อนุกรม(อีกแล้วอ่าครับ T_T)

[Kira Yamato]

1.จงหาผลบวก n พจน์แรกของ $1\bullet (2+3)+2\bullet(3+4)+3\bullet(4+5)+5\bullet(6+7)+...$
(ผมไม่แน่ใจว่าโจทย์มันผิดหรือเปล่าอ่าครับ พจน์ที่4 มันแปลกๆ เลยไม่รู้จะคิดยังไงอ่าครับ)
2.นำบอลทรงกลมมาจัดเรียงเป็นชั้นๆเป็นรูปพิระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยแต่ละชั้นเรียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกัน
ถ้าชั้นฐานล่างสุด มีลูกบอกด้านละ20ลูก และชั้นบนสุด มีลูกบอล 1 ลูก จงหาจำนวนลูกบอลทั้งหมดในกองนี้
3.จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $ 1^2+(1^2+2^2)+(1^2+2^2+3^2)+...$
4.จงหาค่าของ $(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...)^5 $
5.ให้ $Sn=1^3+2^3+3^3+...+n^3$ จงหาค่าของ $\frac{1}{\sqrt{S1}}+\frac{1}{\sqrt{S2}} +\frac{1}{\sqrt{S3}}+...+\frac{1}{\sqrt{Sn}}$
6.จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $\frac{3}{1\bullet4}+\frac{5}{4\bullet9}+\frac{7}{9\bullet16}+...+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}+...$
7.จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2^n}+...$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

2.นำบอลทรงกลมมาจัดเรียงเป็นชั้นๆเป็นรูปพิระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยแต่ละชั้นเรียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกัน
ถ้าชั้นฐานล่างสุด มีลูกบอกด้านละ20ลูก และชั้นบนสุด มีลูกบอล 1 ลูก จงหาจำนวนลูกบอลทั้งหมดในกองนี้

$1^2 +2 ^2 +3^2 +...+ 20 ^2 = \frac{1}{6} (n)(n+1)(2 n+1) = \frac{1}{6} (20)(20+1)(2 \cdot 20 +1) = 2870$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

4.จงหาค่าของ $(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...)^5 $

$\because \ \ \ 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

$ \frac{1}{1+2+3+...+n} = \frac{2}{n(n+1)} = 2 (\frac{1}{n(n+1)}) = 2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...\frac{1}{1+2+3+4+...n}) = 2(1- \frac{1}{n+1}) = 2(\frac{n}{n+1})$

$(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...\frac{1}{1+2+3+4+...n})^5 = 2^5(1- \frac{1}{n+1})^5 = 32(\frac{n}{n+1})^5$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

6.จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $\frac{3}{1\bullet4}+\frac{5}{4\bullet9}+\frac{7}{9\bullet16}+...+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}+...$

$\because \frac{3}{1\bullet4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2^2}$

$\because \frac{5}{4\bullet9} = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}$
.
.
.
$\because \frac{2n+1}{ n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$

บวกๆๆๆๆกันลงมา จะตัดๆๆๆๆๆกัน เหลือ

$1 - \frac{1}{(n+1)^2} \ $ หรือ $\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$

[Kira Yamato]

ขอบคุณมากครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

7.จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$

โจทย์น่าจะเป็น
$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{6}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$
หรือว่าจริงๆพจน์ที่$n$ ใน$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$.....จะเป็น$\dfrac{2n+1}{2^n}$

ผมว่าลุงBankerกำลังทำข้อ7...อยู่แน่เลย

ผมแปลง $\frac{2n+1}{2n}=1+\frac{1}{2n}$
จะได้อนุกรมจาก$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$ เป็น
$1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{4}+1+\frac{1}{8}+...+1+\frac{1}{2n}+...$
$=n+\left(\,\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}\right) $
ผมหาผลรวมของ$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}$...ยังไม่ออก

ถ้าเป็น$a_n=\dfrac{2n+1}{2^n}$
$S=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2^n}$........(1)

$\frac{1}{2} S=\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+...+\frac{2n+1}{2^{n+1}}$........(2)

(1)-(2);$\frac{1}{2} S=\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2^{n+1}}+\left(\,\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right) $

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$

$\frac{1}{2} S=\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2^{n+1}}+\left(\,1-\frac{1}{2^{n-1}}\right) $

$S=5-\left(\,\frac{2n+1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-2}}\right) $

$S=5-\frac{1}{2^n}\left(\,2n+5\right) $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

7.จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$

โจทย์น่าจะเป็น
$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{\color{red}{2^n}}+...$


แต่ก็ยังไปไม่ถูก

[Kira Yamato]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

โจทย์น่าจะเป็น
$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{6}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$
หรือว่าจริงๆพจน์ที่$n$ ใน$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$.....จะเป็น$\dfrac{2n+1}{2^n}$
:

เอ่อ ขอโทษครับ พจน์ที่n เป็น $\frac{2n+1}{2^n}$ แหละครับ ขอบคุณมากครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

โจทย์น่าจะเป็น
$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{6}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$
หรือว่าจริงๆพจน์ที่$n$ ใน$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$.....จะเป็น$\dfrac{2n+1}{2^n}$

ผมว่าลุงBankerกำลังทำข้อ7...อยู่แน่เลย

ผมแปลง $\frac{2n+1}{2n}=1+\frac{1}{2n}$
จะได้อนุกรมจาก$\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2n}+...$ เป็น
$1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{4}+1+\frac{1}{8}+...+1+\frac{1}{2n}+...$
$=n+\left(\,\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}\right) $
ผมหาผลรวมของ$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}$...ยังไม่ออก

ถ้าเป็น$a_n=\dfrac{2n+1}{2^n}$
$S=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2^n}$........(1)

$\frac{1}{2} S=\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+...+\frac{2n+1}{2^{n+1}}$........(2)

(1)-(2);$\frac{1}{2} S=\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2^{n+1}}+\left(\,\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right) $

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$

$\frac{1}{2} S=\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2^{n+1}}+\left(\,1-\frac{1}{2^{n-1}}\right) $

$S=5-\left(\,\frac{2n+1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-2}}\right) $

$S=5-\frac{1}{2^n}\left(\,2n+5\right) $

คุณกิตติเดาใจถูก


ข้อ 1 กับ ข้อ 5 เดี๋ยวคืนนี้มาทำให้ครับ

อ้อ ... สองข้อนี้ โจทย์ผิดด้วย จขกท. ช่วยแก้ด้วยครับ

[Amankris]

ข้อ 1
ถ้ามั่นใจว่าถูก ก็อาจจะเป็น Fibonacci number ก็ได้ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

1.จงหาผลบวก n พจน์แรกของ $1\bullet (2+3)+2\bullet(3+4)+3\bullet(4+5)+5\bullet(6+7)+...$
(ผมไม่แน่ใจว่าโจทย์มันผิดหรือเปล่าอ่าครับ พจน์ที่4 มันแปลกๆ เลยไม่รู้จะคิดยังไงอ่าครับ)

สมมุติว่าโจทย์เป็นแบบนี้
1.จงหาผลบวก n พจน์แรกของ $1\bullet (2+3)+2\bullet(3+4)+3\bullet(4+5) $$+4\bullet(5+6)$$+5\bullet(6+7)+...$

จะได้ $a_n $
$= n[(n+1)+(n+2)]$

$ = n[(n+1)+(n+1)+1]$

$= n[2(n+1)+1]$

$ = 2n(n+1) +n$

$ = 2[\color{blue}{n(n+1)}] +n$

แต่ $1\bullet2 + 2\bullet3 + 3\bullet4 + ... + n\bullet(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} $

$\therefore \ \ S_n =2[\frac{n(n+1)(n+2)}{3}] +n^2 = \frac{2}{3}n(n+1)(n+2) +n^2$


มาคิดใหม่ ได้อีกสูตร $S_n = n(n+1)(\frac{4n+11}{6})$


วันนี้ชักมึนแล้ว พรุ่งนี้มาทำต่อครับ




9:49 28/6/2554

เช้านี้มาต่อครับ ยกเลิกข้อความข้างต้น เอาใหม่ครับ

$1\bullet (2+3)+2\bullet(3+4)+3\bullet(4+5) $$+4\bullet(5+6)$$+5\bullet(6+7)+...$

$ = (1\bullet2 + 1 \bullet3) + (2 \bullet 3 + 2 \bullet 4) + (3 \bullet 4 + 3 \bullet 5) + (4\bullet 5 + 4 \bullet6) + ...$

