Inequality problems for Beginner

[RoSe-JoKer]

เอาโจทย์ที่คิดว่าไม่ยากมากและก็ไม่ง่ายมากสำหรับเด็ก สอวน. มาให้สนุกกันครับ...
1.
Let $a,b,c$ be side lengths of a triangle and $a+b+c=3$ find the minimum value of
$a^2+b^2+c^2+\frac{4abc}{3}$
2.
$a,b,c>0$ such that $a+b+c=1$ show that
$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)$
3.
$a,b,c>0$ and $\sum_{cyc} \frac{1}{a+b+1}\geq 1$ show that
$a+b+c\geq ab+bc+ca$
4.
$a,b,c>0$ and $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ show that
$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$
5.
$a,b,c>0$ and $ab+bc+ca=3$ show that
$\sum_{cyc} \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$
6.
$a,b,c>0$ and $a+b+c=1$ show that
$\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}$
7.
$a,b,c>0$ and $ab+bc+ca=1$ show that
$\sum_{cyc} \sqrt{a^3+a}\geq 2\sqrt{a+b+c}$

Credit: MO2007+MO2008 ...หนังสือที่ทุกคนก็คงมี
หวังว่าคงจะชอบกันนะครับ

[-SIL-]

ขอบคุณสำหรับกระทู้มากๆเลยครับ
แต่คาดว่าอีกซักพักถึงจะได้ร่วมสนุกด้วยครับ (จะสอบมิดเทอมแล้ว)

[owlpenguin]

สมัยนี้ คนในค่ายสอวน.ทำโจทย์อสมการแบบนี้กันแล้วเหรอครับ?
สมัยผมยังไม่ขนาดนี้เลย หรือว่าตอนนั้นผมไม่รู้เรื่องเสียเองว่าคนอื่นๆเขาทำโจทย์กันแบบนี้แล้ว...
สู้ๆแล้วกันครับ ขอนั่งดูเฉยๆดีกว่า แหะๆ

[หยินหยาง]

#3
พอดีคนคั้งกระทู้เค้าเป็นคนออกข้อสอบมั้ง เลยตั้งซะ... เมื่อมีคนขอนั่งดูแล้ว ก็เหลืออีก 2 ที่ซินะ งั้นขอนอนดูด้วยครับ (อีกทีใครสนใจจะยืนดูก็เชิญครับ)

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

สมัยนี้ คนในค่ายสอวน.ทำโจทย์อสมการแบบนี้กันแล้วเหรอครับ?
สมัยผมยังไม่ขนาดนี้เลย หรือว่าตอนนั้นผมไม่รู้เรื่องเสียเองว่าคนอื่นๆเขาทำโจทย์กันแบบนี้แล้ว...
สู้ๆแล้วกันครับ ขอนั่งดูเฉยๆดีกว่า แหะๆ

ก็เข้าพร้อมผมนั้นแหละครับ...ถ้าคิดว่ายากไปสำหรับเด็กใหม่เดี๋ยวผมหาอันง่ายกว่านี้มาให้...แต่คุณ owlpenguin ไม่ต้องทำก็ได้ ผมคิดว่าน่าจะทำมากันหมดแล้วนะ = =
แต่ผมว่าโจทย์ระดับแค่นี้น่าจะทำกันได้แ้ล้วนะครับสำหรับเด็กสอวนทั้งหลาย ยิ่งถ้ารู้จักอสมการ schur แล้วด้วยนิยิ่งต้องทำได้แน่ๆครับ อ่านๆไว้บ้างก็ีดีศึกษา shortlist ปีที่แล้ว ก็เห็นมีข้อใช้ schur แล้วด้วย...อสมการเป็นวิชาที่สนุกนะครับ ผมเองก็อยากให้ทุกๆคนมีความสุขกับวิชานี้
ขอให้โชคดี

[owlpenguin]

เปล่าครับๆ ผมไม่ทราบจริงๆ บางทีตอนผมเข้าค่าย ผมอาจจะไปอยู่หลังเขาพอดี 555 ไม่ก็ผมลืมไปจริงๆแล้วว่าในค่ายเขาทำโจทย์แบบนี้กันจริงๆ - -" ถ้าทำให้คนอื่นอ่านแล้วรู้สึกไขว้เขว ก็ขอโทษมาที่นี้แล้วกันครับ เอาเป็นว่าโจทย์ก็ดีแล้วแหละครับ ฝึกทำๆกันไว้ก็ดีครับ
ป.ล.คนอื่นๆจะงงที่ผมพูดไหมล่ะเนี่ย

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เอาโจทย์ที่คิดว่าไม่ยากมากและก็ไม่ง่ายมากสำหรับเด็ก สอวน. มาให้สนุกกันครับ...

