Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 31 กรกฎาคม 2005, 14:36
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

ข้อ 6 ต้องการแนะนำให้รู้จักกับเอกลักษณ์นี้ครับ

$$(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)=(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)$$


8. (nooonuii) ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $a + b + c = 3$ จงพิสูจน์ว่า

$$ a^{n} (\frac{a+1}{b+1}) + b^{n} (\frac{b+1}{c+1}) + c^{n} (\frac{c+1}{a+1}) \geq 3$$

ทุกจำนวนเต็ม $n$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

09 เมษายน 2007 13:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
เหตุผล: แก้ Latex code
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 01 สิงหาคม 2005, 00:03
Mr.high Mr.high ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 กรกฎาคม 2005
ข้อความ: 50
Mr.high is on a distinguished road
Post

หวัดดีครับ คราวนี้ผมจะมาแก้โจทย์ของคุณ nooonuii ข้อข้างบนน่ะครับ
case 1 : n 2
\frac{an(a+1)}{(b+1)} +\frac{bn(b+1)}{(c+1} + \frac{cn(c+1)}{(a+1)} \frac{(an/2(a+1)+bn/2(b+1)+bn/2(b+1))}{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)} โดย โคชี

พิจารณา ตัว (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) 12
เนื่องจาก ab+bc+ca \frac{(a+b+c)^{2}}{3}

และ จาก power mean an+bn+cn 3
จึงได้ว่า case 1 เป็นจริง
อิๆที่เหลือให้คนอื่นคิดบ้างดีกว่าคับ
อืม เพิ่งเข้ามาเป็นสมาชิกใหม่ก็ขอฝากเนื้อฝากตัวพี่ๆด้วยนะครับ
ผมก็ไม่ได้เก่งอะไรมากมายมีอะไรก็ชี้แนะด้วยนะคับ
ที่จิงผมก็เพิ่งเริ่มใช้ latex อาจจะมีผิดพลาดไปบ้างก็ขอโทษนะครับ
__________________
μαθηματικά
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 01 สิงหาคม 2005, 00:17
Mr.high Mr.high ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 กรกฎาคม 2005
ข้อความ: 50
Mr.high is on a distinguished road
Post

ขอแก้อันข้างบนนะครับ
case 1 : n 2
\[\frac{a^{n}(a+1)}{(b+1)} +\frac{b^{n}(b+1)}{(c+1)} + \frac{c^{n}(c+1)}{(a+1)} \geq \frac{(a^{n/2}(a+1)+b^{n/2}(b+1)+c^{n/2}(b+1))^{2}}{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)} \] โดย โคชี
พิจารณา ตัว (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) 12
เนื่องจาก ab+bc+ca \( \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\)

และ จาก power mean an+bn+cn 3
ดังนั้น \[\frac{a^{n}(a+1)}{(b+1)} +\frac{b^{n}(b+1)}{(c+1)} + \frac{c^{n}(c+1)}{(a+1)} \geq 3 \] เป็นจริง
__________________
μαθηματικά
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 01 สิงหาคม 2005, 03:40
devil jr.'s Avatar
devil jr. devil jr. ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 มีนาคม 2005
ข้อความ: 19
devil jr. is on a distinguished road
Post

use rearrangement inequality to show that

(a^n)(a+1)/(b+1)+(b^n)(b+1)/(c+1)+(c^n)(c+1)/(a+1)
>= (a^n)(a+1)/(a+1)+(b^n)(b+1)/(b+1)+(c^n)(c+1)/(c+1)
=a^n+b^n+c^n
>=3((a+b+c)/3)^n (by power mean inequality)
__________________
For the things of this world cannot be known without a knowledge of mathematics.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 01 สิงหาคม 2005, 03:40
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

ใครที่ยังใช้ Latex ไม่เป็น หรือไม่คล่องลองไปหัดเขียนเล่นในห้องข้างบนดูได้ครับ.
ในห้องนั้นมีกระทู้ปักหมุดสอนและคำสั่งครบหมดแล้ว

- เวลากดตอบกระทู้ สามารถกดดูล่วงหน้าได้ว่า ถ้าส่งไปแล้วจะเห็นแบบไหน
- ถ้าคิดว่าตอบผิด สามารถแก้ไขคำตอบของตัวเองได้ครับ กดตรงรูปดินสอ ก็จะเข้าโหมดแก้ไข ไม่จำ้เป็นต้องตอบซ้ำครับ.
- ถ้าอยากเรียนรู้การใช้ Latex อย่างรวดเร็ว ก็สามารถทำได้โดยการกดปุ่ม quote เพื่อดูคำสั่งของคนที่ตอบก่อนหน้านี้ของใครก็ได้ ตรงรูป "" ของคนที่ตอบ

ปล. Nooonuii ถ้าเข้ามาอ่าน เปิดดูข้อความส่วนตัวด้วยครับ.

