โจทย์ฝึกหัด Step Pro

[[SIL]]

อัพเดทข้อ 11-15 นะครับ (เผื่อมคนยังอยากเล่น ความยากเพิ่มขึ้นมาบ้าง)
1. $\sqrt{2x-5}+\sqrt{x+3}=\sqrt{3x-2}$
2. $(x+1)^3+(2x-3)^3=(3x-2)^3$
3. $\sqrt{x^2-x-6}+\sqrt{x^2-x-2}=\sqrt{2x^2-2x-8}$
4. ถ้า $a+\frac{1}{a}=3$
แล้ว $a^6-\frac{1}{a^6}$ มีค่าเท่าใด
5. $[\frac{\sqrt{3}-1}{2}]^{x^2+2x}=[\sqrt{3}+1]^{-3}$
6. $(x+y)(x^2+y^2)=5500,(x-y)(x^2-y^2)=352$ ถ้า x>y แล้ว x-3y มีค่าเท่าใด
7. จงหารากของสมการ$5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}))=6x+8\sqrt{1-x^2})$
8. หารากของสมการ $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=\frac{4x-1}{2}$
9. หารากของสมการ $\sqrt{x^2+4x-4}+\sqrt{x^2+4x-10}=6$
10. หารากของสมการ $\sqrt{3x^2-7x-30}+\sqrt{2x^2-7x-5}=x+5$
11. จงหารากของสมการ $[6(5x+6)]^{\frac{1}{3}}-[5(6x-11)]^{\frac{1}{3}}=1$
12. กำหนด $m>n$ โดย $m^{m-n} = n^{27}$และ $n^{m-n} = m^3$ จงหาค่าของ $n^4-mn^3-mn+m^2$
13. กำหนดให้ $\frac{\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}}{\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}} = \frac{a}{b}$ เมื่อ $a,b,x,y$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ $0$ โดย $x^2\not=y^2$ และ $a=2xy $ จงหา $a+b$

14.ให้ $a,b$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-14x+1 = 0$ และให้ c,d เป็นคำตอบของสมการ $x^2-7x+1 = 0$ จงหาค่าของ $(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)$ เป็นเท่าไร

15. ให้ $A, B, C$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-5x^2+3x-4 = 0$ จงหาค่าของ $A^2+B^2+C^2$

ไฟล์รวมโจทย์ปัญหา ม.ต้น ความยากปานกลาง

http://www.pkmaths.com/download/M123.pdf

[MirRor]

เอ่อ ของ 1 2 3 5เนี่ย ไม่ทราบว่าให้หาค่า x หรือเปล่า?

[[SIL]]

ครับ ให้หาคำตอบของสมการพอดีคุณ The TaNgz เขาขอมาน่ะครับ

[The TaNgz]

โอ้ว ทำไม่เปน
T^T

[กรza_ba_yo]

อืม โจทย์น่าสนใจมากคับ

ขอเวลาไปคิดแปปนึงนะคับ(น่าจะไม่เกิน 1 ชาตินะคับ)

[ZnebKiller]

2. ให้ $a=x+1 , b=2x-3 , c=3x-2$
ทำให้ได้ว่า $a+b=c\rightarrow (1)$
นำ (1) ยกกำลังสาม
จะได้ว่า $a^3+b^3+3ab(a+b)=c^3$
แต่ $a+b=c$
$\therefore a^3+b^3+3abc=c^3$
และจาก $a^3+b^3=c^3$
$\therefore c^3+3abc=c^3$
$3abc=0$
$x=-1 , \frac{3}{2} , \frac{2}{3}$
_________________________________
5. $[\sqrt{3}+1]^{-3}$
$=\frac{1}{[\sqrt{3}+1]^{3}}$
$=\frac{1}{[\sqrt{3}+1]^{3}}\times [\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}]^3$
$=[\frac{\sqrt{3}-1}{2}]^3$
$\therefore x^2+2x=3$
$x^2+2x-3=0$
$(x+3)(x-1)=0$
$x=-3 , 1$

[teamman]

ข้อแรกนะครับ ให้$\sqrt{a}$= 2x-5 และ $\sqrt{b}$= x+3
จะได้สมการเป็น $\sqrt{a}+ \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$
$a +2\sqrt{ab}+b = a+b$
ab = 0
ทนค่ากลับลงไป จะได้ (2x-5)(x+3) = 0
x=$ \frac{5}{2}, -3 $ แต่-3 ใช่ไม่ได้เนื่องจากใต้รูทต้องไม่ติดลบ
ดังนั้น x จึงเท่ากับ $\frac{5}{2} $ค่าเดียวคับ
ข้อ 2 ก็ใข้ทริกนี้ได้เหมือนกันคับ

[teamman]

ข้อ 4 คับ
เรามาลองแปลงโจทย์ให้อยู่ในรูปสวยๆก่อนคับ
จากโจทย์คือ $a^6 - \frac{1}{a^6} = (a^3-\frac{1}{a^3})(a^3+\frac{1}{a^3})$
$= (a-\frac{1}{a})(a^2+1+\frac{1}{a^2})(a+\frac{1}{a})(a^2-1+\frac{1}{a^2}) $

เรามาดูดโจทย์กันดจทย์ให้ตัวนี้มาคับ
$ a+\frac{1}{a} = 3$
$ (a+\frac{1}{a})^2 = 9$
$a^2+2+\frac{1}{a^2}=9$
$a^2+\frac{1}{a^2} = 7$
แต่ในโจทย์ที่เราแปลงมีตัวนี้ด้วยครับ $a-\frac{1}{a}$
เหอๆ เราลองนึกถึงสูตรกำลัง 2 สมบุณดูสิคับ ถ้ากรณีบวก ตัวกลางก็จะต้องเป็น บวก2 หน้าหลัง แต่ถ้าเป็นลบ มันก็ตั้งเป็น ลบ2หน้าหลัง
งั้นก็ลุยเลยคับ
$a^2+\frac{1}{a^2} = 7 $
$a^2+\frac{1}{a^2} -2 = 5$
$(a-\frac{1}{a})^2$ = 5
$a-\frac{1}{a} =\sqrt{5}$
ที่เหลือกก็จัดการแทนค่าเลยคับ


$\sqrt{5}(6)(3)(8)$ = $144\sqrt{5}$
ดังนั้น $a^6 - \frac{1}{a^6}$ =$144\sqrt{5}$ คับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้ หรือทำตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด เรียงลำดับจากง่ายไปยากนะครับ

3. $\sqrt{x^2-x-6}+\sqrt{x^2-x-2}=\sqrt{x^2-2x-8}$

ผมว่าข้อ 3 โจทย์น่าจะผิดครับเพราะดูจากบริบทของโจทย์ก่อนหน้านั้นที่ถูก โจทย์ควรเป็นอย่างนี้ครับ
3. $\sqrt{x^2-x-6}+\sqrt{x^2-x-2}= \sqrt{2x^2-2x-8}$
แต่ถ้ายืนยันว่าโจทย์ถูกคำตอบก็จะเป็น เซตว่าง ครับ

[[SIL]]

อ่อประทานโทษครับพอดีไม่ได้เอาโจทย์มาจากหังสือไม่มีถูกไม่มีผิดครับ แก้ไขให้แล้วนะครับ

[ZnebKiller]

งั้นก็มาทำข้อสามเลยนะครับ
ให้ $A=x^2-x$
$\therefore \sqrt{A-6}+\sqrt{A-2}=\sqrt{2A-8}$
ยกกำลังสอง จะได้เป็น $A-6+2\sqrt{(A-6)(A-2)}+A-2=2A-8$
$2\sqrt{(A-6)(A-2)}=0$
$\therefore A=6 , 2$
จาก $A=6$ ทำให้ได้ว่า $x^2-x-6=0$
$(x-3)(x+2)=0$
$x=3 , -2$
และจาก $A=2$ ทำให้ได้ว่า $x^2-x-2=0$
$(x-2)(x+1)=0$
$x=2 , -1$
$\therefore x=-2,-1,2,3$ครับ

