การบ้าน Complex Analysis \int log(sin x) dx ทำมาสองวันแล้วข่วยหน่อยนะครับ

[Aleph_Naught]

เป็นโจทย์จากหนังสือ Functions of ones Variable , Conway J.B.ครับ
P.121 2. (h) Prove ว่า

$$\int_{0}^{2\pi} \log \sin ^2 2x dx = 4\int_0^\pi \log \sin x dx = -4\pi \log 2$$

ถ้าทำแบบบ้านๆ ก็จะได้ว่า
$$\int_0^{2\pi}\log \sin ^2 2x dx = 4\int_0^{\pi /2 }\log \sin ^2 2x dx = 2 \int_0^{\pi }\log \sin ^2 y dy $$
ซึ่ง $\sin y >0 \quad \forall y \in (0,/pi) , \therefore 2 \int_0^{\pi }\log \sin ^2 y dy = 4 \int_0^{\pi }\log \sin y dy$ จากนั้นก็แก้สมการนิดๆหน่อยๆ ก็พิสูจน์ได้ตามโจทย์
แต่ผมก็ว่ามันเป็นวิธีที่ขาดๆเกินๆ เพราะที่จริง log sin x ไม่ define ที่จุด 0,$k \pi \exists k\in \mathbb{Z}$ ถึงจะบอกให้ สร้าง limit integral $\displaystyle \int_a^b \quad \quad a\rightarrow 0 \quad b\rightarrow \infty$ มันก็ใช้พิสูจน์ $\int_{0}^{2\pi} \log \sin ^2 2x dx = 4\int_0^\pi \log \sin x dx$ ไม่ได้อีก แล้วก็ไม่ได้ใช้ความรู้ residue theorem ด้วยน่ะครับ(โจทย์นี้อยู่ในบท residue theorem)
ลองหาตามinternet ก็เจอว่า ให้สร้าง integral path เป็นpolygon $[0, \pi, iY+\pi,iY], Y\rightarrow \infty$ ผมก็ว่ายังไม่ถูกอยู่ดีที่ให้path วิ่งผ่านจุดsingular
เลยลองสร้างทางเบี่ยงดู เป็นsegment วงกลมรัศมี $\delta $ วนอ้อม $0,\pi$ แต่ก็ยังทำไมสำเร็จติดนู่นติดนี่ เบื่อซะก่อนครับ

พอมีใครทราบวิธีที่ง่ายๆ เข้าใจง่าย แต่ไม่มั่วๆเหมือนวิธีที่กล่าวไว้ข้างต้น บ้างไหมครับ ผมรู้สึกว่าติดอยู่กัุบปัญหานี้นานเกินไปเสียแล้วจะไม่ได้ทำอย่างอื่นเอา(การบ้านอื่นมีอีกเยอะเลย)
ขอบคุณค้าบ

[Aleph_Naught]

ผมเริ่มไม่แน่ใจว่าผมโพสต์รู้เรื่องหรือเปล่า
เอาเป็นว่า โจทย์นี้ผมแก้ได้ด้วย change of variable ธรรมดาได้ แต่ผมก็หนักใจอยู่ดีว่ามันถูกหรือเปล่าน่ะครับ เพราะผมไม่สามารถproveว่า $\displaystyle \int_0^\pi \log (\sin x) dx $ exists
และพ่วงด้วยความรู้สึกผิดว่าไม่ใด้ใช้ความรู้จาก Residue Theorem

พี่ๆคิดว่าที่ผมคิดอย่างงี้ผิดไหมครับ

[nooonuii]

ผมไม่เคยทำโจทย์ข้อนี้ครับ เคยเปิดผ่านๆแล้วก็ไม่ได้สนใจเพราะยากเกิน

สมการแรกผมว่าใช้วิธีธรรมดาแปลงอินทิกรัลได้ไม่ีมีปัญหา

แต่สมการหลังนี่แหละที่ต้องใช้ residue ซึ่งผมไม่แน่ใจว่าจะต้องใช้

contour แบบไหนเหมือนกันครับ

[pure_mathja]

ลองดูโจทย์ใน Schaum's outline of Complex variable ดูครับ
มีการใช้ contour หลายรูปแบบอยู่ เพื่อจะได้แนวคิด