Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > Calculus and Analysis
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 10 มกราคม 2016, 22:16
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default Real Analysis I

ไม่ทราบว่าพิสูจน์เเบบนี้จะโอเครึเปล่าครับ รบกวนผู้รู้ด้วยนะครับ

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $S,T$ เป็นเซตที่มีขอบเขต เเล้วจะได้ว่า $\sup(S\cup T)=\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\} $

Solution

$Let$ $a\in S\cup T$ $we$ $have$ $a\in S$ $or$ $a\in T$ $.if$ $a\in S$ $then$ $a \le \sup(S)$ $and$ $if$ $a\in T$ $then$ $a\le \sup(T)$

$Hence,$ $a\le \max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\} $ $So$ $\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$ $is$ $the$ $upper$ $boundary$ $of$ $S\cup T.$

$Let$ $p$ $be$ $another$ $upper$ $boundary$ $of$ $S\cup T$ $such$ $that$ $p<\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$

$because$ $p$ $is$ $the$ $upper$ $boundary.$ $Thus,$ $p\ge \sup(S)$ $and$ $p\ge \sup(T)$ $which$ $implies$

$\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}> p\ge \max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$ $contradiction.$ $So$ $\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}=\sup(S\cup T)$
__________________
Vouloir c'est pouvoir

10 มกราคม 2016 22:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 04 สิงหาคม 2016, 05:55
XIIIX XIIIX ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กุมภาพันธ์ 2014
ข้อความ: 50
XIIIX is on a distinguished road
Default

ก็โอเคนะครับ แต่ขอแนะนำตรงการเขียนนิดหน่อย 1) upper boundary เขาไม่เรียกกันครับ เขาเรียก upper bondเฉยๆ
2) "the" upper bond ใช้ไม่ได้นะครับ ถ้าเราไม่ได้มีupper bondตัวเดียว! ต้องเปลี่ยนเป็น an ครับ อาจจะดูไม่สำคัญ แต่มันทำให้ความหมายเปลี่ยนไปซึ่งการเขียนพิสูจน์ที่ดีไม่ควรทำ the ใช้ได้กับ supremum ครับ เพราะเราได้พิสูจน์มาแล้วว่า supremum ของแต่ละเซตนั้น unique
__________________
Mathematics, rightly viewed possesses not only truth, but supreme beauty. B.R.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 19 กันยายน 2016, 22:59
SOS_math's Avatar
SOS_math SOS_math ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 กันยายน 2003
ข้อความ: 70
SOS_math is on a distinguished road
Default

First, we note that all the terms $\sup(S)$, $\sup(T)$ and $\sup(S\cup T)$ exist. We now divide the proof into two parts.

Part 1: We show that $\sup(S)\le\sup(S\cup T)$ and $\sup(T)\le\sup(S\cup T)$. (Hence $\max\{\sup(S),\sup(T)\}\le\sup(S\cup T)$.)

Since $S\subset S\cup T$, we have $\sup(S\cup T)$ is an upper bound of $S$. Since $\sup(S)$ is the least upper bound of $S$, we have $\sup(S)\le\sup(S\cup T)$. Similarly, we can prove that $\sup(T)\le\sup(S\cup T)$.

Part 2: We show that $\sup(S\cup T)\le\max\{\sup(S),\sup(T)\}$.

To prove this statement, we show that $\max\{\sup(S),\sup(T)\}$ is an upper bound of $S\cup T$. Let $x\in S\cup T$. This implies that $x\in S$ or $x\in T$. If $x\in S$, then $x\le\sup S\le \max\{\sup(S),\sup(T)\}$. If $x\in T$, then $x\le\sup T\le \max\{\sup(S),\sup(T)\}$. Since $\sup(S\cup T)$ is the least upper bound of $S\cup T$, we have $\sup(S\cup T)\le\max\{\sup(S),\sup(T)\}$.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 08 ธันวาคม 2016, 21:12
kongp kongp ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 พฤษภาคม 2006
ข้อความ: 1,127
kongp is on a distinguished road
Default

สมัยผมเรียน ก็ต้องยกเซตจำนวนเต็ม ใช้ทดสอบเนื้อหาที่อ่านว่าเป็นจริงไหม
มีคนเอาไปใช้กับพวกโรบอทด้วย เช่น เซตของจำนวนนับ ใช้แทนมุม 0-360 องศา ก็จำกัดโดเมนไป ก็ได้ครับ

เพื่อคำนวนค่า E พลังงานที่ใช้ไป เป็นต้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Real Analysis analysisway ฟรีสไตล์ 5 12 มีนาคม 2014 01:06
ด่วน!! จ้างติวเตอร์สอนเกี่ยวกับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เรื่อง Real Analysis sompower Calculus and Analysis 1 20 เมษายน 2012 02:12
ข้อสอบ Real analysis ทำไม่ออกครับ Chronon Calculus and Analysis 5 18 เมษายน 2011 22:19
หนังสือ real analysis mandog Calculus and Analysis 5 18 สิงหาคม 2010 14:10
REAL ANALYSIS เบื้องต้น ช่วยหน่อยค่ะ rinso คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 4 14 ธันวาคม 2009 23:59

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:58


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha