หนังสือ "หลักการพิสูจน์เรขาคณิต" โดยอดีตอาจารย์ รร.เตรียมอุดมศึกษา

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เห็นด้วยอย่างมากครับ เพราะหนังสือเฉลยที่เห็นอยู่ในปัจจุบันก็ทำกันสไตล์นี้
คือ ขอให้มีโจทย์เยอะเข้าไว้ และแสดงแนวคิดให้สั้น(จนเกินไป)
โดยเฉพาะเล่มที่หนา 800 กว่าหน้า ถ้าลองอ่านดีๆจะเห็นว่าลอกเล่มอื่นหลายๆเล่มมารวมกันครับ

[Switchgear]

... เนื้อหาต่อจากความเห็น #15

2. ยึดผลเป็นหลัก กล่าวคือ รวบรวมเอาทฤษฎีบทที่มีผลเหมือนกัน แต่มีเหตุต่างๆ กัน มารวมกันไว้ เช่น

ก. มีผล (คือสิ่งที่จะต้องพิสูจน์) สามเหลี่ยมเท่ากันสนิท (Tangent) ก็ควรคิดย้อนถึงเหตุที่สืบเนื่องมาจาก
I $\;\;\quad$ 2 ด้านเท่ากัน มุมในระหว่างด้านเท่า เท่ากัน (ท.บ. 4)
II $\;\quad$ 3 ด้านเท่ากัน (ท.บ. 7)
III $\quad$ 2 มุมเท่ากัน 1 ด้านเท่ากัน (ท.บ. 17)
IV $\quad$ มุมฉากเท่ากัน ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน และอีกด้านหนึ่งเท่ากัน (ท.บ. 18)

ข. มีผล มุมเท่ากัน ควรคิดย้อนถึงเหตุอันจะมาได้จาก
I $\;\;\quad$ ด้านตรงข้ามเท่ากัน เมื่อเป็นสามเหลี่ยมรูปเดียว (ท.บ. 5)
II $\;\quad$ สามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันสนิท (เมื่อเป็นสามเหลี่ยม 2 รูปตาม ท.บ. 4, 7, 17, 18)
III $\quad$ เป็นมุมแย้งกัน หรือเป็นมุมภายนอกกับมุมภายในข้างเดียวกัน เมื่อมีเส้นขวางตัดเส้นขนาน (ท.บ. 14)
IV $\quad$ เป็นมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ท.บ. 21)
V $\;\quad$ เป็นมุมในเซกเมนต์เดียวกัน (ท.บ. 39)
VI $\quad$ เป็นมุมที่เกิดจากคอร์ดที่ลากไปจากจุดสัมผัส (ท.บ. 49)

หมายเหตุ เรื่องมีผลเหมือนกันนี้จะอธิบายเพิ่มเติมจากที่กล่าวมานี้ เมื่อพิสูจน์ตัวอย่างต่างๆ

-------------------------------

อ่านเนื้อหาตอนต่อไปที่ความเห็น #19 ครับ ...

[Keehlzver]

ขอบคุณมากครับ

(เเล้วผมจะรออ่านที่เหลือนะครับ )

[Switchgear]

... เนื้อหาต่อจากความเห็น #17

3. เรื่องมากน้อยกว่ากัน รวบรวมทฤษฎีบทที่กล่าวถึงเรื่องการมากน้อยกว่ากันมาไว้ด้วยกัน เช่น
I $\;\;\quad$ มุมภายนอกของสามเหลี่ยม โตกว่ามุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด (ท.บ. 8)
II $\;\quad$ มุมตรงข้ามด้านยาวของสามเหลี่ยม ย่อมใหญ่กว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่สั้น (ท.บ. 9)
III $\quad$ ด้านตรงข้ามมุมใหญ่ของรูปสามเหลี่ยม ย่อมยาวกว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมเล็ก (ท.บ. 10)
IV $\quad$ ด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยม รวมกันย่อมยาวกว่าด้านที่ 3 (ท.บ. 11)
V $\;\quad$ เส้นตั้งฉากเป็นเส้นที่สั้นที่สุด (ท.บ. 12)
VI $\quad$ ด้าน 2 ด้านของสามเหลี่ยม 2 รูปเท่ากัน และมุมในระหว่างด้านเท่าของรูปหนึ่งใหญ่กว่ามุมของอีกรูปหนึ่ง
$\qquad\;$ ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ ย่อมยาวกว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมเล็ก (ท.บ. 19)
VII $\;\;$ คอร์ดที่ยาวย่อมอยู่ใกล้จุดศูนย์กลางกว่าคอร์ดที่สั้น และคอร์ดที่ใกล้จุดศูนย์กลางย่อมยาวกว่าคอร์ดที่อยู่
$\qquad\;$ ห่างจุดศูนย์กลางออกไป (ท.บ. 35 พร้อมบทกลับ)
VIII $\;$ เส้นที่ลากจากจุดภายในของวงกลมไปยังเส้นรอบวง เส้นที่ยาวที่สุดคือเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง
$\qquad\;$ ส่วนเส้นที่สั้นที่สุดคือเส้นที่ต่อแล้วจึงผ่านจุดศูนย์กลาง และเส้นที่กางมุมที่จุดศูนย์กลางได้ใหญ่กว่า
$\qquad\;$ ก็ยาวกว่าเส้นที่กางมุมได้เล็ก (ท.บ. 36)
IX $\quad$ เส้นที่ลากจากจุดภายนอกของวงกลมไปยังเส้นรอบวง เส้นที่ยาวที่สุดคือเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง
$\qquad\;$ ส่วนเส้นที่สั้นที่สุดคือเส้นที่ต่อแล้วจึงผ่านจุดศูนย์กลาง และเส้นที่กางมุมที่จุดศูนย์กลางได้มุมใหญ่กว่า
$\qquad\;$ ย่อมยาวกว่าเส้นที่กางมุมเล็ก (ท.บ. 37)

หมายเหตุ เรื่องมากน้อยกว่ากันนี้ ช่วยเหลือในการคิดเรื่อง Maxima และ Minima (บรรดาขั้นสูง ขั้นต่ำ) มาก

-------------------------------

โปรดติดตามเนื้อหาตอนต่อไปเกี่ยวกับ "การย่อเรขาคณิต" ในความเห็น #25 ครับ ...

[Switchgear]

เอาตัวอย่างของบทที่ 1 (หลักการคิดด้าน 2 ด้านเท่ากัน) มาโพสต์ให้ฝึกคิดล่วงหน้าก่อน ลองดูว่าตอนที่ยังไม่มีคำแนะนำนั้น
ตัวเราเองคิดแล้วติดขัดหรือไม่ จากนั้นค่อยมาดูกันว่าคำแนะนำของบทที่ 1 จะช่วยอะไรเราได้บ้างหรือเปล่า ?

ตัวอย่างที่ 1 วงกลม 2 วงตัดกันที่ P, Q มีเส้นสัมผัส 2 เส้น มาสัมผัสวงกลมทั้ง 2 ที่ P และไปพบกับเส้นรอบวงของ
วงกลมทั้ง 2 ที่ M, N ลาก MN ตัดเส้นรอบวงของวงกลมทั้ง 2 ที่จุด X, Y จงพิสูจน์ว่า PX = PY

ตัวอย่างที่ 2 PM, PN เป็นคอร์ด 2 คอร์ด ถ้า A, B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้งเล็ก PM, PN แล้วลาก AB ตัด PM
ที่จุด C ตัด PN ที่ D จงพิสูจน์ว่า PC = PD
(เดิมผมพิมพ์โจทย์ผิดว่า A, B เป็นจุดศูนย์กลาง ขอแก้ไขเป็นจุดกึ่งกลางแทน)

