Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 25 ตุลาคม 2014, 18:50
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default [สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2557] ข้อสอบปิดค่าย 1 ตค 57

เวลาทำข้อสอบ $3$ ชั่วโมง

$Logic$ $and$ $Proof$

1.ให้ $r\in \mathbb{Q}^+$ จงแสดงว่า $\exists x,y \in \mathbb{Q}^+$ $$ r=2x+3y$$

2.จงแสดงว่า $$ \left\{\frac{n}{2} \right\} = \frac{1-(-1)^{n}}{4}$$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ เมื่อ $ x=\left\lfloor\ x\right\rfloor +\left\{\ x\right\}$

3.กำหนดให้ $a_1=5, a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ จงแสดงว่า $$a_{n}=3^n+2^n$$

4.จงแสดงว่า $\sqrt{3}$ ไม่สามารถเขียนอยู่ในรูป $a+\sqrt{2}b$ เมื่อ $a,b\in \mathbb{Q} $

5.$f,g :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ และ $fog(x)=x^3$ จงแสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่น $1-1$ ก็ต่อเมื่อ $g$ เป็นฟังก์ชั่นทั่วถึง

$Number$ $Theory$

1.จงแสดงว่า $12\mid 3*{5^n} + 2*{7^n}+7 $สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

2.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ มากมายเป็นอนันต์ ซึ่ง $10^{n}+1$ เป็นจำนวนประกอบ

3.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $n\mid p^6-1$ สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$

4.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $p\mid 2^{p^2}+1$

$Algebra$

1. ให้ $\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=2557$ จงหาค่าของ $$ (\frac{x}{y-z})^2 + (\frac{y}{z-x})^2 + (\frac{z}{x-y})^2 $$

2.$P(x)=x^4-59x^3+kx^2-2557x+2014$ ถ้าผลคูณราก $2$ ตัวของพหุนาม เท่ากับ $53$ จงหาค่า $k$

3.$P(x^3)+xQ(x^3)=x^2+x+1$ จงแสดงว่า $x-1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$ *******โจทย์ผิด

$Combinatorics$

1. ผู้ชาย $8$ คน ผู้หญิง $6$ คน เรียง 8 คนหน้ากระดานโดยที่ผู้ชายไม่ติดกันได้กี่วิธี (เขียนคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)

2. มีแซนวิซ $6$ ชนิด ชนิดละ $10$ ชิ้นที่เหมือนกัน จงหาจำนวนวิธีในการเลือกแซนวิซ $20$ ชิ้น

3.ให้ $n$ เป็นจำนวนคี่ จงแสดงว่า $$\binom{n}{1} +\binom{n}{2}+...+\binom{n}{\frac{n-1}{2}} \ เป็นจำนวนคี่ $$

4. จงใช้เหตุผลเชิงการนับแสดงว่า $2^{2^n+1}[(2^n)!]^3$ หาร $(2^{n+2})!$ ลงตัว

$Geometry$

1.จงแสดงว่าเส้นตรงที่ลากปิดหัวท้ายของเส้นขนานที่ยาวเท่ากัน ย่อมขนานและยาวเท่ากัน

2.จงแสดงว่าสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกันนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3.จงแสดงว่าเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดๆหนึ่งและจุดนั้นแบ่งอัตราส่วนภายในเส้นมัธยฐานนับตั้งแต่จุดยอดเป็น $2:1$

4.จงแสดงว่า มุมที่เส้นสัมผัสทำกับคอร์ดมีขนาดเท่ากับมุมในส่วนโค้งที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น

5.ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม $ABC$ เส้นแบ่งครึ่งมุม $A$ ตัด $BC$ ที่จุด $D$ ลากเส้นจากจุด $D$ ไปตั้งฉาก $AO$ ตัด $AC$ ที่จุด $P$ จงพิสูจน์ว่า $AB=AP$
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

01 พฤศจิกายน 2014 10:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 9 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
เหตุผล: แก้โจทย์บางส่วนเพื่อความถูกต้อง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 25 ตุลาคม 2014, 19:43
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

เพิ่มโจทย์ให้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 25 ตุลาคม 2014, 20:14
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับอาจารย์ nooonuii
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 26 ตุลาคม 2014, 13:39
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

พีชคณิตข้อสุดท้ายครับ กลับมาลองคิดอีกที
ผมแทน $1,w,w^2$ เมื่อ $w = cis(\frac{2\pi}{3})$ เอาสามสมการมาบวกกันจะได้ $3P(1)=3$ , $P(1)=1$ มันก็ไม่น่าจะเป็นตัวประกอบของ $P(x)$ นี่ครับ โจทย์ข้อนี้ไม่ได้มีเงื่อนไขเพิ่มเติมนะครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 26 ตุลาคม 2014, 14:03
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

สรุปว่าข้อนี้โจทย์ผิดนะครับ ถามอาจารย์ผู้ออกข้อสอบแล้วครับ ข้อสอบที่ถูกจะเป็น $P(x^3)+xQ(x^3)=(x^2+x+1)(S(x))$
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 31 ตุลาคม 2014, 21:29
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth View Post
$Number$ $Theory$
4.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $p\mid 2^{p^2}-1$
จาก Fermat's thm. $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $ และจากโจทย์ $2^{p^2}\equiv 1 \pmod{p} $

ให้ $d$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่ง $2^d \equiv 1 \pmod{p} $

ดังนั้น $d \mid p-1$ และ $d \mid p^2$

จะได้ $d=1$ เท่านั้น

ดังนั้น ไม่มี $p$ ดังกล่าว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 01 พฤศจิกายน 2014, 10:53
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า View Post
จาก Fermat's thm. $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $ และจากโจทย์ $2^{p^2}\equiv 1 \pmod{p} $

ให้ $d$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่ง $2^d \equiv 1 \pmod{p} $

ดังนั้น $d \mid p-1$ และ $d \mid p^2$

จะได้ $d=1$ เท่านั้น

ดังนั้น ไม่มี $p$ ดังกล่าว
ผมจดโจทย์มาผิดอีกแล้วครับต้องเป็น $2^{p^2}+1$ ครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

01 พฤศจิกายน 2014 10:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 24 พฤษภาคม 2015, 17:46
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

Algebra ข้อ 1 ผมเห็นแต่วิธีถึกๆ ทั้งนั้น ก็เลยมาเสนอวิธีง่ายๆ ให้

แทน $a=\dfrac{y-z}{x},\ b=\dfrac{z-x}{y},\ c=\dfrac{x-y}{z}$

ให้ $P(x, y, z)=xyz(\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}+\dfrac{x-y}{z})=xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)$

สังเกตว่า ถ้า $x=y$ แล้ว $P(x, y, z)=0$ นั่นคือ P(x, y, z) มี $x-y$ เป็นตัวประกอบ และโดยความสมมาตร จะได้ว่า $y-z$ และ $z-x$ ต้องเป็นตัวประกอบด้วย

ดังนั้น $P(x, y, z)=K(x-y)(y-z)(z-x)$ และจากการแทนค่าจะได้ว่า $K=-1$

ดังนั้น เราจะเห็นว่า $a+b+c=-abc$

ทำให้ $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=-1$

เพราะฉะนั้น $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=2557^2+2$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 24 พฤษภาคม 2015, 19:33
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
Algebra ข้อ 1 ผมเห็นแต่วิธีถึกๆ ทั้งนั้น ก็เลยมาเสนอวิธีง่ายๆ ให้

แทน $a=\dfrac{y-z}{x},\ b=\dfrac{z-x}{y},\ c=\dfrac{x-y}{z}$

ให้ $P(x, y, z)=xyz(\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}+\dfrac{x-y}{z})=xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)$

สังเกตว่า ถ้า $x=y$ แล้ว $P(x, y, z)=0$ นั่นคือ P(x, y, z) มี $x-y$ เป็นตัวประกอบ และโดยความสมมาตร จะได้ว่า $y-z$ และ $z-x$ ต้องเป็นตัวประกอบด้วย

ดังนั้น $P(x, y, z)=K(x-y)(y-z)(z-x)$ และจากการแทนค่าจะได้ว่า $K=-1$

ดังนั้น เราจะเห็นว่า $a+b+c=-abc$

ทำให้ $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=-1$

เพราะฉะนั้น $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=2557^2+2$
ผมมีวิธีง่ายกว่านั้นครับ ให้ $a=\dfrac{x}{y-z} \quad ,b=...,\quad c=... $

$(a-1)(b-1)(c-1)=(a+1)(b+1)(c+1)$

$ab+bc+ca=-1$
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
สอวน. ม.เกษตรศาสตร์ ค่าย1/2557 สอบครั้งที่1 ~!!Arale!!~ ข้อสอบโอลิมปิก 6 16 เมษายน 2015 16:49
งานหนังสือแห่งชาติ 2557 (15-26 ต.ค. 57) meepanda งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป 4 16 ตุลาคม 2014 08:52
ข้อสอบ ก.พ. ปี 2557 มาช่วยกันเฉลยกันค่ะ vespa1 ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย 4 11 ตุลาคม 2014 23:59
สพฐ. 2557 กำหนดการรับสมัคร(1-25 ธ.ค.2556)และสอบแข่ง รอบที่ 1 (26 ม.ค.2557) gon ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น 22 16 ธันวาคม 2013 09:56
สพฐ. 2557 กำหนดการรับสมัคร(1-25 ธ.ค.2556)และสอบแข่ง รอบที่ 1 (26 ม.ค.2557) gon ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย 1 10 พฤศจิกายน 2013 04:56

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:58


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha