$%
..................................................................................................
4.สรุปผลได้ว่า $20!\approx 41\times84^{3}\times 10^{11}\approx 24300864\times 10^{11}\approx 2.4300864\times 10^{18}$......ค่าความผิดพลาดประมาณ $-0.1$%
หมายความว่าค่าประมาณที่ได้น้อยกว่าค่าจริงอยู่ 0.1% ....ซึ่งเพียงพอที่จะบอกได้ว่าเลข3ตัวแรกของ20!เป็น243