ตัวอย่างที่ 3 O เป็นจุดออร์ธอเซนเตอร์ (Orthocentre) ของรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งบรรจุอยู่ในวงกลม ถ้าลากเส้น
จาก A ให้ผ่านจุดศูนย์กลางไปพบเส้นรอบวงที่ K จงพิสูจน์ว่า OC = BK

ตัวอย่างที่ 4 วงกลม 2 วงตัดกัน มีเส้นตรงลากผ่านจุดตัดไปจดเส้นรอบวงของวงกลมทั้งสอง ถ้าเส้นตรงคู่นี้ขนานกัน
เส้นปิดหัวท้ายข้างเดียวกันของเส้นขนานคู่นี้ย่อมเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 5 ในรูป (ก) PQR, MNQ และ MYR เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า จงพิสูจน์ว่า PN = MY (ดูไฟล์รูปที่แนบมา)

ตัวอย่างที่ 6 เส้นที่ปิดหัวท้ายของคอร์ดที่ขนานกันในวงกลม จะปิดข้างเดียวกันหรือปิดคนละข้างก็ตาม ย่อมเท่ากันเสมอ

ตัวอย่างที่ 7 PM เป็นคอร์ดที่ลากไปจากจุดสัมผัส P เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง PM ไปตั้งฉาก
กับคอร์ด PM กับไปตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวงซึ่งสัมผัสวงกลมที่ P ย่อมเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 8 ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมี ABC, ADC เป็นมุมฉาก และ AB = AD ตัด AB, AC ที่จุด P, Q และ
ทำให้ AP + AQ = AB + AD จงพิสูจน์ว่า PC = QC

ตัวอย่างที่ 9 ABC เป็นสามเหลี่ยมที่บรรจุอยู่ในวงกลม AD, BE, CF ตั้งฉากกับ BC, CA, AB ที่จุด D, E, F ตามลำดับ
และตัดกันที่ O ถ้าต่อ OD ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด M จงพิสูจน์ว่า OB = BM

ตัวอย่างที่ 10 วงกลม 2 วงเท่ากัน ตัดกันที่ A, B ลาก PQ ตั้งฉากกับ AB ที่จุด O ไปพบเส้นรอบวงที่ M, N
และที่ P, Q จงพิสูจน์ว่า MB = NB

ตัวอย่างที่ 11 วงกลมสองวงสัมผัสกันอย่างภายนอกที่ A มี PQ และ XY เป็นเส้นสัมผัสร่วมตรง สัมผัสวงกลมที่ P, Q
และ X, Y ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งสัมผัสวงกลมที่ A ไปพบ PQ ที่ M และ XY ที่ N จงพิสูจน์ว่า PM = YN

ตัวอย่างที่ 12 O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม POM = 108 องศา, MON = 60 องศา และ NOR = 36 องศา
จงพิสูจน์ว่า PM = MN + NR

ตัวอย่างที่ 13 จงพิสูจน์ว่าผลบวกของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดใดจุดหนึ่งบนฐาน ไปยังด้านที่เท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
เท่ากับเส้นตั้งฉากที่ลากจากมุมที่ฐานไปตั้งฉากกับด้านตรงข้าม

ตัวอย่างที่ 14 ผลบวกของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดภายในของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ไปตั้งฉากกับด้านทั้งสาม
ของรูปสามเหลี่ยม ย่อมเท่ากับเส้นตั้งฉากที่ลากจากมุมยอดมุมใดมุมหนึ่ง ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้าม

ตัวอย่างที่ 15 ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลาก PQ ผ่าน D ไปตัด AB, BC ที่ต่อออกไปที่ P, Q
จงพิสูจน์ว่า 1/AB = 1/PB + 1/BQ

ตัวอย่างที่ 16 ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุอยู่ในวงกลม M เป็นจุดๆ หนึ่งอยู่บนส่วนโค้ง BC
จงพิสูจน์ว่า MA = MB + MC

ตัวอย่างบทที่ 1 มีอยู่ 16 ตัวอย่างครบถ้วนแล้วครับ ตอนนี้ใครคิดวิธีไหนได้ ก็โพสต์กันได้เลยนะครับ
แล้วค่อยมาดูเฉลยกัน หลังจากอธิบายเนื้อหาคำแนะนำของบทที่ 1 แล้ว

รูปประกอบข้างล่างนี้ ใช้สำหรับตัวอย่างที่ 5 ครับ!