01 สิงหาคม 2005 15:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 04 สิงหาคม 2005, 16:33
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

9. (nooonuii) ให้ $a,b,c,x,y,z > 0$ โดยที่ $abc = 1$ และ $x + y + z = 3$ จงพิสูจน์ว่า
$$ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}\geq \frac{3}{2}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

09 เมษายน 2007 13:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
เหตุผล: แก้ Latex code
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 05 สิงหาคม 2005, 07:28
devil jr.'s Avatar
devil jr. devil jr. ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 มีนาคม 2005
ข้อความ: 19
devil jr. is on a distinguished road
Post

by cauchy

\Large{ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+x+y+z}
=\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}\frac{3}{2}

a+b+c3 (by AM-GM)
__________________
For the things of this world cannot be known without a knowledge of mathematics.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 05 สิงหาคม 2005, 16:59
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ devil jr.:
by cauchy

\( \Large{ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+x+y+z}
=\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3} \geq \frac{3}{2} }
\)
a+b+c3 (by AM-GM)
อสมการสุดท้ายไม่น่าจะจริงนะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 05 สิงหาคม 2005, 17:08
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ devil jr.:
use rearrangement inequality to show that
\( \Large{ a^n(\frac{a+1}{b+1}) + b^n (\frac{b+1}{c+1}) + c^n (\frac{c+1}{a+1})
\geq a^n(\frac{a+1}{a+1}) + b^n (\frac{b+1}{b+1}) + c^n (\frac{c+1}{c+1})
=a^n+b^n+c^n
\geq 3(\frac{a+b+c}{3})^n = 3 } \)
(by power mean inequality)
ใช้ rearrangement inequality ยังไงเหรอครับ อสมการสุดท้ายจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกครับ ยังขาดกรณีจำนวนเต็มลบ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 06 สิงหาคม 2005, 00:20
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

อสมการสุดท้ายตรงกับ \((2(a+b+c)+3)(a+b+c-3) \geq 0\) ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 06 สิงหาคม 2005, 02:27
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ้อเข้าใจแล้วครับ คิดไม่ถึงเหมือนกันว่าจะออกมาทางนี้ได้ ของผมทำค่อนข้างยืดยาวโดยใช้ AM-GM
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

09 เมษายน 2007 13:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
เหตุผล: แก้ Latex code
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 06 สิงหาคม 2005, 05:58
devil jr.'s Avatar
devil jr. devil jr. ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 มีนาคม 2005
ข้อความ: 19
devil jr. is on a distinguished road
Post

To Nooonuii
Sorry, I'm forget the case n<=0

if n>=0
(a^n)(a+1),(b^n)(b+1),(c^n)(c+1)
has reverse order with
1/(a+1),1/(b+1),1/(c+1)
and you can prove it easily.

if n<0
I will solve it later

P.S. Can you solve my problems? (Hint: equality holds iff a^2=b^2=c^2=6)
__________________
For the things of this world cannot be known without a knowledge of mathematics.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 06 สิงหาคม 2005, 18:43
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ๊ะ ลืมไปเลยครับ ว่ายังมีโจทย์ของคุณ devil jr. อยู่อีกข้อนึง
ถ้าว่างเมื่อไหร่จะลองคิดดูครับ แต่ตอนนี้ขออ่านหนังสือสอบใหญ่ซักสองวิชาก่อนนะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 06 สิงหาคม 2005, 18:55
devil jr.'s Avatar
devil jr. devil jr. ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 มีนาคม 2005
ข้อความ: 19
devil jr. is on a distinguished road
Post

10. $a,b,c$ are positive reals. Prove that
$$\min\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\} \geq \min\{a+b+c,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\}.$$
__________________
For the things of this world cannot be known without a knowledge of mathematics.

09 เมษายน 2007 13:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 04 กันยายน 2005, 23:31
Char Aznable Char Aznable ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 66
Char Aznable is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ devil jr.:
a,b,c are positive reals
Prove that
min{a/b+b/c+c/a,a/c+b/a+c/b} >= min{a+b+c,1/a+1/b+1/c}.
พิจารณาอสมการ (a/b+b/c+c/a)2 (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
สมมูลกับ (a/b)2+(b/c)2+(c/a)2+a/c+c/b+b/a 3+a/b+b/c+c/a ซึ่งเป็นจริงจากอสมการโคชี่

จาก(a/b+b/c+c/a)2 (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) สรุปได้ว่า
min{a/b+b/c+c/a,a/c+b/a+c/b} >= min{a+b+c,1/a+1/b+1/c}
__________________
The Inequalitinophillic
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Algebra Marathon nooonuii พีชคณิต 199 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08
Trigonometric Marathon Mastermander พีชคณิต 251 24 พฤศจิกายน 2013 21:21
Calculus Marathon (2) nongtum Calculus and Analysis 134 03 ตุลาคม 2013 16:32
Marathon Mastermander ฟรีสไตล์ 6 02 มีนาคม 2011 23:19
Calculus Marathon nooonuii Calculus and Analysis 222 26 เมษายน 2008 03:52

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:16


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha