ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

[flossy]

จงหาค่า a ที่ทำให้ฟังก์ชัน $y=x^3+ax^2+3x+1$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มเสมอ
$y' = 3x^2+2ax+3$
(ในกรณีนี้ดิสคริมิแนนต์ของ $3x^2+2ax+3=0$ ต้องเป็นลบหรือศูนย์)

อยากทราบว่า ทำไมดิสคริมิแนนต์ต้องเป็นลบหรือศูนย์

ช่วยตอบทีค่ะ จะรีบไปตอบครู ขอบคุณมากๆค่ะ

[lek2554]

โดยทั่วไป ลักษณะกราฟของฟังก์ชันพหุนามจะเป็นเส้นโค้ง คว่ำ หงาย ต่อเนื่องกันกันไปจาก $-\infty $ ถึง $\infty $

กรณีที่เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรีสาม จะได้ว่า $\frac{dy}{dx}$ เป็นพหุนามดีกรีสอง อยู่ในรูป $\frac{dy}{dx}=ax^2+bx+c$

เวลาเราหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ โดยให้ $\frac{dy}{dx}=0$

จะได้ $ax^2+bx+c=0 \rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} $

ถ้า $b^2-4ac>0$ ค่าวิกฤต จะมี 2 ค่า เมื่อทดสอบค่าวิกฤต จะเกิดจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ อย่างละ 1 จุด ทำให้กราฟคว่ำแล้วหงาย (หรือกลับกัน) ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยตลอด หรืือฟังก์ชันลดโดยตลอด

ถ้า $b^2-4ac<0$ จะไม่มีค่าวิกฤต จึงไม่เกิดจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ดังนั้น จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยตลอด หรืือฟังก์ชันลดโดยตลอด

ถ้า $b^2-4ac=0$ ค่าวิกฤต จะมี 1 ค่า เมื่อทดสอบค่าวิกฤต จะไม่เกิดจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ดังนั้น จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยตลอด หรืือฟังก์ชันลดโดยตลอด

ดังนั้นถ้า $b^2-4ac\leqslant 0$ แล้วจะเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยตลอด หรืือฟังก์ชันลดโดยตลอด

หมายเหตุ ฟังก์ชันที่น้องให้มา สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^3$ เป็นบวก ถ้า $b^2-4ac\leqslant 0$ แล้วจะเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยตลอดครับ

[flossy]

ขอบคุณม้ากมากเลยค่ะ ขอบคุณจริงๆค่า