[-Math-Sci-]

ขอบคุณที่แนะนำครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ลองโพสข้อ2 มาร่วมด้วยข่วยกันครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ลองโพสข้อ2 มาร่วมด้วยข่วยกันครับ

ผมว่าข้อ 2 ถ้าตามโจทย์ A, B เป็นจุดศูนย์กลางไม่ใช่หรือครับ ไม่ใช่เป็นจุดอยู่บนเส้นรอบวงนะครับ

[Puriwatt]

ผมไม่ได้เข้ามาดูหลายวัน มาพบกระทู้นี้ค่อยหายเพลียหน่อย
คุณเล็ก Switchgear นี่ไฟแรงสมเป็นมนุษย์ไฟฟ้าจริงๆ
ขอคาราวะน้ำ spirit สักหนึ่งจอกครับ

แถมเนื้อเพลงเก่าๆซึ้งๆ มาให้ดูเล่นด้วย เผื่อจะจดจำตอนเด็กๆได้
ผลงาน ความดี ที่มีประจักษ์
จงร่วมรัก-ษาไว้ อย่าให้สูญ
เร่งทำ กรรมดี เพื่อกูล
จักส่งหนุน ให้เด่นงาม พระนามจุฬาฯ

[Switchgear]

... เนื้อหาต่อจากความเห็น #19

ใครเคยรู้จักคำว่า "การย่อเรขาคณิต" มาก่อนบ้าง ??? ผมก็เพิ่งอ่านเจอในหนังสือเล่มนี้ ซึ่งตามเนื้อหาที่เขียนไว้
บ่งบอกว่าเป็นแนวคิดของผู้แต่งหนังสือเอง ลองมาดูกันครับว่าจะย่อเรขาคณิตได้อย่างไร ?


การย่อเรขาคณิต

ตามธรรมดานักเรียนมักดูเรขาคณิตเต็มเรื่องเสมอ ซึ่งเป็นการดีเมื่อนักเรียนมีเวลามากๆ หากนักเรียนมีเวลาน้อย
ควรจะย่อไว้ดูด้วย (แต่ถ้าดูย่อไม่รู้เรื่องก็ต้องดูเต็มเรื่อง) ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการย่อที่ได้คิดขึ้น หวังว่าคงจะ
เป็นประโยชน์แก่นักเรียนและครูผู้สอนบ้าง การย่อควรเขียนไว้ทางช่องซ้ายมือ ดังจะเห็นตามตัวอย่างที่จะ
กล่าวต่อไปทุกๆ ตัวอย่าง

1. สร้าง มีสร้างอะไรไว้หรือเปล่า สร้างแล้วได้ประโยชน์อะไร เช่น ลากเส้นขนานได้มุมแย้งเท่ากัน ฯ

2. จุดสำคัญ หรือเรียกว่าจุดอ่อนแอของโจทย์ที่เราจะโจมตี อยู่ตรงไหน เช่นพิสูจน์มุมนั้นเท่ากับมุมนี้ก่อน ฯ

3. ใช้ทฤษฎีบท หรือ บทสร้าง ใดบ้าง เช่น ท.บ.14, ท.บ.60 ฯ

4. ข้อควรระวัง หรือสิ่งที่หลอกลวงให้เราหลงอยู่ตรงไหน เช่น เขาบอกหลายเหลี่ยม เราทำเป็นสามเหลี่ยม ฯ

5. เคยติดตรงไหน คือเมื่อเวลาดูแล้วทำไม่ได้ ไปติดตอนไหน เช่น ติดตอนลืมพิสูจน์วงกลมล้อม ฯ

หมายเหตุ ในข้อหนึ่งๆ ไม่จำเป็นที่จะต้องมีเรื่องราวที่จะย่อทั้ง 5 ข้อ อาจจะมีเพียงบางข้อก็ได้ แต่ข้อ 2 กับข้อ 3
ควรมีเสมอ และเวลาทำสอบไม่ต้องเขียนย่อลงไปด้วย

-------------------------------

โปรดติดตามเนื้อหาตอนต่อไปเกี่ยวกับ "การเขียนรูป" ครับ!

