http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra23/sermpra23p04.shtml

[Influenza_Mathematics]

ตรงแทนค่า $a,b,c$ เพื่อหา $k$ นี่เราแทนอะไรก็ได้เลยใช่ไหมครับ

[Yuranan]

ใช่ครับ หรืออีกวิธีใช้การเทียบสัมประสิทธิ์เอาครับ

[Influenza_Mathematics]

ถามเพิ่มครับ สมมุติมันดีกรีสูง ๆ เช่น
$a^{543}(b-c) + b^{543}(c-a) + c^{543}(a-b)$ จะหาพหุนาม cyclic ที่เป็นตัวประกอบหมดหรอครับ

[Influenza_Mathematics]

ปลุก ๆ หน่อยครับ

[nooonuii]

สำหรับ $n\geq 3$

$a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b)=(a-b)(b-c)(a-c)P(a,b,c)$

เมื่อ $P(a,b,c)$ คือ ผลบวกของพหุนามสมมาตรกำลัง $n-2$ ทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์ในทุกเอกนามเท่ากับ $1$

เช่น $n=5$

หา $P(a,b,c)$ ได้จากการแตก $3$ ออกมาเป็นผลบวกของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสามตัว

และเรียงค่าจากมากไปหาน้อยเพื่อความสะดวก ซึ่งมีทั้งหมด $3$ แบบคือ $[3,0,0],[2,1,0],[1,1,1]$

จากนั้นก็สร้างพหุนามสมมาตรตามแต่ละแบบจะได้

$a^3+b^3+c^3$

$a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2$

$abc$

ดังนั้น $P(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a+abc$

จึงได้

$a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)=(a-b)(b-c)(a-c)(a^3+b^3+c^3+ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a+abc)$

[Amankris]

เพิ่มเติม #5

ควรจะมีค่าคงที่ด้วยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

เพิ่มเติม #5

ควรจะมีค่าคงที่ด้วยนะครับ

ค่าคงที่ตรงส่วนไหนครับ ไม่เข้าใจ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เมื่อ $P(a,b,c)$ คือ ผลบวกของพหุนามสมมาตรกำลัง $n-2$ ทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์ในทุกเอกนามเท่ากับ $1$

ตรงนี้ผมไม่แน่ใจว่ามีสัมประสิทธิ์เป็น 1 แน่นอนหรือเปล่า

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ดังนั้น $P(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a+abc$

ควรจะเป็น $P(a,b,c)=k_1(a^3+b^3+c^3)+k_2(ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a)+k_3abc$

แล้วค่อยแทนค่าหา $(k_1,k_2,k_3)$ ได้ $(1,1,1)$ ทีหลังน่ะครับ

[nooonuii]

ผมไม่ได้แสดงวิธีพิสูจน์ให้ดูครับ แค่เอาสูตรมาให้ดูและยกตัวอย่างประกอบเพื่อให้เห็นภาพว่า $P(a,b,c)$ หน้าตาเป็นยังไง