ช่วยพิสูจน์ปัญหาเรื่องฟังก์ชันในทฤษฎีจำนวนให้หน่อยค่ะ

[mathzah]

1.when n=14206 and 957,show that\sigma (n)=\sigma (n+1)
2.Prove the following \tau (n) is an old integer if and onle if n is a perfect square
3.Given a positive k>1,show that there are infinitely many integer n for which \tau (n)=k,but at most finitely many n with \sigma (n)=k

[Sirius]

2.Prove the following: $\tau (n)$ is an odd integer if and only if n is a perfect square

(ขาไป) ให้ $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_r^{k_r}$ และ $\tau (n)$ เป็นจำนวนคี่

จะได้ $\tau (n)=(k_1+1)(k_2+1)...(k_r+1)$

แต่ $\tau (n)$ เป็นจำนวนคี่

$\therefore (k_1+1),(k_2+1),...,(k_r+1)$ เป็นจำนวนคี่ หรือ $k_i$ เป็นจำนวนคู่

$\therefore n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

(ขากลับ) ให้ n เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$\therefore n=p_1^{2k_1}p_2^{2k_2}...p_r^{2k_r}$

จะได้ $\tau (n)=(2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_r+1)$ เป็นจำนวนคี่

[Beatmania]

ข้อ 3.
สมการ $\tau (n)=k$ มีคำตอบมากมายครับ
เพราะว่า ถ้า n อยู่ในรูป $p^{k-1}$ โดย p เป็นจำนวนเฉพาะก็ได้แล้ว

แต่สมการ $\sigma (n)=k$

เห็นได้ชัดเจนว่า $n<k$

คำตอบต้องอยู่ในเซต {$1,2,3,...,k$}

ซึ่งเป็นเซตจำกัด คำตอบมีจำนวนจำกัดครับ

[Sirius]

ข้อ 1 ทำตรงๆ เลยครับ เริ่มจากแยกตัวประกอบ แล้วก็หาผลรวมตัวประกอบเลยครับ