Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 28 มิถุนายน 2015, 14:14
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default Number Theory

If $a,b$ is natural number with $b>1$ and $(2ab^2-b^3+1)|a(b^3-1)$ then prove that
$$(2ab^2-b^3+1)|2\Big(gcd(a,b^3-1)\Big)^2$$


ปล.เเก้โจทย์เยอะเลยครับต้องขออภัย
__________________
Vouloir c'est pouvoir

29 มิถุนายน 2015 18:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 28 มิถุนายน 2015, 18:36
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

a=3 , b=1 จะได้ 6|9 เป็นเท็จ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ

28 มิถุนายน 2015 18:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 29 มิถุนายน 2015, 15:23
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

งั้นขอเเก้เป็น $b>1$ ด้วยครับ ขออภัย
__________________
Vouloir c'est pouvoir

29 มิถุนายน 2015 15:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 30 มิถุนายน 2015, 13:43
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ไม่มีใครตอบเลยเหรอ

เท่าที่ลองหักกรณี $b=1$ ออกไป เหมือนโจทย์ที่คุณจูกัดเหลียงตั้งจะจริงนะครับ

ผมเองก็ยังหา contradiction นอกจากที่คุณข้างบนยกมาไม่เจอ

ประเด็นคือ โจทย์เต็มๆเป็นแบบนี้จริงๆหรือเปล่า?

ผมเคยเห็นโจทย์ IMO อยู่ปีนึง ปี 2003 ข้อ 2 นิพจน์คล้ายข้อนี้มาก

หรือว่าโจทย์ที่คุณจูกัดเหลียงตั้งถามเป็น สมมติฐานที่ใช้ในการแก้ IMO ข้อนี้?

ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้จริงๆ ไม่เกี่ยวกับ IMO ข้อนั้น ผมมองว่าน่าจะยากอยู่เหมือนกันครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 30 มิถุนายน 2015, 14:20
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

สุดยอดมากครับ คงผ่านโจทย์มาอย่างโชคโชนเลยสินะครับ
ที่จริงเป็นโจทย์ข้อนี้เเหละครับ เเต่ผมไปเจอมาจากเเหล่งอื่น ( ใน facebook ของคนที่เค้าทำเเบบฝึกหัดเตรียมสอบ IMO 2015 ที่เชียงใหม่ ) เเล้วก็พอดีว่าคิดไม่ออกครับ 5555 เเต่ก็พบว่าที่ผมตั้งถามนั้นเป็นจริง ( ตอนทดครับ คิดว่าไม่น่าจะนำไปสู่คำตอบของต้นฉบับเเหงๆ )

ปล. พอดีว่าห่างหายกับ คณิตศาสตร์มานานครับเลยหาอะไรเเก้เซ็งทำ ( เเต่ก็ไม่ได้ ) ยังไงก็ขอคำชี้เเนะด้วยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 01 กรกฎาคม 2015, 01:51
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

โจทย์ IMO ข้อนี้เป็นโจทย์ Number ที่ใช้เครื่องมือไม่ซับซ้อนครับ

ใช้แค่อสมการมา bound ข้อมูล 3-4 ชุดมาชนกัน เพื่อหาข้อสรุป

Routine การวิเคราะห์โจทย์ไม่ยากเลยครับ ข้อมูลมีไม่กี่ชิ้น

จะลองปลดให้ดูทีละปมแบบนี้นะครับ

1.$2ab^2-b^3+1>0$ ชิ้นแรก มันจะทอนจนเหลือ $2a\geq b$ ได้
ตรงนี้จะสรุปคำตอบออกมาได้อันนึงคือ $(a,b)=(t,2t)$
จากนี้ไปพิจารณา $2a > b$ (เก็บไว้)

2.$a^2 > 2ab^2-b^3+1$ จะทอนจนเหลือ $a>b$ ได้ (เก็บไว้)

3.$a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$ ลดทอนให้เหลือแค่ $a >b^2$ (เก็บไว้)

4.ทีนี้เรามีข้อมูลอสมการ 3 ชิ้น ที่เอาไว้เปรียบเทียบนิพจน์เศษส่วนแล้ว
ต่อไป เราต้องสร้างข้อมูลอีกชิ้น เพื่อจะสรุปคำตอบทั้งหมด (ทำไมต้องทำแบบนี้?)

ส่งต่อ congruence เลย โดยเริ่มจาก $a^2 \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$
และ $2ab^2-b^3+1 \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$

ข้อมูล 2 ชิ้นข้างบนนี้จะสร้างความสัมพันธ์เพื่อนำไปสู่การ bound ค่านิพจน์ได้ครับ
ใช้สมบัติ congruence พื้นฐาน โยงข้อมูล 2 ชิ้นล่าสุดนี้มาชนกัน (ตรงนี้ต้องทำเองครับ)
จะได้ $b^4-b-2a \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$

พอมาตรงนี้ดึงข้อมูลอสมการพวกนั้นมาใช้พิสูจน์ว่า $2ab^2-b^3+1 > b^4-b-2a$ ให้ได้
พิสูจน์ได้แล้วก็ โยงข้อมูล 2 ชิ้นล่าสุดมาสรุปได้เลยครับ
ตรงนี้ต้องรอบคอบหน่อย คำตอบ $(a,b)$ ทั้งหมดจะหลุดออกเองมาครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 01 กรกฎาคม 2015, 02:15
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ขอ Note เพิ่มดังนี้

สังเกตดูครับว่า solution ข้อนี้ทำได้หลายแบบเพราะมันไม่แข็งมาก

และในบรรดา solution พวกนั้นไม่ได้ใช้เครื่องมือระดับสูงเลย นอกจาก vieta jumping

โจทย์ข้อนี้ผมมองว่าเป็นโจทย์อสมการผสมพีชคณิตมากกว่าทฤษฎีจำนวนอีกครับ

------------------------------------------------------------

ถ้าลองมามองภาพรวม ข้อนี้ใช้ vieta jumping แก้ได้

โจทย์ปีเก่าๆ อย่าง 1988/6 2007/5 ก็ใช้เทคนิก vieta แก้ได้

เพราะงั้นโจทย์ IMO สมัยใหม่ๆจะไม่เล่นแนวนี้แล้วครับ

------------------------------------------------------------
กลับมาที่สมมติฐานของคุณจูกัดเหลียง อันนี้ผมยังมองไม่ออกครับว่า ต่อให้เราพิสูจน์ข้อความนั้นได้

เราจะนำมันมาปูบนพิสูจน์จนจบยังไง ผมเองก็ยังไม่ทราบครับ ต้องถามคุณจูกัดเหลียงแล้วละครับ

ว่าจะวางกลยุทธ์แก้ต่อจากจุดนั้นยังไง

-----------------------------------------------------------
โจทย์ที่ใกล้เคียงกันถ้าอยากเอาไปฝึกเพิ่มนะครับ

1998/4 1994/4 1992/1

โจทย์พวกนี้ใช้ทักษะพีชคณิตเด่นกว่าทักษะทางทฤษฎีจำนวนครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 01 กรกฎาคม 2015, 12:17
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post

2.$a^2 > 2ab^2-b^3+1$ จะทอนจนเหลือ $a>b$ ได้ (เก็บไว้)

3.$a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$ ลดทอนให้เหลือแค่ $a >b^2$ (เก็บไว้)
ตรงนี้ทำมายังไงหรอครับ

เเล้วก็ตรง ที่เราต้องการพิสูจน์ว่า $b^4-b-2a<2ab^2-b^3+1$ นี้ถ้าผมทดไม่ผิดคิดว่าไม่จริงครับ เพราะมันจะสมมูลกับ $(b+1)(b-1)(2a+b^2+b+1)<0$ ซึ่งจะขัดเเย้งครับ (ถ้าผิดพลาดยังไงก็ขออภัยด้วยนะครับ)

ปล.ขอบคุณที่ให้คำชี้เเนะครับ จริงๆเเล้วตัวปัญหาในกระทู้นี้ ผมได้กล่าวไว้ใน #5 เเล้วครับว่า คิดว่าไม่น่าจะนำไปสู้คำตอบใน IMO ครับ
ปล2. สมมุติว่า ผมทดผิดเราก็จะได้ว่า $b^4-b-2a=0$ ใช่มั้ยครับ
ปล3. ขอบคุณที่เเนะโจทย์ที่น่าสนใจอีกมากมายนะครับ ส่วนเรื่องของ vieta jumping นี่ผมเกือบลืมไปเเม้กระทั่งชื่อซะเเล้วครับถึงจะเคยเรียนอยู่ก็ตาม
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 01 กรกฎาคม 2015, 12:20
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

เห็นมีกำลัง 3,1 แล้วผมไม่รู้จะ vieta jumping ยังไงเลย

แต่เทคนิค vieta jumping เป็นอะไรที่เจ๋งดีครับ ผมเพิ่งศึกษาได้เมื่อไม่กี่เดือนมานี้เอง
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 01 กรกฎาคม 2015, 14:08
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

พักนี้สะเพร่าบ่อย ขอโทษทีครับคุณ pol จริงๆมันก็ไม่ใช่ vieta jumping เต็มๆหรอกครับ

แค่มีส่วนที่คล้ายบ้างคือ การวิเคราะห์รากกับ contradiction ของสมการกำลังสอง

ลองดูความเห็นแรกครับ http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h94p262

ถ้าไม่มี contradiction ที่ minimality ของรากคงบอกว่าเป็น vieta ไม่ได้เต็มปากแน่ๆ

ผมเองมามองเห็นรากมี contradiction เลยคิดว่าเป็น vieta ครบสูตร

--------------------------------------------------------
ขอโทษทีที่ทำคุณจูกัดเหลียงสับสนครับ เรารู้ว่า $\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \in \mathbb{N}$

เพราะฉะนั้น $2ab^2-b^3+1 > 0$ และ $a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$

อสมการ $2ab^2-b^3+1$ > $b^4-b-2a$ ที่เราพยายามพิสูจน์

เรารู้ว่าสีแดงเป็นบวก ต้องได้สีเขียวถ้าไม่เป็นศูนย์ต้องเป็นลบครับ

คู่กับข้อมูลชิ้นนี้ $b^4-b-2a \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$

มันจะ force ว่า $b^4-b-2a=0$ ตามที่เข้าใจครับ (สรุป $(a,b)$ ได้คำตอบนึง)

และยังมีกรณีที่ $b^4-b-2a < 0$ ด้วยครับ (ตรงนี้จะสรุปได้อีกคำตอบ)

กรณีล่าง เรามองเป็นจำนวนเต็มบวก $-(b^4-b-2a)$ และจากการที่มันมี $2ab^2-b^3+1$ เป็นตัวประกอบ

ทำให้ $\frac{-(b^4-b-2a)}{2ab^2-b^3+1} \in \mathbb{N}$ ดังนั้น $2ab^2-b^3+1 \leq -(b^4-b-2a)$ จัดเป็น $2a(1-b^2) \geq (b-1)^2(b^2+b+1)$

วิเคราะห์ซ้ายขวาของอสมการจะ force ว่า $b=1$ ครับ
----------------------------------------------------------
เดี๋ยวผมพิสูจน์ $a>b^2$ ให้ดู จาก $a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$

จัดเป็น $a^2 \geq (2a-b)b^2+1> ab^2+1 > ab^2$ อสมการตรงกลางเป็นผลมาจาก $a>b$

ซึ่งก่อนหน้าการพิสูจน์ $a>b^2$ ต้องพิสูจน์ว่า $a>b$ ก่อนครับ ถึงเอามาใช้ได้

พิสูจน์เสร็จแล้วก็มี $a>b^2$ ไว้ใช้พิสูจน์ $2ab^2-b^3+1 > b^4-b-2a$

แค่นี้ข้อมูลทุกชิ้นก็ต่อเป็น solution ได้แล้วครับ
-----------------------------------------------------------
note เพิ่ม vieta jumping เป็นเทคนิกที่ไม่ต้องเน้นมากสำหรับ IMO ครับ

