โจทย์ของคนไม่มีระดับ(4)

[NoName]

สวัสดีครับ สมาชิกผู้รักคณิตศาสตร์ทุกคน วันนี้ คนไม่มีระดับ มีของเล่นมาฝากทุกคนอีกแล้ว ก็จะอะไรอีกล่ะ ถ้าไม่ใช่ โจทย์ของคนไม่มีระดับ ข้อที่ 4
โจทย์ข้อนี้เป็นเรื่อง พีชคณิต อีกแล้วครับ บางคนมักบอกว่า พีชคณิตตายไปแล้ว แต่คนไม่มีระดับเห็นว่า คณิตศาสตร์พื้นฐานก็ต้องยกให้ พีชคณิต นี่แหละ เพราะไม่ต้องใช้ทฤษฎีสลับซับซ้อน อาศัยความฉลาดเพียงอย่างเดียวในการแก้ปัญหา เด็ก ม.ปลาย จะได้ร่วมเล่นสนุกด้วยได้

โจทย์ของคนไม่มีระดับข้อที่ 4 มีอยู่ว่า

กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริงบวก และ กำหนดค่า a,b,c ดังนี้
a = cosec²5ฐ (มุมมีหน่วยเป็นองศาครับ)
b = cosec²65ฐ
c = cosec²125ฐ

และกำหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด 3x3 ที่นิยามดังนี้
A = [
x²-a², x²-b², x²-c²;
(x+a)³,(x+b)³,(x+c)³;
(x-a)³,(x-b)³,(x-c)³;
]

จงหาค่าของ x ที่ทำให้ A เป็น singular matrix.

Comment จาก คนไม่มีระดับ :
1.) โจทย์ข้อนี้ค่อนข้างป่าเถื่อนหน่อยครับ ต้องขออภัยด้วย เพราะถ้าเอาโจทย์ประเภทมองแล้วตอบได้มาแปะไว้เดี๋ยวจะไม่สนุก โจทย์ที่ต้องคิดกันข้ามวันทำแล้วสนุกดี (คิดหลายวัน พอคิดออก ลงมือทำไม่กี่นาทีก็เสร็จ)

2.) ถ้าท่านทำแล้วไม่ออก และคิดว่าพิมพ์โจทย์ผิดช่วยแจ้งให้ทราบด้วยนะครับ เดี๋ยวจะเข้ามาแก้ไขให้

3.) คำตอบมีค่าเดียวครับ เป็น irrational number ที่ไม่น่าเกลียดนัก

หวังว่าทุกท่านคงสนุกกับการ solve โจทย์

พบกันใหม่ในโอกาสหน้านะครับ ขอให้โชคดี

จาก คนไม่มีระดับ.

[Numeric Philanthropist]

คุณ Noname ฟิตดีแท้(ชมด้วยใจจริง) ข้อ 2 ผมยังไม่ได้เลย ไม่ต้องรีบเอาข้อ 5 มาลงนะ แถมบอกเองด้วยว่าข้อนี้ป่าเถื่อน ต้องใช้เวลานาน

[kokkung]

โอ้โหโจทย์ ยาก+???

[warut]

ผมไม่แน่ใจว่าโจทย์ถูกต้องหรือไม่ แต่ถ้าให้ x = 0 จะได้
det(A) = 0 โดยไม่ขึ้นกับค่า a, b, c เลยนะครับ เพราะ
row ที่ 2 กับ 3 จะต่างกันแค่เครื่องหมายเท่านั้นเองครับผม

[Hell]

เค้าบอกว่า x เป็นจำนวนจริงบวกครับ ดังนั้น 0 ก็ตัดทิ้งไป

นี่ที่ผมคิดนะ จากการจัดรูป det A ไปๆมาๆ ได้เป็น
det A=|
1 1 1
a² b² c²
a³-3x²a b³-3x²b c³-3x²c
| คูณอยู่กับ 8³x⁹

ได้ว่า x=+sqrt[(b²c³+c²a³+a²b³-a³b²-b³c²-c³a²) / 3*(b²c+c²a+a²b-b²a-c²b-a²c)]

...เหนือย ที่เหลือเป็นตรีโกนที่ไม่อยากคิดเลย
วิธีคิดประมาณนี้รึเปล่าครับเนี่ย หรือว่าต้องคิดอะไรใน A ก่อนที่จะใส่ det เปล่าครับ

[warut]

อ่านโจทย์ผิดอีกตามเคย...เฮ้อ

[gon]

จะได้ว่า x =0, +, - root[ (ab + bc + ca)/3 ]
แต่โจทย์ต้องการเฉพาะค่าบวก
เมื่อแทนค่าต่าง ๆใน root[ (ab + bc + ca)/3 ] จะได้
x = 4[ root(3) + 1 ]

หมายเหตุ วิธีคิดค่อนข้างยาวจึงละการแสดงวิธีทำ
อ้อ. ของคุณ Hell ถ้าคิดไม่ผิดน่าจะไปต่อไปอีกมั้งครับ