$ = (1\bullet2 + 2 \bullet 3 + 3 \bullet 4 + 4\bullet 5 + ... + n(n+1)) + (1 \bullet3 + 2 \bullet 4 +3 \bullet 5 +4 \bullet6 + ... ) $

$ = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (1 \bullet3 + 2 \bullet 4 +3 \bullet 5 +4 \bullet6 + ... +n(n+2)) $

$ = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (1 \bullet3 )+ (2 \bullet 4) + (3 \bullet 5) + (4 \bullet6) + ... +n(n+2) $


$ = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (1 \bullet(1+2) )+ (2 \bullet (2+2)) + (3 \bullet (3+2)) + (4 \bullet (4+2)) + ... +n(n+2) $

$ = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (1^2 +1\bullet2) )+ (2^2 + (2\bullet2)) + (3^2 + (3\bullet2)) + (4^2 +(4\bullet2)) + ... +n^2+n\bullet2) $

$ = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (1^2 +1\bullet2) )+ (2^2 + (2\bullet2)) + (3^2 + (3\bullet2) ) + (4^2 +(4\bullet2)) + ... +n^2+n\bullet2) $


$ = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2) + 2(1+2+3+4+...+n)$

$ = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)) + 2(\frac{n(n+1)}{2})$

$ = n(n+1) [(\frac{(n+2}{3}) +(\frac{(2n+1}{6}) +1]$

$ S_n = n(n+1)\frac{4n+11}{6}$

Final เสียที

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

5.ให้ $Sn=1^3+2^3+3^3+...+n^3$ จงหาค่าของ $\frac{1}{\sqrt{S1}}+\frac{1}{\sqrt{S2}} +\frac{3}{\sqrt{S3}}+...+\frac{n}{\sqrt{Sn}}$

$Sn=1^3+2^3+3^3+...+n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$

$\sqrt{Sn} = \frac{n(n+1)}{2} $

$ \frac{1}{\sqrt{Sn} } = \frac{1 }{\frac{n(n+1)}{2}}$

$ \frac{n}{\sqrt{Sn} } = \frac{2n }{n(n+1)} = \frac{2}{n+1} = 2n(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

ถ้าเป็น $\frac{1}{\sqrt{S1}}+\frac{1}{\sqrt{S2}} +\frac{1}{\sqrt{S3}}+...+\frac{1}{\sqrt{Sn}}$

จะได้ ผลรวมเท่ากับ $2(1- \frac{1}{n+1})$





ถ้าโจทย์เป็น จงหาค่าของ $\frac{1}{\sqrt{S1}}+\frac{2}{\sqrt{S2}} +\frac{3}{\sqrt{S3}}+...+\frac{n}{\sqrt{Sn}}$

$ \frac{n}{\sqrt{Sn} } = \frac{2n }{n(n+1)} = \frac{2}{n+1}$

$ \frac{1}{\sqrt{S1} } = \frac{2}{1+1} = \frac{1}{1}$

$ \frac{2}{\sqrt{S2} } = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

$ \frac{3}{\sqrt{S3} } = \frac{2}{3+1} = \frac{2}{4}$

$ \frac{4}{\sqrt{S4} } = \frac{2}{4+1} = \frac{2}{5}$
.
.
$ \frac{n}{\sqrt{Sn} } = \frac{2}{n+1} $

ผลรวมของ $\frac{1}{\sqrt{S1}}+\frac{2}{\sqrt{S2}} +\frac{3}{\sqrt{S3}}+...+\frac{n}{\sqrt{Sn}}$

$ = 1+2(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} +...+ \frac{1}{n+1})$


ไปต่อยังไงหว่า ?

[lek2554]

ข้อ 5 โจทย์จริงเป็นแบบนี้ครับ

[Keehlzver]

ข้อ 3 พิมพ์ผิดใช่ไหมครับ เลขชี้กำลังพจน์ $3^3$ ต้องเป็น $3^2$ ถ้าใช่ผมขอตอบแบบข้างล่างครับ

$1^2+(1^2+2^2)+(1^2+2^2+3^2)+...+(1^2+2^2+...+n^2)=\frac{n(n+1)^2(2n+1)}{6}-(\frac{n(n+1)}{2})^2$

[Kira Yamato]

ครับ ขอโทษครับ