แนวนั้นเขาไม่เล่นกันแล้วครับ ยังมีเทคนิกทางทฤษฎีจำนวนอีกมากที่น่าสนใจ

Zsigmondy's theorem
Hensel's Lemma
Lifting Exponent
Primitive Root
Order+congruence

พวกนี้รวมทั้ง vieta jumping จะช่วยให้เรามีอุปกรณ์แก้โจทย์มากขึ้น

แต่มันไม่มีหลักประกันว่าเจอข้อสอบ IMO ใหม่ๆแล้วจะเอาอยู่

ข้อสอบ IMO สมัยนี้ทำแค่ข้อสอบปีเก่าๆไปไม่พอแล้วครับ

ข้อสอบยากขึ้นกว่าเมื่อปีก่อนๆพอสมควร
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 01 กรกฎาคม 2015, 19:07
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากๆครับ กระจ่างขึ้นมาก อันนี้มั่วๆครับ คิดว่าคุณ Aquila น่าจะให้ผมฝึกเล่นๆ

พิสูจน์ว่า $a>b$ โดยสมมุติ $a\le b$ จาก $a^2>2ab^2-b^3+1=b^2(2a-b)+1>a^2(2a-b)$ เพราะ $2a>b$ เเละได้ว่า $2a-b<1 \rightarrow b< 2a<b+1$ จึงเกิดข้อขัดเเย้งครับ

ปล.ขอบคุณมากๆจริงๆครับ คือทิ้งมานานมากกก ต้องเคาะสนิมอีกเยอะกว่าจะกากได้เท่าเดิมครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 01 กรกฎาคม 2015, 22:16
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

ใช้เอกลักษณ์นี้ไม่ได้เหรอครับ

สำหรับ $x$ เป็นจำนวนเต็ม $y,z$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์
$x \mid yz \rightarrow x \mid \gcd (x,y) \gcd (x,z)$

ให้ $x \mid yz$
จะพิสูจน์โดยการดูแต่ละจำนวนเฉพาะ $p$
ถ้า $p^{\alpha} \Vert x$ , $p^{\beta} \Vert y$, $p^{\gamma} \Vert z$

จะได้ $\alpha \le \beta +\gamma$
แยกเคสนิดหน่อยจะได้ว่า $\alpha \le \min (\alpha,\beta) +\min (\alpha,\gamma)$

ดังนั้น $x \mid \gcd (x,y) \gcd (x,z)$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

01 กรกฎาคม 2015 22:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 02 กรกฎาคม 2015, 07:06
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

#10 Zsigmondy ผมว่าก็โกงดีครับ 555 (มีสอนในฟอสซิล) แต่ข้อเสียคือ บทพิสูจน์ทฤษฎีมันเข้าถึงยากมาก แต่โจทย์ที่ใช้เรื่องนี้ก็สวยดีครับ
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 05 กรกฎาคม 2015, 20:40
เด็กหน้าห้อง เด็กหน้าห้อง ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 1
เด็กหน้าห้อง is on a distinguished road
Default

ช่วยสอนหน่อยคะ ทำไม่ได้
ถ้า a และ b เป็นจำนวนคี่แล้ว จงแสดงว่า 8| (a^2-b^2 )ขอบคุณคะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ช่วยทำโจทย์ให้หน่อยคะ มี 2 ข้อ วิชา Number Theory Jespata_ninin คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 1 12 พฤษภาคม 2015 02:21
number theory Anubis ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 1 20 สิงหาคม 2013 23:13
หาจำนวนเต็มบวก a ที่น้อยที่สุด ช่วยแก้โจทย์ number theory ให้หน่อยค่ะ pinkysupa ทฤษฎีจำนวน 4 15 กันยายน 2011 17:30
อยากทราบแขนงของวิชา NUMBER THEORY ครับ pure_mathja ทฤษฎีจำนวน 11 03 ตุลาคม 2008 21:24
ถามโจทย์เกี่ยวกับ number theory ซัก 2 ข้อนะครับ chaitung ทฤษฎีจำนวน 4 05 ตุลาคม 2007 09:00

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:53


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha