Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 18 กุมภาพันธ์ 2015, 09:37
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default Inequality

Prove that $$\sum_{cyc} a\sqrt{b^2-bc+c^2} \le a^2+b^2+c^2 $$
$a,b,c \ge 0$
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 18 กุมภาพันธ์ 2015, 09:46
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อันนี้วิธีผมนะครับ ถึกมาก มีใครทำได้สั้นกว่าบ้างครับ

ยกกำลังสองสองข้าง แล้วจะได้อสมการ

$$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geqslant \sum_{cyc} 2ab\sqrt{(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)}$$

พิจารณา

$$\sum_{cyc} 2ab\sqrt{(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)} \le \sum_{cyc}ab\bigg(a^2+b^2+2c^2-c(a+b)\bigg) \\ =\sum_{cyc}ab(a^2+b^2)$$ AM-GM
ดังนั้น

$$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge \sum_{cyc} ab(a^2+b^2)$$

ซึ่งเป็นจริงตาม Fourth Degree Schur's Inequality
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

18 กุมภาพันธ์ 2015 09:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 18 กุมภาพันธ์ 2015, 15:46
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ข้อนี้มีคนโพสต์แล้วนิครับ วิธีทำก็ยกกำลังสองเหมือนกัน

ผมพยายามหาวิธีทำที่ไม่ต้องยกกำลังสอง แค่ bound จากก้อนๆรูทนั้นเลย

คือหา $k$ ให้ไปชนกับ $k(ab+bc+ca) \leq a^2+b^2+c^2$

ซึ่ง $k$ ต้องเป็น $1$ หรือน้อยกว่าถึงจะสรุปได้จากวิธีนี้จริงมั้ย

แต่ผม bound ออกมาได้ sharp สุดแค่ $k$ เป็น $\sqrt{2}$ เท่านั้นเอง

เพราะงั้นผมค่อนข้างมั่นใจว่าไม่น่าจะหลีกเลี่ยงการยกกำลังสองได้

อีกอย่าง solution ที่ทำๆกันมาก็ไม่ได้น่าเกลียดอะไรด้วยครับ สวยดีด้วยซ้ำ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 20 มีนาคม 2015, 16:47
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

มีอีกวิธีนึงที่น่าจะเป็นไปได้คือใช้ jensen ผมขอตั้งต้นไว้ก่อนแล้วรบกวนช่วยพิสูจน์ต่อด้วยก็แล้วกันครับ
ให้ $f(x)=\sqrt{x}$ จากการ diff จะได้ว่า $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ และ $f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$ ดังนั้น $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มและเป็นฟังก์ชันเว้าทุกค่า $x > 0$
เนื่องจากอสมการเป็นเอกพันธุ์ จึงสมมุติให้ $a+b+c=1$
โดยการใช้อสมการ jensen จะได้ว่า
$$\sum_{cyc} a\sqrt{b^2-bc+c^2} \le \sqrt{ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a-3abc} $$
ทำให้อสมการที่ต้องการพิสูจน์กลายเป็น
$$\sqrt{ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a-3abc}\le a^2+b^2+c^2$$
เมื่อ $a+b+c=1$
รบกวนพิสูจน์ต่อด้วยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 21 มีนาคม 2015, 00:57
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ผมลองคิดดูแล้วนะ

อสมการสุดท้ายจริงครับ เป็น 4th degree Schur

ดังนี้ $\sum a^4+\sum a^2bc \geq \sum a^3b+\sum ab^3$

มันมาจาก $\sqrt{a+b+c}\sqrt{ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a-3abc}\le a^2+b^2+c^2$

ยกกำลังสองแล้วกระจาย จะได้เหมือนอสมการบนสุดเป๊ะๆ

ต่อให้มีเงื่อนไขของ nomalize แถมมาด้วย การพิสูจน์ให้ไปชน $a^2+b^2+c^2$ ก็ยังยากอยู่

ยิ่งอสมการอยู่ใน form ที่โดนทอนดีกรีลงด้วยแล้ว (สังเกตฝั่งซ้ายดูดีๆ)

มันอาจจะยิ่งทำให้ดูยากขึ้นด้วยจริงไหมครับ

เพราะงั้นผมเลยปรับมันกลับไปเป็นดีกรี 4 เหมือนเดิมดีกว่า

ประเด็นคือ ปรับไปเป็นดีกรี 4 แล้ว มันเป็นอสมการเดียวกันกับคุณเจ้าของกระทู้

หมายความว่าอสมการ Jensen ที่คุณทำมา ให้ค่า bound เดียวกันเป๊ะๆ

ในขณะที่ต้องใช้เครื่องมือ และขั้นตอนในการคำนวณมากกว่า

ต้องมีแสดงค่าอนุพันธ์ bound Jensen และเจอพีชคณิตก้อนใหญ่ๆ

สู้เรามายกกำลังสองเสียตั้งแต่แรกก็ลดความยุ่งยากเชิงพีชคณิตได้ระดับนึงแล้วครับ

ปล. ผมยังงงอยู่นะว่าอสมการแรกสุด bound จาก Jensen มาได้ยังไง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 21 มีนาคม 2015, 10:31
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ถ้า $f$ เป็น concave function และ $a+b+c=1$ แล้ว

$\quad\quad\quad af(x)+bf(y)+cf(z)\leq f(ax+by+cz)$

นี่คือเหตุผลหนึ่งรึเปล่าที่ต้องทำ normalization
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
inequality Influenza_Mathematics อสมการ 7 11 ธันวาคม 2010 21:43
inequality Wings_Evolution ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 13 26 พฤศจิกายน 2010 22:33
Inequality with a+b+c=2 James007 อสมการ 8 17 มีนาคม 2010 00:44
Inequality putmusic อสมการ 4 06 ตุลาคม 2008 19:32
โจทย์ Inequality devilzoa อสมการ 18 09 มีนาคม 2007 05:35

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:33


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha