รบกวนช่วยหน่อยค่ะ เรื่องกรุปย่อย

[baidut]

1.ให้ (G,o ) เป็นกรุป และ a เป็นสมาชิกของ G โดยที่ N(a)={a เป็นสมาชิกของ G โดยที่ xoa=aox} จงแสดงว่า N(a) เป็นกรุปย่อยของ G ภายใต้การดำเนินการทวิภาค o (เรียก G ว่า นอร์มัลไลเซอร์ของ a ใน G)
2. ให้ (G,o ) เป็นกรุป และ Cเป็นสับเซต G โดยที่ C={c เป็นสมาชิกของ G โดยที่ cox=xoc สำหรับทุกๆ x ใน G} จงแสดงว่า C เป็นกรุปย่อยของ G และ C เป็นกรุปสลับที่ (เรียก C ว่าเซนเตอร์ของ G)

[kongp]

เบื้องต้น น่าจะพิจารณาระบบจำนวน 1 , 2 , 3 , ..., N ให้เป็นสมาชิกของเซตในโจทย์ข้างบน
การยกตัวอย่าง เป็นวิธีหนึ่งครับในการแก้โจทย์ Normalizer น่าจะคล้ายๆ กับอินเวิรดส์ ทำให้ขนาดมาตรฐาน

[Pitchayut]

1. การแสดงว่า $(N(a),\circ)$ เป็น group ต้องแสดงว่ามีสมบัติปิด, ถ่ายทอด (ไม่ต้องแสดงเพราะไม่เปลี่ยนตัวดำเนินการ), มีเอกลักษณ์, มี Inverse

เริ่มจากการแสดงว่ามีสมบัติปิด ให้ $x,y\in N(a)$ จะได้ $(x\circ y)\circ a=(x\circ a)\circ y=(a\circ x)\circ y=a\circ (x\circ y)$

นั่นคือ $(N(a),\circ)$ มีสมบัติปิด

ต่อไปให้ $e$ เป็นเอกลักษณ์ของ $(G,\circ)$ จะได้ $a\circ e=e\circ a=a$ นั่นคือ $e\in N(a)$

สุดท้าย ให้ $x\in N(a)$ จะได้ $x\circ (x^{-1}\circ a)=(x\circ x^{-1})\circ a=a$

และ $x\circ(a\circ x^{-1})=(x\circ a)\circ x^{-1}=(a\circ x)\circ x^{-1}=a\circ (x\circ x^{-1})=a$

ดังนั้น $x\circ (x^{-1}\circ a)=x\circ(a\circ x^{-1})$

นั่นคือ $x^{-1}\circ (x\circ (x^{-1}\circ a))=x^{-1}\circ (x\circ(a\circ x^{-1}))$

ทำให้ $(x^{-1}\circ x)\circ (x^{-1}\circ a)=(x^{-1}\circ x)\circ (a\circ x^{-1})$

ซึ่งทำให้ $(x^{-1}\circ a)=(a\circ x^{-1})$ นั่นคือ $x^{-1}\in N(a)$ ตามต้องการ