Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 27 กรกฎาคม 2005, 04:07
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

นี่มัน IMO 2005 ข้อ 4 นี่นา

ถ้า \(p\ge5\) เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า \(p\mid2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1\) เพราะ p หาร
\[6\cdot(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)=3\cdot2^{p-1}+2\cdot3^{p-1}+6^{p-1}-6\]ลงตัว (โดย Fermat's Little Theorem) และเนื่องจาก 6 หาร \(a_2=48\) ลงตัว ดังนั้นคำตอบจึงมีเพียงตัวเดียวคือ 1

ข้อต่อไปขอเป็นโจทย์มาตรฐานละกัน

8. ให้พิสูจน์ว่า ตัวประกอบทุกตัวของจำนวนที่อยู่ในรูป \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) (n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0) จะต้องอยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\) (k เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 27 กรกฎาคม 2005, 22:00
Char Aznable Char Aznable ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 66
Char Aznable is on a distinguished road
Post

ขอตั้งโจทย์ที่ค้างไว้ก่อนนะครับโจทย์จะได้หลากหลายข้อ
9. find all integer a1,a2,...an such that a1+...+an=a12+...+an2=n
__________________
The Inequalitinophillic
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 28 กรกฎาคม 2005, 01:12
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
9. find all integer a1,a2,...an such that a1+...+an=a12+...+an2=n
สำหรับจำนวนเต็ม ai ใดๆ \(a_i^2\ge{}a_i\) ดังนั้นจะได้ว่า \(\sum{(a_i^2-a_i)}=0\Leftrightarrow{}a_i=0,1\) เมื่อรวมกับเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า ai=a1=1 เท่านั้น

ไม่แน่ใจนะครับว่าข้อนี้จะมี trick อะไรแฝงอยู่ เพราะดูง่ายผิดปกติ ยังไงใครคิดได้ช่วยยืนยันหรือเสริมด้วยครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 28 กรกฎาคม 2005, 16:08
Char Aznable Char Aznable ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 66
Char Aznable is on a distinguished road
Post

จริงๆแล้วข้อนี้ผมแต่งเองครับ ลืมดูว่ามีวิธีที่ง่ายกว่าที่คิดครับ
ที่ผมคิดไว้คือ จากโจทย์จะได้ n(a12+...+an2)=(a1+...+an)2
ซึ่งจากเงื่อนไขของอสมการโคชีจะได้ a1=...=an=1
__________________
The Inequalitinophillic
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 28 กรกฎาคม 2005, 17:02
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Wink

วิธีของคุณ Char Aznable น่าสนใจดีครับ
เอาเป็นว่าผมให้เครติตคนที่ตอบคำถามข้อ 8 (ซึ่งเป็นการพิสูจน์ที่นำไปสู่ข้อสรุปว่า 641|F5)ของคุณ Warut ได้เป็นคนตั้งคำถามข้อต่อไปละกัน คำถามจะได้ไม่ตีกันเอง
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 16 สิงหาคม 2005, 14:42
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

วานพี่ warut ช่วยเฉลยข้อ 8. ให้หน่อยได้มั้ยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 16 สิงหาคม 2005, 18:07
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ warut:
ข้อต่อไปขอเป็นโจทย์มาตรฐานละกัน

8. ให้พิสูจน์ว่า ตัวประกอบทุกตัวของจำนวนที่อยู่ในรูป \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) (n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0) จะต้องอยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\) (k เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0)
ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะที่หาร \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) ลงตัว
เราจึงได้ว่า \(2^{\displaystyle{2^n}}\equiv-1\pmod p\) และ \(2^{\displaystyle{2^{n+1}}}\equiv1\pmod p\)
ดังนั้น \(2^{n+1}\) จึงเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ \(2^x\equiv1\pmod p\) เป็นจริง
จาก Fermat's Little Theorem เรารู้ว่า \(2^{p-1}\equiv1\pmod p\)
ดังนั้น \(2^{n+1}\mid p-1\) นั่นแสดงว่า p อยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\)
เนื่องจากผลคูณของจำนวนที่อยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\) จะยังคงอยู่ในรูปนี้ เราจึงสรุปได้ว่าตัวประกอบทุกตัวของ \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) จะต้องอยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\)

ต้องขอโทษด้วยนะครับถ้าข้อนี้ใช้ความรู้อะไรที่เกินระดับโอลิมปิกไป เพราะผมก็ไม่ค่อยรู้เรื่องเกี่ยวกับโอลิมปิกสักเท่าไหร่

ใครอยากตั้งข้อต่อไปเชิญได้เลยคร้าบ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 16 สิงหาคม 2005, 19:04
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

10. ให้ \(a(1)=\sqrt{5}\) และ \(a(n+1)=\sqrt{5+a(n)}\) จงแสดงว่า \(a(n)<3\)
Hint: Induction
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 17 สิงหาคม 2005, 09:24
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ warut:
ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะที่หาร \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) ลงตัว
เราจึงได้ว่า \(2^{\displaystyle{2^n}}\equiv-1\pmod p\) และ \(2^{\displaystyle{2^{n+1}}}\equiv1\pmod p\)
ดังนั้น \(2^{n+1}\) จึงเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ \(2^x\equiv1\pmod p\) เป็นจริง
ไม่เข้าใจครับ ทำไมเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 17 สิงหาคม 2005, 14:47
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

ถ้า x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ \(2^x\equiv1\pmod p\) เป็นจริง เรารู้ว่า x จะต้องหาร 2n+1 ลงตัว ดังนั้น x จึงอยู่ในรูป 2m และเราจะได้ว่า\[2^{\displaystyle{2^m}}\equiv2^{\displaystyle{2^{m+1}}}\equiv
2^{\displaystyle{2^{m+2}}}\equiv\cdots\equiv1\pmod p\]แต่เรารู้ว่า \(2^{\displaystyle{2^n}}\equiv-1\not\equiv1\pmod p\) ดังนั้น m = n + 1

17 สิงหาคม 2005 14:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 18 สิงหาคม 2005, 12:22
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ขอบคุณมากครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 19 สิงหาคม 2005, 12:24
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

เพิ่มเติมนะครับ เอามาจากที่อื่น
ให้ \(a\) เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ \(m\) เราเรียกค่า \(k\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ \(a^k \equiv 1 (\text{mod}\ \ m)\) ว่า order ของ \(a\) modulo \(m\)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 19 สิงหาคม 2005, 23:30
R-Tummykung de Lamar R-Tummykung de Lamar ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 566
R-Tummykung de Lamar is on a distinguished road
Post

ข้อที่ 10 ครับ
ให้ P(n) แทนข้อความ a(n) < 3
\( \displaystyle{\begin{array}{lrlll}ขั้นฐาน&P(1)\ :\ a(1)&=&\sqrt{5} < 3\\&&&\ \ 5\ \ < 9&เห็นว่า\ \ P(1)\ เป็นจริง\\ขั้นอุปนัย&ให้\ P(k)\ เป็นจริง &นั่นคือ&\ a(k)\ <\ 3\\&&&5 + a(k) <\ 8\ \ <\ \ 9\\\therefore\ \ &a(k+1)&=&\sqrt{5+a(k)}\ <\ 3&นั่นคือ\ P(k+1)\ เป็นจริง \end{array}}\)
ดังนั้น a(n) < 3 ทุกจำนวนนับ n
มาช่วยตรวจด้วยนะครับ ถ้าถูกต้องจะได้ใช้สิทธิ์ถามข้อถัดไป
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] ||
(a,b,c > 0,a+b+c=3)
$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$

19 สิงหาคม 2005 23:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 19 สิงหาคม 2005, 23:43
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Cool

ถูกแล้วครับ สงสัยข้อนี้ง่ายที่สุดในสิบข้อแรกเลยละมังครับ แล้วจะรอทำข้อ 11 ครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 29 สิงหาคม 2005, 17:59
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ต่อเลยนะครับ
11. จงหาจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ
\[a_1^4+a_2^4+...+a_{14}^4=1,599\]

Edit: ใส่เลขข้อ

01 กุมภาพันธ์ 2007 23:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 23: Number Theory once more warut คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 17 28 ธันวาคม 2011 20:38
ช่วยคิดหน่อยครับ เกี่ยวกับ Number Theory kanji ทฤษฎีจำนวน 0 08 กันยายน 2006 18:22
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 5: From Number Theory Marathon warut คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 9 17 มกราคม 2006 18:47
ปัญหา Number Theory kanji ทฤษฎีจำนวน 4 16 พฤศจิกายน 2005 20:30
ขอลองตั้งคำถามบ้างครับ (Number theory) Nay ทฤษฎีจำนวน 3 15 พฤษภาคม 2005 13:40

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:10


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha