Fe ค่าย2 ปี2558 ศูนย์สวนกุหลาบ

[กขฃคฅฆง]

ขอเฉลยหรือ hint ทุกข้อหน่อยครับ

[polsk133]

1.

ให้ $f(a)$ มีค่าน้อยที่สุด(well ordering) ถ้า $a>1$ แทน n ด้วย a-1 จะเกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น a=1

นั่นคือ f(1) มีค่าน้อยสุด(และมีเพียงตัวเดียวด้วย)

สมมติให้ $f(b)$ มีค่าน้อยรองลงมาจาก$f(1)$ และเห็นได้ว่า $b>1$

แทน n ด้วย b-1 ได้ $f(b)>f(f(b-1))$

เนื่องจากตัวที่น้อยกว่า $f(b)$ มีเพียงตัวเดียวคือ $f(1)$ ดังนั้น f(f(b-1))=f(1)

แต่เนื่องจาก ไม่มีจำนวนนับ a ตัวอื่นที่ไม่ใช่ 1 ที่ f(a)=f(1) อีกแล้ว จึงได้ f(b-1)=1

ทำให้ได้ว่าค่าของ f ที่น้อยสุดคือ 1 นั่นคือ f(1)=1 รวมทั้ง b-1=1 อีกด้วย

ทำต่อโดยการอุปนัย ใช้หลักการคล้ายๆแบบนี้ครับ

[polsk133]

3.
$f(x+f(y))=f(x)+y$
แทน $y$ ด้วย $x+f(y)$
$f(x+f(x+f(y)))=x+f(x)+f(y)$
$f(x+y+f(x))=x+f(x)+f(y)$
$f(x+y)+x=x+f(x)+f(y)$
$f(x+y)=f(x)+f(y)$

ให้$u>v$ แทน $x$ ด้วย $u-v$ แทน $y$ ด้วย $v$ ได้
$f(u)=f(u-v)+f(v) >,= 0$
$f(u)-f(v) >,= 0 $
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันทางเดียวและสอดคล้องกับโคชี่ ได้ f(x)=cx แทนหา c และตรวจคำตอบ ครับ

[กขฃคฅฆง]

FE ปีนี้มีแต่แนวใหม่ๆจริงๆ ทำเอาคะแนนห่วยกันทั้งค่าย 555

มีคนได้เกิน20 แค่ 6 คนเอง

[ROCKY]

2. แทน $m$ ด้วย $f(m)$ จะได้เป็น $f(f(m)+f(n))=n+f(f(m)+58) = m+n+f(116)$
จากตรงนี้จะเห็นได้ชัดว่า f มัน 1-1 แล้วเราสามารถแทนค่า m,n หลายแบบเพื่อให้ผลรวมฝั่งขวายังเท่าเดิม
$$f(f(n-1)+f(n+1))=2n+f(116)=f(2f(n))$$
ฉะนั้นโดยความเป็น 1-1 $f(n-1)+f(n+1)=2f(n)$ ซึ่งก็คือ $f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)=k$ ค่าคงที่
จากตรงนี้ก็สามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า f คือ linear function และมันคือ $f(n)=n+58$
ผลรวมที่แยากได้ก็เลยเท่ากับ $990$
4. เราแทน z ด้วย -1 และ x ด้วย 0 จะได้ $f(0)=1-f(-1)f(y)+2f(y)$ เราสรุปว่าถ้า $f(-1)$ ไม่เท่ากัย 2 จากสมการนี้เราจะได้ว่า f คือ constant function ซึ่งสามารถเช็คได้ง่ายว่าไม่มีคำตอบ ฉะนั้น f(-1)=2 และ f(0)=1
ที่นี้เราแทนแค่ z=-1 ในมการโจทย์ได้ว่า $f(2x^2)=1-2(x^2+f(y))+2f(y)=1-2x^2$
จากตรงนี้เราสรุปได้ว่า $f(x)=1-x$ สำหรับทุกๆ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงบวก
ต่อมาแทน x=z=0 ในสมการโจทย์ และใช้ที่ว่า $f(0)=1$ จะได้ $f(f(y))=1-f(0)f(y)=1-f(y)$
พิจารณากรณี $y\geq 0$ เราจะได้ว่า $f(y)=1-y$ เลยได้ด้วยว่า $f(1-y)=1-(1-y)$
แต่เนื่องจาก range ของ 1-y ในที่นี้คือไม่เกิน 1
ดังนั้น $f(y)=1-y$ สำหรับทุก $y$ ที่ $\geq 0$ และ $\leq 1$ ซึ่งจะเห็นว่ามันคลุมทั้งจำนวนจริง

5.เข้าใจว่าหมายถึง f ยกกำลัง 3 เพราะถ้าเป็น the third iteration of f ฟังก์ชั้น $f(x)=0.5$ สอดคล้องโจทย์แต่ไม่สอดคล้องโคชี
สามารถหาได้ไม่ยากว่า $f(0)=0$ และ $f(-y)=-f(y)$
แทน $x=y=\frac{t}{2}$ ได้ $f(t)^3=8f(\frac{t}{2})^3\Rightarrow f(t)=2f(\frac{t}{2})$
แทน $(x,y)\rightarrow (\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$ ;
$$f(x)^3+f(y)^3=2f(\frac{x+y}{2})^3+6f(\frac{x+y}{2})f(\frac{x-y}{2})^2=\frac{1}{4}[f(x+y)^3+3f(x+y)^2f(x-y)]$$
ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราแทน $(x,y)\rightarrow (\frac{x-y}{2},\frac{x+y}{2})$ แบบสลับคู่จะได้
$$f(x)^3-f(y)^3=\frac{1}{4}[f(x-y)^3+3f(x-y)^2f(x+y)]$$
เอาสองสมการนี้มาบวกกัน ฝั่งขวาจะกลายเป็น $\frac{1}{4}(f(x+y)+f(x-y))^3$ อย่างสวยงาม ในขณะที่ด้สนซ้สยจะเป็น $2f(x)^3$ เพราะฉะนั้นเมื่อปัดส้วนขึ้นมาแล้วถอดรากที่สาม
$$2f(x)=f(x+y)+f(x-y)$$
ที่เหลือก็แค่เปลี่ยนตัวแปรให้เข้ากับโคชีแบบทั่วไปๆ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ROCKY

5.เข้าใจว่าหมายถึง f ยกกำลัง 3 เพราะถ้าเป็น the third iteration of f ฟังก์ชั้น $f(x)=0.5$ สอดคล้องโจทย์แต่ไม่สอดคล้องโคชี

โจทย์ให้พิสูจน์ว่า f(x+y) = f(x) + f(y)
แต่ถ้าเราได้ว่า f(x) = 0.5 เราก็ได้ว่าสิ่งที่ให้พิสูจน์เป็นเท็จ ก็จบแล้วไม่ใช่เหรอครับ

[ROCKY]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

โจทย์ให้พิสูจน์ว่า f(x+y) = f(x) + f(y)
แต่ถ้าเราได้ว่า f(x) = 0.5 เราก็ได้ว่าสิ่งที่ให้พิสูจน์เป็นเท็จ ก็จบแล้วไม่ใช่เหรอครับ

โจทย์บอกชัดเจนว่า prove ไม่ได้ให้ prove or disprove นั่นคือคนออกโจทย์มั่นใจว่าโจทย์ถูกซึ่งถ้าเราคิดว่ามันคือ $f(f(f(x+y)))$ มันจะไม่ได้เพราะได้ตัวอย่างแย้งอย่างที่บอกไป ผมคิดว่าคนออกโจทย์ต้องการให้เป็น $f(x+y)^3$ มากกว่า เพราะ make sense กว่าหนะครับ เหตุเกิดจากสัญลักษณ์ไม่เคลียร์