4.
$a,b,c>0$ and $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ show that
$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

Credit: MO2007+MO2008 ...หนังสือที่ทุกคนก็คงมี
หวังว่าคงจะชอบกันนะครับ

กลับมาค้นกระทู้เก่าๆดูเลยมาเห็น ยังไม่มีใครทำเลยงั้นผมขอข้อง่ายก่อนแล้วกันนะครับ
โดย AM-HM จะได้
$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\geq \frac{3}{a+b+c}----(1)$
โดย AM-GM จะได้ว่า
$\sum_{cyc}(ab)^2\geq abc(a+b+c)\leftrightarrow (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)\leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{3abc}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\leftrightarrow \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca} $
จาก $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
จะได้ว่า $\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{abc}$
$\therefore \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\geq \frac{1}{abc}----(2)$
$(1)+(2)\times 2$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$
แต่ $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
ดังนั้น $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$ ตามต้องการ

ปล ผมมีข้อสงสัยอยู่ครับว่า $\sum_{cyc}(a^3c^2)\geq\sum_{cyc}a^3bc$ ทำไมถึง Weight AM-GM ไม่ออกอ่ะครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ปล ผมมีข้อสงสัยอยู่ครับว่า $\sum_{cyc}(a^3c^2)\geq\sum_{cyc}a^3bc$ ทำไมถึง Weight AM-GM ไม่ออกอ่ะครับ

$a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\geqslant a^3bc+b^3ca+c^3ab$

ถ้าหมายถึงประโยคนี้ ก็ไม่จริงครับ

[LightLucifer]

งั้นผมก็เข้าใจผิดมาตลอดเลยสิครับเนี่ย
ที่ว่าฝั่งที่แต่ละพจน์มีตัวที่เหมือนกันมากกว่าจะมากกว่าเสมอ
ถ้าอย่างนั้นก็ขอบคุณครับที่ช่วยบอกให้ทราบ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

งั้นผมก็เข้าใจผิดมาตลอดเลยสิครับเนี่ย
ที่ว่าฝั่งที่แต่ละพจน์มีตัวที่เหมือนกันมากกว่าจะมากกว่าเสมอ
ถ้าอย่างนั้นก็ขอบคุณครับที่ช่วยบอกให้ทราบ

ไม่แน่ใจว่าเข้าใจผิดหรือเปล่านะครับ แต่จะเพิ่มเติมให้

$a^3b^2+a^2b^3+b^3c^2+b^2c^3+c^3a^2+c^2a^3\geqslant 2a^3bc+2b^3ca+2c^3ab$

[LightLucifer]

ต้องเป็น Sym หรอกหรอครับเนี่ย
แต่ทำไมบางอันมันแค่ Cyclic ก็พอหล่ะครับเช่น
$\sum_{cyc}a^5c^2\geqslant \sum_{cyc}a^4bc^2$

[Amankris]

#11 ครับ

ก็เป็นแค่กรณีไปไงครับ

[nooonuii]

อสมการของ Muirhead ต้องเป็น symmetric sum ถึงจะจริงครับ

ส่วน cyclic sum ผมก็มีสูตรอยู่ว่าเมื่อไหร่จะใช้ Weighted AM-GM พิสูจน์ได้

แต่ใช้ยากเพราะต้องเช็คเงื่อนไขจาก determinant ของ matrix สามตัวแน่ะ

[Amankris]

โจทย์ชุดนี้ ค่อนข้างน่าสนใจนะครับ

[RoSe-JoKer]

จริงๆลองสมมุติว่าตัวแปรค่าหนึ่งเข้าใกล้ศูนย์ดูหรือลองสมมุติว่ามีสองตัวแปรมีค่าเท่ากันก็จะพอคาดเดาได้แล้วว่าจริงหรือไม่จริงครับ (ในหลายกรณี)