แต่ก่อนจบความเห็นนี้ มาดูรูปประกอบของตัวอย่างที่ 12 เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายเรื่อง "การย่อเรขาคณิต" มากขึ้น
พร้อมทั้งจะได้เห็นรูปแบบการเฉลยทั้งแบบเต็มและแบบย่อของตัวอย่างแต่ละข้อในหนังสือเล่มนี้ด้วย โดยตัวอย่าง
ทั้งเล่มก็จะเฉลยทั้งแบบเต็มและแบบย่อทำนองเดียวกันนี้ ... ดูแล้วเพื่อนชาว MC เริ่มชอบหนังสือเล่มนี้หรือยัง ?
.

[Switchgear]

... เนื้อหาต่อจากความเห็น #25

เพื่อนชาว MC เคยอ่านเจอหนังสือเรขาคณิตกี่เล่มครับ ที่ให้คำแนะนำเกี่ยวกับ "การเขียนรูป" ไว้ในหนังสือด้วย ???
ผมคิดว่านี่คือสิ่งสำคัญที่ควรมี แต่มักจะไม่พบอยู่ในหนังสือเรขาคณิตที่หาซื้อได้ในท้องตลาดทุกวันนี้

มาดูกันครับว่า หนังสือเล่มนี้ให้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์ไว้อย่างไร ? (หรืออาจไม่เป็นประโยชน์สำหรับบางคน ???)

-------------------------------------------------

การเขียนรูป

การเขียนรูปให้ถูกต้อง ก็เป็นส่วนหนึ่งที่จะช่วยให้การคิดเรขาคณิตสะดวกเข้า และรวดเร็วขึ้น ดังนั้นจึงควรคำนึงถึง
หลักต่อไปนี้เข้ามาประกอบด้วย

1. ต้องเขียนรูปให้ ตรงตามโจทย์ (คืออย่าไปแถมนั่นแถมนี่) เช่น โจทย์บอกว่าวงกลม 2 วงตัดกัน ก็อย่าเขียนให้
วงกลมนั้นเท่ากัน หรือบอกว่า AB, AC เป็นคอร์ด 2 คอร์ดก็อย่าเขียนให้ AB = AC หรือบอกว่าสามเหลี่ยม ABC
เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ไม่ควรเขียนให้เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า หรือบอกว่า R เป็นจุดๆ หนึ่งบน BC ก็ไม่ควรให้เป็น
จุดกึ่งกลาง ฯลฯ

2. อย่าเขียนรูปทำให้ คิดยาก เช่น เส้นขนานกันอยู่เกือบจะชิดกัน หรือมุมเล็กนิดเดียว หรือให้เส้นตรงไปรวมกันอยู่
จนยุ่งเหยิง (ถ้าไม่จำเป็น) ฯลฯ

3. ควรใช้ดินสอสีช่วย แยกความยุ่ง ของรูปออกบ้าง แต่การใช้ต้องมี ความหมาย เช่น แสดงการเท่ากัน, แสดงการ
ขนานกัน, แสดงการตั้งฉากกัน, แสดงให้เด่นขึ้นมา ฯลฯ ถ้าเส้นตรงยังไม่ต่อเป็นเส้นตรงอันเดียวกัน ก็ควรใช้คนละสี
เพื่อไม่ให้หลงคิดว่าเป็นเส้นตรงเส้นเดียวกันแล้ว แต่ไม่ใช่ใช้เพื่อความสวยงาม หรือใช้เลอะไปหมดอย่างไม่มีความหมาย

4. ตามธรรมดาเรามักเขียนรูปตามที่โจทย์กำหนดให้ (เขียนตามเหตุ) แล้วจะเกิดผลตามที่ต้องการเอง แต่ถ้าเขียน
ตาม เหตุยาก แล้ว เราควรดูก่อนว่าเกิดผลอย่างไร (คือเขาให้พิสูจน์อย่างไร) ถ้าผลนั้นเขียนง่ายกว่า เราก็เขียนให้
ตรงตามผล นั้น แล้วเหตุจะถูกต้องตามมาเอง เช่น โจทย์บอกว่า "สามเหลี่ยมสองรูปมีด้านสมนัยได้สัดส่วนกัน ก็ย่อมมี
มุมเท่ากัน 3 มุม มุมต่อมุม" จะเห็นว่าเขียนด้านสมนัยให้เป็นสัดส่วนนั้นยาก สู้เขียนให้มุมเท่ากันจะง่ายกว่า

ระวัง! เมื่อเขียนตามผลแล้วต้องได้ เหตุตรง จึงจะใช้ได้

-------------------------------------------------

ผมคิดว่าข้อแนะนำในการเขียนรูปข้างต้น ช่วยเตือนใจในการทำโจทย์ได้เยอะ โดยเฉพาะที่ว่า "อย่าไปแถมนั่นแถมนี่"

ตอนต่อไปจะเกี่ยวกับ "ข้อบกพร่องบางประการ" ตามอ่านกันต่อนะครับ
แล้วทบทวนดูว่าตัวเองเคยทำแบบฝึกหัดหรือข้อสอบแล้วเกิดข้อบกพร่องตามข้อเตือนใจข้อไหนบ้าง ?
.

[กิตติ]

ข้อ2....ผมอ่านโจทย์แล้วก็เข้าใจอย่างที่คุณกระบี่เดียวเขียนภาพออกมา
หรือว่าคำว่า"จุดศูนย์กลางของส่วนโค้งเล็ก" จะไม่ได้หมายถึงจุดบนส่วนโค้ง หรือใช่คำเดียวกับ"จุดกึ่งกลาง"หรือเปล่า

[Switchgear]

ขออภัยด้วยครับ!

ตัวอย่างที่ 2 ผมพิมพ์ผิดเอง
ขอแก้ไขจาก "ถ้า A, B เป็นจุดศูนย์กลางของส่วนโค้งเล็ก" เป็น "ถ้า A, B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้งเล็ก"

ในหนังสือถูกแล้ว แต่ผมพิมพ์ผิดเอง ทำเอาผู้อ่านงงกันใหญ่!

ตามรูปที่คุณกระบี่เดียวดายฯ วาดนั้นถูกต้องแล้วครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมว่าให้คุณswitchgear มายืนยันด้วยเฉลยอีกทีก็ดีครับ
คือ ถ้าคุณหยินหยางแย้งว่าต้องเป็นจุดศูนย์กลางของsector ก้อต้องคำนวณอีกมโหฬารครับ
แต่ผมว่าโจทย์คงไม่ต้องการอะไรให้ยากมากขนาดนั้น

[Switchgear]

เผชิญค้นข้อมูลอื่นใน Google แล้วเจอกระทู้เก่าของผมเอง เกี่ยวกับข้อบกพร่องในการพิสูจน์เรขาคณิตเช่นกัน
ก็เลยทำ Link ให้เพื่อนชาว MC ได้อ่านกัน (ผมเองก็ลืมไปแล้วว่าเคยโพสต์กระทู้นั้นไว้ คนแก่ก็อย่างงี้ !)

ชื่อกระทู้ "เล่ห์เหลี่ยมเรขาคณิต" ในเว็บ วิชาการ.คอม
http://www.vcharkarn.com/vcafe/60470

ยังมีอีกกระทู้หนึ่ง เป็นการย่อทฤษฎีบททั้ง 78 บทในภาคภาษาไทย (อยู่ในความเห็นที่ 65-83)
http://www.vcharkarn.com/vcafe/50044/1