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

FE ปีนี้มีแต่แนวใหม่ๆจริงๆ ทำเอาคะแนนห่วยกันทั้งค่าย 555

มีคนได้เกิน20 แค่ 6 คนเอง

ืถือว่าน้อยมากครับ ซึ่งก็คงเพราะไม่มีข้อง่ายๆแจกคะแนนเลย

ขนาด2ปีที่แล้ว มีข้อนึงที่เป็น IMO ข้อ 6 แต่มีข้อง่ายๆ ก็มีคนเกิน20เยอะอยู่

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ROCKY

ผมคิดว่าคนออกโจทย์ต้องการให้เป็น $f(x+y)^3$ มากกว่า เพราะ make sense กว่าหนะครับ เหตุเกิดจากสัญลักษณ์ไม่เคลียร์

ผมว่า f(f(f(x+y))) แหละ เพราะในค่ายเค้าก็สอนสัญลักษณ์แบบนี้

ว่าแต่ ข้อ2 พิสูจน์ว่าเป็น linear ยังไงครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

ผมว่า f(f(f(x+y))) แหละ เพราะในค่ายเค้าก็สอนสัญลักษณ์แบบนี้

ว่าแต่ ข้อ2 พิสูจน์ว่าเป็น linear ยังไงครับ

มองว่ามันคือลำดับเลขคณิตสิครับ

[ROCKY]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

ผมว่า f(f(f(x+y))) แหละ เพราะในค่ายเค้าก็สอนสัญลักษณ์แบบนี้

ว่าแต่ ข้อ2 พิสูจน์ว่าเป็น linear ยังไงครับ

หลังจากที่ได้ว่า $f(n+1)-f(n)$ เป็นค่าคงที่ ก็สรุปได้แล้วว่า $f(n)$ เป็นลำดับเลขคณิต ฉะนั้น $f(n)= f(1)+a(n-1)$

แต่ผมก็ยังคิดว่าโจทย์อยากให้เป็น $f(x+y)^3$ มากกว่า(อาจจะด้วยว่าก็อปมาผิด เข้าใจผิดหรืออะไรก็แล้วแต่) แค่เพียงมีสอนในค่ายไม่ได้หมายความว่าจะต้องออกสอบนิครับ ยิ่งเป็นค่ายสองด้วย เนื้อหามาก+ไม่ได้เฉพาะเจาะจง คือมากันระดับนี้แล้วไม่น่าจะมาออกโจทย์ผิดกัน
สิ่งทีผมสงสัยคือในค่ายตอนสอบไม่มีใครสงสัยเลยเหรอว่า โจทย์มันแปลกๆ(คือถ้าใครให้ f เป็นค่าคงที่ ก็รู้ทันทีว่ามีคำตอบมากกว่า f=0) ไม่มีใครถามอาจารย์เลย?

[กขฃคฅฆง]

ตอนผมทำผมมัวแต่ไปยุ่งกับข้ออื่นเลยไม่ค่อยได้สนใจข้อนี้เท่าไหร่ ส่วนคนอื่นก็ไม่รู้ครับ $5555$

อาจจะคิดว่าถามไปครูเค้าก็ตอบไม่ได้ เพราะครูที่คุมสอบไม่ใช่ครูที่สอน และถ้ามันผิดจริง เค้าก็คงให้ฟรีทั้งค่ายเอง

[nooonuii]

เห็นด้วยนะครับว่าโจทย์ควรเป็น $[f(x+y)]^3$ มากกว่า $f(f(f(x+y)))$

[win1234]

เห็นด้วยตามคุณ nooonuii ครับ เพราะว่าผมเคยเห็นโจทย์ข้อนี้ใน AOPs เมื่อนานมาแล้วครับ

และโจทย์ก็ให้หาฟังก์ชันคำตอบเลย ซึ่งต้องทำต่อจากที่อาจารย์ในค่ายให้พิสูจน์อีกเล็กน้อยครับ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ win1234

เห็นด้วยตามคุณ nooonuii ครับ เพราะว่าผมเคยเห็นโจทย์ข้อนี้ใน AOPs เมื่อนานมาแล้วครับ

และโจทย์ก็ให้หาฟังก์ชันคำตอบเลย ซึ่งต้องทำต่อจากที่อาจารย์ในค่ายให้พิสูจน์อีกเล็กน้อยครับ

โจทย์ใน AOPs เป็น $f^3(x+y)$ หรือ ${(f(x+y))}^3$ ครับ