[HaPPyBoy]

9. หารากของสมการ $\sqrt{x^2+4x-4}+\sqrt{x^2+4x-10}=6$

รากของสมการหมายถึงค่า x หรือเปล่าอะครับถ้าใช้ก็ ...
ให้ $A=x^2+4x$

$\sqrt{A-4}+\sqrt{A-10}=6$
$(\sqrt{A-4}+\sqrt{A-10})^2=6^2$
$(A-4)+2\sqrt{(A-4)(A-10)}+(A-10)=36$
$2A+2\sqrt{(A-4)(A-10)}=50$
$A+\sqrt{(A-4)(A-10)}=25$
$\sqrt{(A-4)(A-10)}=25-A$
$(\sqrt{(A-4)(A-10)})^2=(25-A)^2$
$(A-4)(A-10)=(25-A)^2$
$A^2-14A+40=625-50A+A^2$
$36A=585$
$A=585/36$
$A-585/36=0$
$x^2+4x-585/36=0$

จากนั้นก็เข้าสูตร $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ได้ $x=\frac{5}{2} , \frac{-13}{2}$
รากของสมการติดลบไม่ได้ใช่ปะครับ ก็ได้เป็น $x=\frac{5}{2}$

ช่วยแนะนำด้วยนะครับ เป็นครั้งแรกของผมอะครับ ^^"

[[SIL]]

ถ้าอยากทำให้ไม่ลายตาขึ้นควรให้ $A=\sqrt{x^2-4x-4} หรือ A=\sqrt{x^2-4x-10}$ ไปเลยครับ แต่ทำแบบนี้ก็ไม่ผิดครับแต่ต้องเถือกเพราะเลขไม่น่ากอด เดี๋ยวผมลองทำดูนะ
ให้ $A=x^2-4x-4$ จะได้โจทย์ใหม่ว่า
$\sqrt{A} + \sqrt{A-6} = 6$
$\sqrt{A} = 6-\sqrt{A-6}$
$A = 36 - 12\sqrt{A-6} + A - 6$
$12\sqrt{A-6}=30$
$2\sqrt{A-6}=5$
$A-6=\frac{25}{4}$
ขี้เกียจทำต่อ พอแทนค่ากลับ ผมยังไม่พอใจในความสวยวิธีของผม
ลองดูวิธ๊นี้ดีกว่านะครับ
ให้ $A=\sqrt{x^2-4x-4} , B=\sqrt{x^2-4x-10}$
จากโจทย์จะได้ว่า
$A+B=6 \rightarrow (1)$
$A^2-B^2=6 \rightarrow (2)$
$A-B=1 \rightarrow \frac{(1)}{(2)}=(3)$
$A= 3.5 \rightarrow\frac{(1)+(3))}{2} = (4)$
แทนค่า A กลับไม่สวยอีกแต่ก็ดีที่เร็วกว่า TT

[HaPPyBoy]

อ๋อ OK คับ
ขอบคุณมากนะครับ วันนี้ไปนอนก่อนละครับ บายครับ

[square1zoa]

ขอแสดงอีกวิธีหนึ่ง
ให้$\sqrt{x^2+4x-4}=A,\sqrt{x^2+4x-10}=B$
เห็นว่า $$A+B=6,A^2-b^2=6$$
ดังนั้น $$A=3.5,B=2.5$$
แทนค่ากลับ จะได้ว่า $x^2+4x-16.25=0$ ไม่ว่าเราจะแทนค่า $A,B$ ก็ตาม
$\therefore x=5/2,-13/2$ ไม่รู้ทำไมผมแทน $-13/2$ ในรากก็ยังได้อยู่